בעיות תערובת — איך בונים את המשוואה

הכלל היחיד: אחוזים לא מתחברים, כמויות כן

אם מערבבים תמיסה של 20 אחוז עם תמיסה של 50 אחוז, לא מקבלים 70 אחוז וגם לא בהכרח 35. אחוז הוא יחס, ויחסים לא מתחברים.

מה שכן מתחבר זו הכמות בפועל של החומר הטהור — המלח, הסוכר, החומצה, מה שזה לא יהיה. אם בכוס אחת יש 30 גרם מלח ובשנייה 50 גרם, אחרי הערבוב יש 80 גרם מלח. זה תמיד נכון, וזה כל הפתרון.

לכן העבודה בכל בעיית תערובת היא זהה: מחשבים כמה חומר טהור יש בכל מרכיב לפני הערבוב, מחברים, ומשווים לכמות החומר הטהור בתערובת הסופית. האחוזים משמשים רק ככלי לחשב את הכמויות האלה, ואף פעם לא נכנסים למשוואה בעצמם.

דוגמה מלאה: ערבוב שתי תמיסות

יש 3 ליטר של תמיסה בריכוז 20 אחוז. כמה ליטר של תמיסה בריכוז 50 אחוז צריך להוסיף כדי לקבל תמיסה בריכוז 30 אחוז?

נסמן ב-x את מספר הליטרים שנוסיף. עכשיו נעקוב אחרי החומר הטהור בשלושה מקומות. בתמיסה הראשונה: 0.2 כפול 3, כלומר 0.6 ליטר. בתמיסה שמוסיפים: 0.5x. בתערובת הסופית יש 3 ועוד x ליטר בריכוז 30 אחוז, כלומר 0.3 כפול (3 ועוד x).

המשוואה: 0.6 ועוד 0.5x שווה ל-0.3 כפול (3 ועוד x). פותחים סוגריים באגף ימין: 0.9 ועוד 0.3x. מעבירים אגפים: 0.5x פחות 0.3x שווה 0.9 פחות 0.6, כלומר 0.2x שווה 0.3, ולכן x שווה 1.5 ליטר.

בדיקה: סך הכל 4.5 ליטר. החומר הטהור הוא 0.6 ועוד 0.75, כלומר 1.35. ו-1.35 חלקי 4.5 שווה 0.3, שהם 30 אחוז. מדויק.

המקרה השני: מדללים במים

יש 4 ליטר תמיסה בריכוז 30 אחוז. כמה מים טהורים צריך להוסיף כדי להגיע לריכוז 20 אחוז?

הנקודה שפותרת את זה: מים טהורים מכילים אפס חומר. כלומר כמות החומר הטהור לא משתנה בכלל — רק הנפח גדל. זה מה שמוריד את הריכוז.

החומר הטהור בהתחלה: 0.3 כפול 4, כלומר 1.2 ליטר. אחרי ההוספה יש 4 ועוד x ליטר, והחומר הטהור עדיין 1.2, שאמורים להיות 20 אחוז מהנפח החדש: 1.2 שווה 0.2 כפול (4 ועוד x).

פותרים: 1.2 שווה 0.8 ועוד 0.2x, כלומר 0.4 שווה 0.2x, ולכן x שווה 2 ליטר. בדיקה: 6 ליטר בסך הכל, ו-1.2 חלקי 6 שווה 0.2. נכון.

למה טבלה עוזרת כאן במיוחד

בבעיות תערובת יש שלוש שורות כמעט תמיד — מרכיב ראשון, מרכיב שני, ותערובת — ושלוש עמודות: נפח, ריכוז, וכמות חומר טהור. העמודה השלישית היא תמיד מכפלת השתיים שלפניה.

הטבלה עושה שני דברים. ראשית היא מזכירה שהנפח הסופי הוא סכום הנפחים, וזו שורה שנשכחת הרבה. שנית היא ממקדת את המשוואה בעמודה אחת בלבד — האחרונה — במקום להשאיר את התלמיד מנסה לחבר אחוזים.

זה עובד גם בבעיות שלא מדברות על תמיסות בכלל: ערבוב קפה בשני מחירים, סגסוגת של שתי מתכות, או תערובת אגוזים. המבנה זהה לחלוטין, ורק שם החומר משתנה.

שאלות נפוצות

אפשר לעבוד באחוזים שלמים במקום בעשרוניים? כן, אם עושים את זה עקבי — למשל לכתוב 20 במקום 0.2 בכל האגפים. אבל ערבוב של שתי הצורות באותה משוואה הוא מקור טעויות תכוף, אז עדיף לבחור אחת ולהישאר איתה.

מה עושים כשמאדים מים במקום להוסיף? אותו רעיון בדיוק, רק שהנפח קטן במקום לגדול — כותבים 4 פחות x. כמות החומר הטהור, שוב, לא משתנה, כי מה שהתאדה היה מים בלבד.