הסתברות

במפעל ייצור, יש שתי מכונות: מכונה A מייצרת 65% מהמוצרים, ומכונה B מייצרת 35%. בידוע שלמכונה A שיעור פגמים של 4%, ולמכונה B שיעור פגמים של 8%. בנו טבלה דו-ממדית עם עמודות של (תקין/פגום) ושורות (מכונה A / מכונה B).

1. חשבו את ההסתברות שמוצר פגום הוא מכונה B.

בארגז א' יש a פירות, מתוכם 3 תפוחים, ובארגז ב' יש b פירות, מתוכם 5 תפוחים. מוציאים פרי מארגז א' ומעבירים אותו לארגז ב', ואז מוציאים פרי מארגז ב'.

1. הביעו את ההסתברות ששני הפירות שיצאו הם תפוחים.

נטע משחקת משחק שבו ההסתברות שתפסיד היא p, וההסתברות שתנצח היא 3p. ידוע שאם היא משחקת שני משחקים בזה אחר זה, ההסתברות שתנצח לפחות במשחק אחד היא 4.5p.

1. מצאו את p.

ההסתברות שמועמד הצליח בשני המבחנים היא 4p, וההסתברות שהצליח לפחות במבחן אחד היא 5.5p. בוחרים באקראי מועמד וידוע שהצליח לפחות במבחן אחד.

1. מהי ההסתברות שהצליח בשני המבחנים?

80% מן החברים בתנועת נוער מתנדבים בקהילה. בוחרים באקראי 5 תלמידים שחברים בתנועות נוער (עם החזרה).

1. מצאו את ההסתברות שבחרו לפחות תלמיד אחד שמתנדב ולפחות אחד שאינו מתנדב.

ליונתן יש בספרייה שבחדרו ספרים משני סוגים: ספרי קומיקס וספרי עיון. 30% מן הספרים הם ספרי קומיקס והשאר ספרי עיון. 80% מן הספרים הם בעברית והשאר באנגלית. לפניכם שתי טענות I–II.

1. א.קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה,
2. ב.נמקו את קביעותיכם

בבית אריזה יש לימונים ותפוזים; חלקם מיועדים לייצוא. ההסתברות לבחור תפוז מבין כל הפירות היא 0.64. ההסתברות לבחור תפוז מבין הפירות המיועדים לייצוא היא 3/5, וההסתברות לבחור לימון מבין הפירות שאינם מיועדים לייצוא היא 4/15. בוחרים באקראי פרי אחד.

1. מהי ההסתברות שנבחר פרי המיועד לייצוא?

בבית אריזה P(תפוז) = 0.64, P(ייצוא) = 0.7, P(תפוז|ייצוא) = 3/5 ו-P(לימון|לא ייצוא) = 4/15. בוחרים באקראי שני פירות, וידוע שנבחרו שני לימונים.

1. מהי ההסתברות שאחד מהם מיועד לייצוא והאחר אינו מיועד לייצוא?

בבית אריזה ההסתברות שפרי מיועד לייצוא היא 0.7. בוחרים באקראי 4 פירות, וידוע שלפחות אחד מהם מיועד לייצוא.

1. מהי ההסתברות שלכל היותר 3 מבין הפירות שנבחרו מיועדים לייצוא?

במשאל: תלמידי שנה א' בעד 4k, שנה א' נגד 3k, שנה ב' בעד k, שנה ב' נגד 4k. בחרו באקראי אחד מן המשתתפים.

1. חשבו את ההסתברות שמתקיים לפחות אחד משני התנאים: המשתתף הוא תלמיד שנה ב', או שהוא בעד ההצעה.

בוחרים באקראי 5 מן המשתתפים במשאל, וידוע שכולם תלמידי שנה ב'. ההסתברות שתלמיד שנה ב' הוא בעד ההצעה היא 0.2.

1. מהי ההסתברות שלפחות שניים מהם בעד וגם לפחות שניים מהם נגד?

במשאל, ההסתברות שתלמיד שנה ב' הוא בעד ההצעה היא 0.2. ידוע כי ההסתברות שתלמיד שנבחר מבין תלמידי שנה א' הוא בעד ההצעה גדולה ב-13/35 מן ההסתברות המקבילה בשנה ב'. נסמן ב-p את ההסתברות לבחור באקראי תלמיד שבעד ההצעה מכלל המשתתפים.

1. חשבו את p.

במכללה ערכו משאל שבו השתתפו כל תלמידי שנה א' וכל תלמידי שנה ב', בלי נמנעים. 80% מן המשתתפים שבעד ההצעה הם תלמידי שנה א', ומספר תלמידי שנה א' שבעד ההצעה שווה למספר תלמידי שנה ב' שנגד ההצעה. בחרו באקראי אחד מתלמידי שנה ב'.

1. מהי ההסתברות שהוא נגד ההצעה?

ההסתברות שמועמד יתקבל (יצליח בשני המבחנים) היא 0.1375, וההסתברות שייכשל בשני המבחנים היא 0.6375. שלושה מועמדים נבחנו.

1. מהי ההסתברות ששניים מהם התקבלו ואחד נכשל בשני המבחנים?

ההסתברות להצליח במבחן הראשון היא 0.25; מי שהצליח בראשון מצליח בשני בהסתברות 0.55, ומי שנכשל בראשון מצליח בשני בהסתברות 0.15. מתקבל ללימודים רק מי שהצליח בשני המבחנים. ידוע שמועמד הצליח לפחות במבחן אחד.

1. מהי ההסתברות שהתקבל?

מועמד נבחן בשני מבחנים. ההסתברות להצליח בראשון היא P (כאשר 0.2 < P < 0.5). אם הצליח בראשון, ההסתברות להצליח בשני היא P + 0.3; אם נכשל בראשון, ההסתברות להצליח בשני היא P − 0.1. ההסתברות להצליח בדיוק במבחן אחד היא 9/40.

1. מצאו את P.

בארגז א' יש a פירות מתוכם 3 תפוחים, ובארגז ב' יש b פירות מתוכם 5 תפוחים. מעבירים פרי מארגז א' לארגז ב' ואז מוציאים פרי מארגז ב'. ההסתברות ששני הפירות תפוחים היא 9/65, וההסתברות שהראשון תפוח והשני אגס היא 21/130.

1. מצאו את a ואת b.

בארגז אחד יש 22 פירות: 8 תפוחים ו-14 אגסים. מוציאים פרי באקראי, רושמים ומחזירים, וכך 6 פעמים.

1. מהי ההסתברות שבדיוק 4 מהפירות שהוצאו יהיו תפוחים, או שכולם יהיו אגסים?

בכד א' 15 כדורים צהובים ו-10 אדומים. בכד ב' כדורים אדומים בלבד. מעבירים n כדורים מכד ב' לכד א', ואז בוחרים באקראי כד ומוציאים ממנו כדור אחד. ההסתברות שהכדור אדום היא 13/16.

1. בדקו אם ייתכן שהועברו 14 כדורים.

בכד א' יש 15 כדורים צהובים ו-10 אדומים. בכד ב' יש כדורים אדומים בלבד. יעל בוחרת באקראי כד, מוציאה ממנו כדור באקראי ומחזירה אותו, וחוזרת על התהליך עד שהיא מוציאה כדור אדום.

1. מהי ההסתברות שהיא תוציא כדור אדום בפעם השישית בדיוק?

מועמדים ניגשו לשני מבחנים. ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח רק במבחן הראשון היא p. מספר המועמדים שהצליחו רק במבחן הראשון קטן פי 4 ממספר המועמדים שהצליחו בשני המבחנים. כמו כן, 8/9 מן המועמדים שהצליחו במבחן השני הצליחו גם במבחן הראשון.

1. מצאו את ההסתברות לבחור מועמד שהצליח לפחות במבחן אחד, כפונקציה של p.

ההסתברות שתושב שנבחר באקראי הוא צעיר היא 0.6. יוסי ראיין באקראי 5 תושבים.

1. מצאו את ההסתברות שהמרואיין האחרון היה צעיר, ושבדיוק 2 מארבעת האחרים היו צעירים.

בסקר על הקמת פארק נמצא שכל התושבים המבוגרים שהשתתפו תמכו בהקמתו. נסמן ב-p את ההסתברות שתושב שנבחר באקראי הוא צעיר וב-k את ההסתברות שהוא תומך.

1. הביעו באמצעות p ו-k את ההסתברות שתושב שנבחר היה צעיר ותומך.

בסקר, p היא ההסתברות שתושב הוא צעיר ו-k שהוא תומך, וההסתברות שהוא צעיר ותומך היא k + p − 1. נתון כי ההסתברות שתושב תומך בהינתן שהוא צעיר היא 0.5, וכי ההסתברות שתושב הוא צעיר בהינתן שהוא תומך היא 3/7.

1. מצאו את p ואת k.

בטבלת הסקר עם p = 0.05: מבוגרים 11p = 0.55, שולטים באנגלית 4p = 0.2, ומבוגרים ששולטים 3p = 0.15.

1. בדקו אם המאורעות 'לשלוט באנגלית' ו'להיות מבוגר' תלויים זה בזה.

בטבלת הסקר: מבוגרים שאינם שולטים 8p, צעירים שאינם שולטים 1 − 12p. ידוע שההסתברות לבחור מבוגר מבין מי שאינם שולטים שווה להסתברות לבחור צעיר מביניהם.

1. מצאו את p.

בטבלת הסקר: מבוגרים ששולטים p, צעירים ששולטים 3p, מבוגרים שאינם שולטים 8p, וסך כל המשתתפים 1.

1. מצאו את הביטוי להסתברות לבחור צעיר שאינו שולט באנגלית, ואת תחום הערכים האפשרי של p.

בסקר על שליטה באנגלית, נסמן ב-p את ההסתברות לבחור באקראי צעיר ששולט באנגלית. מספר המבוגרים ששולטים גדול פי 3 ממספר הצעירים ששולטים, ומספר המבוגרים שאינם שולטים גדול פי 8 ממספר הצעירים ששולטים.

1. מהי ההסתברות שמבוגר שנבחר באקראי שולט באנגלית?

מבין המנויים שלא קיבלו את העיתון בזמן, ההסתברות שמנוי גר בחיפה היא 5/23. בוחרים 6 מנויים מבין אלה שלא קיבלו בזמן.

1. מהי ההסתברות שלכל היותר 4 מהם גרים בחיפה?

בטבלת המנויים: 46% לא קיבלו את העיתון בזמן, ומתוכם 0.36 בתל אביב ו-0.1 בחיפה. בוחרים באקראי שני מנויים מבין אלה שלא קיבלו בזמן.

1. מהי ההסתברות שהראשון מתל אביב והשני מחיפה?

בטבלת המנויים: P(חיפה ∩ בזמן) = 0.75p, P(תל אביב ∩ בזמן) = 0.6p, P(חיפה) = p. נתון כי ההסתברות שמנוי בתל אביב לא קיבל בזמן גדולה פי 1.5 מזו שבתל אביב כן קיבל בזמן.

1. איזה אחוז מן המנויים קיבלו את העיתון בזמן?

בעיתון יש מנויים בתל אביב ובחיפה. נסמן ב-p את ההסתברות שמנוי גר בחיפה. נתון: ¾ מן החיפאים מקבלים את העיתון בזמן, ומבין המקבלים בזמן 5/9 גרים בחיפה.

1. הביעו באמצעות p את ההסתברות שמנוי גר בתל אביב ומקבל את העיתון בזמן.

מבין 63 תלמידים שאינם מתנדבים, 8 חברים בתנועת נוער ו-55 אינם. בוחרים 3 ללא החזרה. ידוע שהתלמיד הראשון שנבחר אינו חבר בתנועת נוער.

1. מצאו את ההסתברות שאחד משני האחרים חבר בתנועת נוער והשני לא.

בתחרות השתתפו 100 תלמידים. 63 מהם אינם מתנדבים בקהילה, ומתוכם 8 חברים בתנועת נוער ו-55 אינם. בוחרים באקראי 3 תלמידים מבין אלה שאינם מתנדבים, ללא החזרה.

1. מצאו את ההסתברות שהראשון חבר בתנועת נוער ושני האחרים אינם.

בבית ספר, ההסתברות שתלמיד אינו חבר בתנועת נוער וגם אינו מתנדב היא 0.55. מבין החברים בתנועת נוער, 80% מתנדבים. מבין מי שאינם מתנדבים, 11/12 אינם חברים בתנועת נוער.

1. איזה אחוז מן התלמידים חברים בתנועת נוער?

בחידון חמש שאלות, ועבור כל תשובה נכונה מקבלים נקודות כמספר השאלה. ההסתברות לענות נכון על כל שאלה היא 0.7.

1. מצאו את ההסתברות שמתמודד יצבור 6 נקודות בדיוק.

בחידון חמש שאלות. עבור כל תשובה נכונה מקבלים נקודות בדיוק כמספר השאלה (שאלה 1 שווה נקודה אחת, שאלה 5 שווה 5 נקודות). ההסתברות לענות נכון על כל שאלה היא 0.7.

1. מצאו את ההסתברות שמתמודד יצבור 14 נקודות לפחות.