איך לבחור דוגמה נגדית כשבודקים טענה במתמטיקה

מהי דוגמה נגדית ולמה היא מספיקה

טענה כללית במתמטיקה אומרת שמשהו נכון לכל המקרים שעומדים בתנאים שלה. כדי להפריך טענה כזו אין צורך לבדוק את כל המקרים. מספיק למצוא מקרה אחד שעומד בכל התנאים, אבל שבו המסקנה אינה נכונה. המקרה הזה נקרא דוגמה נגדית.

למשל, אם מישהו טוען שכל מספר שמתחלק ב־2 מתחלק גם ב־4, אפשר לבחור את המספר 6. הוא מתחלק ב־2 אבל אינו מתחלק ב־4, ולכן הטענה הופרכה. אין צורך לבדוק 8, 10, 12 או מספרים נוספים.

החלק החשוב הוא שהדוגמה חייבת לקיים את תנאי הטענה. אם בוחרים מספר שאינו שייך לקבוצה שעליה מדברים, לא הפרכנו דבר. לכן לפני שמחפשים מספר מעניין, קוראים במדויק את התנאים.

איך לבחור דוגמה יעילה

כדאי להתחיל מערכים פשוטים: 0, 1, מספר שלילי, מספר זוגי קטן, שבר פשוט או צורה גיאומטרית בסיסית. ערכים קיצוניים או מיוחדים חושפים לעיתים תנאי שנשכח. עם זאת, אין כלל שאומר שהדוגמה חייבת להיות מיוחדת; היא רק צריכה לעבוד.

1. 1כתבו את הטענה בצורה של תנאי ומסקנה.
2. 2בחרו ערך שמקיים בוודאות את התנאי.
3. 3חשבו את המסקנה עבור אותו ערך.
4. 4אם המסקנה נכשלת, בדקו שוב שהדוגמה באמת מותרת.

נניח שהטענה היא: אם x² גדול מ־4, אז x גדול מ־2. הבחירה x = -3 מקיימת x² = 9, ולכן התנאי נכון, אבל -3 אינו גדול מ־2. זו דוגמה נגדית תקפה.

כשבודקים טענות בתוך תרגול, תרגול מתמטיקה יכול לעזור למצוא שאלות שבהן נדרש להבחין בין כלל נכון לבין כלל שנשמע נכון רק במבט ראשון.

טעויות נפוצות בבחירת דוגמה נגדית

טעות אחת היא לבחור דוגמה שלא עומדת בתנאים. טעות אחרת היא למצוא מקרה שבו גם התנאי וגם המסקנה נכונים ולחשוב שהטענה הוכחה. דוגמאות תומכות יכולות להיות מועילות להבנה, אבל מספר דוגמאות נכונות אינן הוכחה לטענה כללית.

• בדקו שהדוגמה שייכת לתחום שעליו הטענה מדברת
• אל תסתפקו בדוגמה שבה המסקנה נכונה
• חפשו מקרה שמקיים את התנאי ושובר דווקא את המסקנה
• כתבו במפורש למה הדוגמה מפריכה את הטענה

דוגמה נגדית אינה רק טריק של שאלות הוכחה. היא גם כלי לחשיבה. כשעולה כלל שנראה הגיוני, אפשר לנסות לשבור אותו לפני שמסתמכים עליו. כך בודקים אם מדובר בחוק אמיתי או בהכללה שנוצרה מכמה דוגמאות.

אם הדרך שלכם כוללת כמה תנאים והצבות, בדיקת פתרון יכולה לעזור לבדוק אם הדוגמה שבחרתם אכן מתאימה למסגרת השאלה. הרגל של חיפוש דוגמה נגדית מחזק זהירות לוגית ומעודד לבדוק טענות במקום לקבל אותן רק מפני שהן נשמעות מוכרות.