דמיון משולשים לכיתה ט' — איך מזהים ופותרים

מה זה דמיון משולשים ולמה זה חשוב

משולשים דומים הם משולשים שיש להם אותה צורה אבל לא בהכרח אותו גודל. כשמשולש אחד הוא הגדלה או הקטנה של משולש אחר, זוויותיהם שוות בהתאמה והצלעות שלהם פרופורציוניות — כלומר היחס בין צלעות מתאימות הוא קבוע. במתמטיקה אנחנו מסמנים דמיון עם הסימן ~ , למשל משולש ABC דומה למשולש DEF נכתב כ: ABC ~ DEF. החשיבות של דמיון נמצאת בכך שהוא מאפשר לנו לפתור בעיות בגיאומטריה וגם בעיות מעשיות בחיים האמיתיים — כמו חישוב גבהים של בניינים או אורכים שקשה למדוד ישירות.

הטריקים בדמיון משולשים קשורים להמצאת הקצר לשיווי המשוואות. במקום להוכיח שכל הזוויות שוות וכל הצלעות פרופורציוניות, יש לנו משפטים שמאפשרים לנו להוכיח דמיון מתוך פחות מידע. זה בדיוק כמו שבחיים היומיומיים אנחנו לא בודקים כל דבר בפרט, אלא סומכים על סימנים מסוימים שנותנים לנו מספיק תשובה.

שלושת משפטי הדמיון העיקריים

המשפט הראשון נקרא זז (זווית-זווית): אם שתי זוויות במשולש אחד שוות בהתאמה לשתי זוויות במשולש שני, אז המשולשים דומים. זה המשפט הכי קל להשתמש בו כי אתה צריך רק שתי זוויות, ובגלל שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות, גם הזווית השלישית תהיה שוה בהכרח. המשפט השני נקרא צזצ (צלע-זווית-צלע): אם היחס בין שתי צלעות במשולש אחד שווה ליחס שתי הצלעות המתאימות במשולש שני, והזווית בין הצלעות האלה שוה בהשתלמות, אז המשולשים דומים. המשפט השלישי נקרא דד (דצ-דצ) — בעברית זה בדרך כלל מכנים אותו צצצ (צלע-צלע-צלע): אם היחס בין כל שלוש הצלעות במשולש אחד שווה ליחס שלוש הצלעות המתאימות במשולש שני, אז המשולשים דומים.

כדי לבחור איזה משפט להשתמש בבעיה, תחילה תסתכל על המידע שנתון לך. אם יש לך זוויות — חפש משפט זז. אם יש לך צלעות ולפחות זווית אחת — בדרך כלל תהיה משפט צזצ או צצצ. המפתח הוא לא להיות מהיר מדי — קרא את השאלה שוב, חפש מידע נסתר (כמו זוויות בהצלבות של ישרים מקבילים) והימנע מלהניח דברים שלא נתונים.

דוגמה מלאה: חישוב צלע לא ידועה

בואו נעבור דוגמה מדויקת. נניח שיש לך שני משולשים: משולש ABC ומשולש DEF. במשולש ABC אתה יודע שהצלע AB שווה 6 ס"מ, הצלע BC שווה 8 ס"מ, והזווית בין AB ל-BC (זווית B) היא 50 מעלות. במשולש DEF אתה יודע שהצלע DE שווה 9 ס"מ, והזווית E (בין DE ל-EF) גם היא 50 מעלות. אתה צריך למצוא את EF. הראשית, הבחינו שיש לך שתי צלעות וזווית ביניהן בשני המשולשים, ואותה זווית קיימת בשניהם. זה צזצ! עכשיו צריך לבדוק אם היחס בין הצלעות שווה. היחס בין AB ל-DE הוא 6 ל-9, שזה 6/9 = 2/3. אם המשולשים דומים, אז גם היחס בין BC ל-EF צריך להיות 2/3. משוואה: 8 חלקי EF שווה 2/3, כלומר EF = 8 כפול 3/2 = 12 ס"מ. זהו! EF הוא 12 ס"מ.

אם רוצים לוודא את התשובה: יחס AB ל-DE הוא 6/9 = 2/3, ויחס BC ל-EF הוא 8/12 = 2/3. נכון לחלוטין. בנוסף, אם היינו צריכים את הצלע השלישית (AC ל-DF), היינו יכולים להשתמש בעובדה שהיחס הוא תמיד 2/3. השימוש בדמיון משולשים לא רק מציע לנו דרך לפתור את הבעיה אלא גם נותן לנו דרך לבדוק שהתשובה שלנו סבירה.

טיפים מעשיים לזיהוי והפתרון

כשמתחילים בעיה בדמיון, שמו לב קודם לכל לסימני תמונה או תרשים. אם יש זוויות מסומנות כשוות (בדרך כלל עם קשתות זהות) — זה סימן טוב להשתמש במשפט זז. אם ישרים מקבילים מצויירים בתוך משולש, זוויות מתחלפות תהיינה שוות, וזה גם יכול להוביל לדמיון. שנית, תמיד כתוב בבירור אילו משולשים דומים לאילו, בדיוק בסדר ההתאמה — למשל, אם תכתוב ABC ~ DEF, זה אומר שנקודה A תואמת ל-D, B ל-E, ו-C ל-F. זה משנה כי התאמה שגויה תוביל לתשובה שגויה. שלישית, אל תשכח להפוך את היחסים אם הצורך — אם אתה יודע שהיחס בין צלעות של המשולש הראשון לשני הוא 2/3, אז היחס הפוך הוא 3/2, וזה כלי שימושי כשצריך להכפיל או לחלק.

טעות נפוצה היא להניח שמשולשים דומים ללא הוכחה מספקת. אף על פי שלעתים הם נראים דומים, צריך להוכיח זאת באחד משלושת המשפטים. טעות נוספת היא חלוקת או הכפלה בצורה עקבית כשמחלחלים יחסים. זכור: אם יחס הצלעות הוא 2/3, וצלע אחת היא 8, אז הצלע המתאימה היא 8 כפול 3/2 (מחלקים ב-2/3) או בעצם 8 לחלק ב-2/3 שזה אותו דבר. תיקו מחשבון ובדקו עצמכם.

שאלות נפוצות

שאלה: איך אני יודע אם צריך להשתמש בזז או בצזצ? תשובה: זז דורש שתי זוויות, לא צריך צלעות. צזצ דורש שתי צלעות וזווית בחוברתן. אם יש לך שתי זוויות, תשתמש בזז. אם יש לך רק צלעות וזווית אחת (והזווית בחוברתן), תשתמש בצזצ. שאלה: מה אם אני מצאתי שני משולשים דומים אבל הם מסובבים או במצב שונה בתרשים? תשובה: זה לא משנה. דמיון הוא תכונה של הצורות עצמן, לא של כיוונן בדף. עד כמה שאתה מוודא שהזוויות וההיחסים תואמים בהתאמה, הם דומים.