חשבון דיפרנציאלי
54 תרגילים בנושא הזה משאלון 35571 — 54 מהם שאלות בגרות אמיתיות עם פתרון שלב אחר שלב.
הנושא הזה הופיע כמעט בכל מועד של שאלון 35571. שעה כאן שווה יותר משעה כמעט בכל נושא אחר.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2025
נתונה הפונקציה f(x) = R² − x² עם R > 0, המוגדרת בתחום −R ≤ x ≤ R. הנקודה A נמצאת על הגרף ברביע הראשון, ושיעור ה-x שלה הוא t. דרך A מעבירים ישר מקביל לציר ה-x החותך את הגרף בנקודה נוספת B, והנקודות C ו-D על ציר ה-x יוצרות מלבן ABCD. הנקודה E היא חיתוך הגרף עם ציר ה-y, והנקודה F היא חיתוך הצלע AB עם ציר ה-y.
- הביעו באמצעות R ו-t את אורך הקטע EF ואת היקף המלבן ABCD.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2023
נתונה הפונקציה g(x) = (x² − 1)/((x+1)(x+2)). פשטו את הביטוי ומצאו את האסימפטוטות ואת נקודת אי-הרציפות הסליקה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2023
נתונה הפונקציה f(x) = √(4x² + 1)/x, שהאסימפטוטות האופקיות שלה הן y = 2 ו-y = −2. נתונה g(x) = k · f(x + 3) עבור k > 0.
- מצאו את k שעבורו המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של g שווה ל-10.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2022
נתונה הפונקציה f(x) = (2 − 1x)³. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטה האופקית שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2022
נתונה הפונקציה f(x) = 2x + 2x. מצאו את תחום ההגדרה, את שיעורי נקודות הקיצון ואת סוגן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2025
f(x) היא פונקציה אי-זוגית המוגדרת לכל x, בעלת מינימום ב-(3 , −6) ומקסימום ב-(−3 , 6), והיא מתאפסת ב-x = 0 בלבד. נתונה הפונקציה g(x) = f²(x) · f'(x).
- מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של g עם ציר ה-x.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2025
f(x) היא פונקציה אי-זוגית המוגדרת לכל x, ויש לה נקודת מינימום יחידה ב-(3 , −6). נתון כי לפונקציה אסימפטוטה אופקית y = 0.
- מצאו את נקודת המקסימום שלה ואת תחומי העלייה והירידה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה הפונקציה f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)², המוגדרת עבור x ≥ 0 ו-x ≠ 4. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2022
נתונה הפונקציה f(x) = 3 + x/√(x² − 25). מצאו את תחום ההגדרה שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונות f(x) = √x בתחום x ≥ 0 ו-g(x) = 16/(x² + 3). בנקודה C(t , 0) מעלים אנך לציר ה-x החותך את גרף f בנקודה A ואת גרף g בנקודה B.
- הביעו באמצעות t את מכפלת האורכים AC·BC.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונה הפונקציה g(x) = 16x² + 3, המוגדרת לכל x. מצאו את נקודת הקיצון שלה, את האסימפטוטה האופקית, והסבירו מדוע אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה-x.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונה f(x) = (x − 1)/(x − a)³, שנקודת הקיצון שלה היא ב-x = (3 − a)/2 והאסימפטוטה האנכית ב-x = a.
- מצאו עבור אילו ערכי a נקודת הקיצון נמצאת משמאל לאסימפטוטה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
במלבן החסום בחצי מעגל שרדיוסו R, השטח מקסימלי כאשר AC = 1.5R. נתון כי סכום שטחי המשולשים CDF ו-AFE שווה למחצית שטח המלבן.
- מצאו את הסכום המקסימלי של שטחי שני המשולשים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
נתונה f(x) = 4x/(x² − a²)² עם a > 0. הראו כי f היא פונקציה אי-זוגית, וקבעו את תחומי החיוביות והשליליות שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
נתונה הפונקציה f(x) = 4x/(x² − a²)², כאשר a > 0 פרמטר. מצאו את תחום ההגדרה ואת משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2025
נתונה הפונקציה f(x) = R² − x² עם R > 0. הנקודה A על הגרף ברביע הראשון ושיעור ה-x שלה הוא t. נוצר מלבן ABCD שהיקפו 4t + 2R² − 2t², ולצדו ריבוע שאורך צלעו שווה לאורך הקטע EF = t².
- מצאו את הערך של t שבעבורו ההפרש בין היקף המלבן לבין היקף הריבוע הוא מקסימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · מיוחד 2023
הישר y = −2x + 2p + 1 חותך את הצירים בנקודות A ו-B, ומשולש OED ששטחו p/2 בנוי כך ש-OE = p.
- מצאו את הערך של p שבעבורו היחס בין שטח המשולש OED ובין שטח המשולש ABO הוא מקסימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2023
על גרף הפונקציה y = (x−1)/(x+2) נבחרת נקודה A שהשיעור שלה (t, (t−1)/(t+2)) עבור −1 < t < 1. בונים מלבן שאחת מפינותיו בראשית וצלעותיו מקבילות לצירים, כאשר אורך צלע אחת הוא |t+2| ואורך השנייה הוא |(t−1)/(t+2)|.
- מצאו את t שעבורו היקף המלבן מינימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2023
נתונה הפונקציה f(x) = √4x² + 1/x, המוגדרת עבור x ≠ 0. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2022
נתונה הפונקציה f(x) = 2x + 2x, ונתונה g(x) = f(x) · f'(x). חשבו את השטח הכלוא בין גרף g וציר ה-x בתחום שבין x = 1 ל-x = 4, ובין x = −4 ל-x = −1.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2025
נתונה הפונקציה f(x) = x·√(8−x). הנקודה A(t , t√(8−t)) נמצאת על הגרף ברביע הראשון. מן הנקודה A מעבירים אנך לציר ה-x החותך אותו ב-B(t , 0), ואנך שני לישר x = 8 החותך אותו ב-D. הנקודה C היא (8 , 0).
- מצאו עבור איזה t היקף המלבן ABCD מקסימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2025
נתונה הפונקציה g(x) = f²(x) · f'(x), כאשר f אי-זוגית עם מקסימום ב-(−3 , 6) ומינימום ב-(3 , −6).
- חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g וציר ה-x בתחום −3 ≤ x ≤ 3.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2025
מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות: f(x) = x/√(x²−1) , g(x) = √x/(x²−1) , h(x) = √(x/(x²−1)).
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה g(x) = 2x/(√x − 2) המקיימת g'(x) = f(x), כאשר לפונקציה f יש מקסימום מוחלט בערך 0.125. בדקו אם הטענה נכונה: יש משיק לגרף g ששיפועו 2.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה הפונקציה f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)². מצאו את תחום ההגדרה ואת משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה הפונקציה g(x) = 2x/(√x − 2), המוגדרת באותו תחום כמו f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)². הראו כי g'(x) = f(x) בתחום ההגדרה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
לפונקציה f(x) שלוש נקודות קיצון בשיעורי x שהם A, B ו-C בסדר עולה, כאשר A ו-C מקסימום ו-B מינימום. נתון f(A) = 6 ו-f(B) = 2. השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f'(x) לבין ציר ה-x בתחום שבין A ל-C שווה ל-7.
- מצאו את f(C).
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
לפונקציה f(x) יש שתי אסימפטוטות המאונכות לציר ה-x ושתיים המאונכות לציר ה-y. נתונות ארבע אפשרויות: (I) x/√(x²+16) , (II) x/√(x²−16) , (III) x²/√(x²+16) , (IV) x²/√(x²−16).
- קבעו איזו מהן מייצגת את f ונמקו.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה הפונקציה f(x) = x/√(x² − 16), המוגדרת עבור x > 4 או x < −4. הפונקציה g(x) מוגדרת באותו תחום ומקיימת g'(x) = f(x) + 5/3.
- מצאו את תחומי העלייה והירידה של g.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה הפונקציה f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)² בתחום x ≥ 0 , x ≠ 4. נתון כי מונה הנגזרת מתאפס כאשר √x = 6.
- א.מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה
- ב.קבעו את סוגן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונות g(x) = 2x/(√x − 2) ו-f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)², המקיימות g'(x) = f(x). חשבו את הערך של האינטגרל המסוים של g(x)·f(x) בתחום מ-0.25 עד 1.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה g(x) = 2x/(√x − 2) המקיימת g'(x) = f(x), כאשר ל-f יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד ב-x = 36.
- בדקו אם הטענה נכונה: לפונקציה g יש נקודת פיתול אחת בלבד.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2022
המשיק לגרף f(x) = x³ + 4x² בנקודה B(t , t³+4t²) חותך את ציר ה-y בנקודה C(0 , −2t³−4t²).
- מצאו עבור איזה t שטח המשולש OBC מקסימלי, כאשר O היא הראשית ו-−2 < t < 0.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2022
המשיק לגרף f(x) = x³ + 4x² בנקודה x = t חותך את ציר ה-y בנקודה C. נתון ש-C נמצאת מתחת לציר ה-x ו-t < 0. מצאו את תחום הערכים של t.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2022
נתונה f(x) = x³ + 4x². מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x = t.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2022
נתונה f(x) = a·x/(x² − 4), כאשר a פרמטר, בתחום x ≠ ±2. הראו כי הפונקציה אי-זוגית, וקבעו את תחומי החיוביות שלה עבור a > 0.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2022
נתונה f(x) = 3 + x/√(x² − 25) בתחום x > 5 או x < −5. מצאו את ארבע האסימפטוטות המקבילות לצירים, וחשבו את השטח הכלוא ביניהן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונה f(x) = 2x/√x² + x בתחום x > 0 או x < −1. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונה הפונקציה f(x) = 2x/√x² + x. מצאו את תחום ההגדרה, והסבירו מדוע הגרף אינו חותך את הצירים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונות f(x) = (x² − a²)/(x − 4)² ו-g(x) = x²/(x − 4)². חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים, ציר ה-y והישר x = 1.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונות f(x) = (x² − a²)/(x − 4)² ו-g(x) = x²/(x − 4)², שתיהן בתחום x ≠ 4. הוכיחו כי גרף g נמצא כולו מעל גרף f.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונה f(x) = (x² − a²)/(x − 4)² עם 0 < a < 4. מצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונה הפונקציה f(x) = (x² − a²)/(x − 4)², כאשר 0 < a < 4. מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות המאונכות לצירים, ואת נקודות החיתוך עם הצירים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונות שלוש פונקציות: f(x) = √x³ + 2x² , h(x) = √x² + 2x , k(x) = x·√x+2. מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מהן ואת נקודות האפס שלהן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונה r(t) = 16√t/(t² + 3), שהמקסימום שלה הוא 4 ומתקבל ב-t = 1. נתונה הפונקציה k(x) = 8√(x−4)/((x−4)² + 3).
- א.מצאו את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של k
- ב.קבעו את סוגה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
מכפלת אורכי הקטעים היא r(t) = 16√t/(t² + 3) בתחום t > 0. מצאו עבור איזה t המכפלה מקסימלית, ומהו הערך המקסימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונה g(x) = 16x² + 3. מצאו את שיעורי נקודות הפיתול שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונה f(x) = (x − 1)/(x − a)³ עם a ≠ 0. מצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונה הפונקציה f(x) = (x − 1)/(x − a)³, כאשר a ≠ 0 פרמטר, המוגדרת בתחום x ≠ a.
- מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-y.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
שטח מלבן החסום בחצי מעגל שרדיוסו R הוא S(x) = x·√(−x² + 2Rx), בתחום R < x < 2R. מצאו עבור איזה x השטח מקסימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
מלבן ACDE חסום בחצי מעגל שרדיוסו R, כך שהצלע AE מונחת על הקוטר. הנקודה O היא מרכז המעגל ו-AC = x, כאשר C נמצאת על הקוטר בין A ל-O.
- הביעו באמצעות x ו-R את שטח המלבן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
נתונה f(x) = 4x/(x² − a²)² עם a > 0. הפונקציה g(x) מוגדרת באותו תחום, מקיימת g'(x) = f(x), וגרפה עובר בראשית הצירים. מצאו את g(x).
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
נתונה הפונקציה f(x) = 4x/(x² − a²)², כאשר a > 0. מצאו את תחומי העלייה והירידה שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2026
נתונה הפונקציה f(x) = (-36x²)/((x³-8)²) המוגדרת בתחום x ≠ 2. g(x) היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת g'(x) = f(x). הפונקציה g(x) מוגדרת בתחום x ≠ 2. נתון כי גרף הפונקציה g(x) עובר דרך הנקודה (0, 0.5). (1) מצאו פונקציה g(x) המקיימת תנאים אלה. (2) אחד מן הגרפים I–IV מתאר פונקציה g(x) המקיימת תנאים אלה.
- א.קבעו איזה מהם,
- ב.נמקו את קביעתכם.