חשבון דיפרנציאלי
65 תרגילים בנושא הזה משאלון 35571 — 65 מהם שאלות בגרות אמיתיות עם פתרון שלב אחר שלב.
הנושא הזה הופיע כמעט בכל מועד של שאלון 35571. שעה כאן שווה יותר משעה כמעט בכל נושא אחר.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2026
f(x) = x√(6 − x) או f(x) = −x√(6 − x), בתחום x ≤ 6, ו-g(x) = (f(x))². חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g וציר ה-x.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2026
לפונקצייה f(x), המוגדרת לכל x, יש נקודת קיצון אחת בלבד, מקסימום ב-(4, 3), אסימפטוטה אופקית אחת y = 0, וגרפה חותך את ציר ה-y ב-(0, 1). g(x) = 1/(f(x) − 2).
- א.כמה אסימפטוטות אנכיות יש ל-g,
- ב.מהי האסימפטוטה האופקית שלה?
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2026
נתונה f(x) = sin²x·cos(2x) בתחום −π/4 ≤ x ≤ π/4. הוכיחו שהיא זוגית, ומצאו את נקודות הקיצון וסוגן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
נתונה f(x) = 4x/(x² − a²)² עם a > 0. הראו כי f היא פונקציה אי-זוגית, וקבעו את תחומי החיוביות והשליליות שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
נתונה הפונקציה f(x) = 4x/(x² − a²)², כאשר a > 0 פרמטר. מצאו את תחום ההגדרה ואת משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
במלבן החסום בחצי מעגל שרדיוסו R, השטח מקסימלי כאשר AC = 1.5R. נתון כי סכום שטחי המשולשים CDF ו-AFE שווה למחצית שטח המלבן.
- מצאו את הסכום המקסימלי של שטחי שני המשולשים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2025
f(x) היא פונקציה אי-זוגית המוגדרת לכל x, בעלת מינימום ב-(3 , −6) ומקסימום ב-(−3 , 6), והיא מתאפסת ב-x = 0 בלבד. נתונה הפונקציה g(x) = f²(x) · f'(x).
- מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של g עם ציר ה-x.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2025
f(x) היא פונקציה אי-זוגית המוגדרת לכל x, ויש לה נקודת מינימום יחידה ב-(3 , −6). נתון כי לפונקציה אסימפטוטה אופקית y = 0.
- מצאו את נקודת המקסימום שלה ואת תחומי העלייה והירידה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2025
נתונה הפונקצייה f(x) = 1/cos x + 2cos x בתחום −π/2 ≤ x ≤ π/2.
- א.מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות האנכיות, קבעו אם הפונקצייה זוגית,
- ב.מצאו את נקודות הקיצון שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2025
נתונה הפונקצייה f(x) = √(R² − x²) בתחום −R ≤ x ≤ R, כאשר R > 0. הנקודה A(t, f(t)) על הגרף ברביע הראשון. דרך A מעבירים ישר מקביל לציר ה-x החותך את הגרף בנקודה נוספת B, והנקודות C ו-D על ציר ה-x יוצרות מלבן ABCD. F היא נקודת החיתוך של AB עם ציר ה-y, ו-E נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-y.
- הביעו באמצעות R ו-t את EF ואת היקף המלבן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2023
נתונה הפונקציה g(x) = (x² − 1)/((x+1)(x+2)). פשטו את הביטוי ומצאו את האסימפטוטות ואת נקודת אי-הרציפות הסליקה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2023
נתונה הפונקציה f(x) = √(4x² + 1)/x, שהאסימפטוטות האופקיות שלה הן y = 2 ו-y = −2. נתונה g(x) = k · f(x + 3) עבור k > 0.
- מצאו את k שעבורו המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של g שווה ל-10.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2022
נתונה הפונקציה f(x) = (2 − 1x)³. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטה האופקית שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2022
נתונה הפונקציה f(x) = 2x + 2x. מצאו את תחום ההגדרה, את שיעורי נקודות הקיצון ואת סוגן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה הפונקציה f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)², המוגדרת עבור x ≥ 0 ו-x ≠ 4. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2022
נתונה הפונקציה f(x) = 3 + x/√(x² − 25). מצאו את תחום ההגדרה שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונות f(x) = √x בתחום x ≥ 0 ו-g(x) = 16/(x² + 3). בנקודה C(t , 0) מעלים אנך לציר ה-x החותך את גרף f בנקודה A ואת גרף g בנקודה B.
- הביעו באמצעות t את מכפלת האורכים AC·BC.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונה הפונקציה g(x) = 16x² + 3, המוגדרת לכל x. מצאו את נקודת הקיצון שלה, את האסימפטוטה האופקית, והסבירו מדוע אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה-x.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונה f(x) = (x − 1)/(x − a)³, שנקודת הקיצון שלה היא ב-x = (3 − a)/2 והאסימפטוטה האנכית ב-x = a.
- מצאו עבור אילו ערכי a נקודת הקיצון נמצאת משמאל לאסימפטוטה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2026
נתונים f(x) = (4x − 2)³ והישר y = 3x + b, b > 0. A על גרף f, משמאל לנקודת החיתוך עם הישר, ו-B על הישר כך ש-AB ∥ ציר ה-x. t שיעור ה-x של A, ו-0 ≤ t ≤ 0.7.
- א.הביעו את x_B,
- ב.מצאו את t שבעבורו AB מינימלי ואת t שבעבורו AB מקסימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2026
f(x) = 6(x − 1)²/(x² + 4), עם מקסימום (−4, 7.5) ומינימום (1, 0), ו-g(x) = −f′(x)/(f(x))².
- מצאו את תחום g, את תחומי החיוביות והשליליות, ואת השטח בין g לציר ה-x ב-−4 ≤ x ≤ 0.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2026
נתונה הפונקצייה f(x) = 6(x − 1)² / (x² + a), a > 0. מצאו תחום, אסימפטוטות, נקודות קיצון (באמצעות a), ואת a בהינתן ששיעור ה-y של המקסימום הוא 7.5.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
נתונה הפונקציה f(x) = 4x/(x² − a²)², כאשר a > 0. מצאו את תחומי העלייה והירידה שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
שטח מלבן החסום בחצי מעגל שרדיוסו R הוא S(x) = x·√(−x² + 2Rx), בתחום R < x < 2R. מצאו עבור איזה x השטח מקסימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
מלבן ACDE חסום בחצי מעגל שרדיוסו R, כך שהצלע AE מונחת על הקוטר. הנקודה O היא מרכז המעגל ו-AC = x, כאשר C נמצאת על הקוטר בין A ל-O.
- הביעו באמצעות x ו-R את שטח המלבן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2024
נתונה f(x) = 4x/(x² − a²)² עם a > 0. הפונקציה g(x) מוגדרת באותו תחום, מקיימת g'(x) = f(x), וגרפה עובר בראשית הצירים. מצאו את g(x).
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונה f(x) = 2x/√x² + x בתחום x > 0 או x < −1. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונה הפונקציה f(x) = 2x/√x² + x. מצאו את תחום ההגדרה, והסבירו מדוע הגרף אינו חותך את הצירים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונות f(x) = (x² − a²)/(x − 4)² ו-g(x) = x²/(x − 4)². חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים, ציר ה-y והישר x = 1.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונות f(x) = (x² − a²)/(x − 4)² ו-g(x) = x²/(x − 4)², שתיהן בתחום x ≠ 4. הוכיחו כי גרף g נמצא כולו מעל גרף f.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונה f(x) = (x² − a²)/(x − 4)² עם 0 < a < 4. מצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונה הפונקציה f(x) = (x² − a²)/(x − 4)², כאשר 0 < a < 4. מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות המאונכות לצירים, ואת נקודות החיתוך עם הצירים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2023
נתונות שלוש פונקציות: f(x) = √x³ + 2x² , h(x) = √x² + 2x , k(x) = x·√x+2. מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מהן ואת נקודות האפס שלהן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2025
מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות: f(x) = x/√(x²−1) , g(x) = √x/(x²−1) , h(x) = √(x/(x²−1)).
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2025
נתונה הפונקציה g(x) = f²(x) · f'(x), כאשר f אי-זוגית עם מקסימום ב-(−3 , 6) ומינימום ב-(3 , −6).
- חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g וציר ה-x בתחום −3 ≤ x ≤ 3.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2025
נתונה הפונקציה f(x) = x·√(8−x). הנקודה A(t , t√(8−t)) נמצאת על הגרף ברביע הראשון. מן הנקודה A מעבירים אנך לציר ה-x החותך אותו ב-B(t , 0), ואנך שני לישר x = 8 החותך אותו ב-D. הנקודה C היא (8 , 0).
- מצאו עבור איזה t היקף המלבן ABCD מקסימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2025
נתונה הפונקצייה f(x) = √(R² − x²) (R > 0). ברביע הראשון נוצר מלבן ABCD שהיקפו 4t + 2√(R² − t²), ולצדו ריבוע שאורך צלעו EF = R − √(R² − t²).
- מצאו באמצעות R את t שבעבורו ההפרש בין היקף המלבן להיקף הריבוע מקסימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2025
המשיק לגרף f(x) = a/(x−1)² + 6 בנקודה שבה x = 2 הוא y = −2ax + 5a + 6. המשיק חותך את ציר ה-x בנקודה A ואת הישר x = 1 בנקודה B, והנקודה D היא (1, 0).
- א.הביעו באמצעות a את שטח המשולש ADB,
- ב.מצאו את הערך של a שבעבורו השטח מינימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2025
נתונה הפונקצייה f(x) = a/(x−1)² + 6 בתחום x ≠ 1, כאשר a פרמטר חיובי.
- א.מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים,
- ב.הביעו באמצעות a את משוואת המשיק לגרף בנקודה C ששיעור ה-x שלה הוא 2.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2026
נתונה הפונקצייה f(x) = (cos x + 1)·(b·cos x − 1), המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π. b הוא פרמטר, ונתון 0 < b < 1. א. האם הפונקצייה f(x) היא זוגית או אי-זוגית? נמקו את תשובתכם. ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה-x. נתון כי לפונקצייה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = π/3. ג.
- א.מצאו את הערך של b
- ב.קבעו את סוגן
- ג.האם שיעור ה-y של הנקודה A הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2026
נתונה הפונקצייה f(x) = ax/(x − 3)², המוגדרת בתחום x ≠ 3. a הוא פרמטר חיובי. א. ענו על התת-סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות a, אם יש צורך. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. ב.
- א.סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x)
- ב.מצאו את הערך של a
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · מיוחד 2023
הישר y = −2x + 2p + 1 חותך את הצירים בנקודות A ו-B, ומשולש OED ששטחו p/2 בנוי כך ש-OE = p.
- מצאו את הערך של p שבעבורו היחס בין שטח המשולש OED ובין שטח המשולש ABO הוא מקסימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2023
על גרף הפונקציה y = (x−1)/(x+2) נבחרת נקודה A שהשיעור שלה (t, (t−1)/(t+2)) עבור −1 < t < 1. בונים מלבן שאחת מפינותיו בראשית וצלעותיו מקבילות לצירים, כאשר אורך צלע אחת הוא |t+2| ואורך השנייה הוא |(t−1)/(t+2)|.
- מצאו את t שעבורו היקף המלבן מינימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2023
נתונה הפונקציה f(x) = √4x² + 1/x, המוגדרת עבור x ≠ 0. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2022
נתונה הפונקציה f(x) = 2x + 2x, ונתונה g(x) = f(x) · f'(x). חשבו את השטח הכלוא בין גרף g וציר ה-x בתחום שבין x = 1 ל-x = 4, ובין x = −4 ל-x = −1.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
לפונקציה f(x) יש שתי אסימפטוטות המאונכות לציר ה-x ושתיים המאונכות לציר ה-y. נתונות ארבע אפשרויות: (I) x/√(x²+16) , (II) x/√(x²−16) , (III) x²/√(x²+16) , (IV) x²/√(x²−16).
- קבעו איזו מהן מייצגת את f ונמקו.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
לפונקציה f(x) שלוש נקודות קיצון בשיעורי x שהם A, B ו-C בסדר עולה, כאשר A ו-C מקסימום ו-B מינימום. נתון f(A) = 6 ו-f(B) = 2. השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f'(x) לבין ציר ה-x בתחום שבין A ל-C שווה ל-7.
- מצאו את f(C).
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה הפונקציה f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)². מצאו את תחום ההגדרה ואת משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה הפונקציה g(x) = 2x/(√x − 2), המוגדרת באותו תחום כמו f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)². הראו כי g'(x) = f(x) בתחום ההגדרה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה g(x) = 2x/(√x − 2) המקיימת g'(x) = f(x), כאשר לפונקציה f יש מקסימום מוחלט בערך 0.125. בדקו אם הטענה נכונה: יש משיק לגרף g ששיפועו 2.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה g(x) = 2x/(√x − 2) המקיימת g'(x) = f(x), כאשר ל-f יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד ב-x = 36.
- בדקו אם הטענה נכונה: לפונקציה g יש נקודת פיתול אחת בלבד.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונות g(x) = 2x/(√x − 2) ו-f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)², המקיימות g'(x) = f(x). חשבו את הערך של האינטגרל המסוים של g(x)·f(x) בתחום מ-0.25 עד 1.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה הפונקציה f(x) = x/√(x² − 16), המוגדרת עבור x > 4 או x < −4. הפונקציה g(x) מוגדרת באותו תחום ומקיימת g'(x) = f(x) + 5/3.
- מצאו את תחומי העלייה והירידה של g.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · חורף 2024
נתונה הפונקציה f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)² בתחום x ≥ 0 , x ≠ 4. נתון כי מונה הנגזרת מתאפס כאשר √x = 6.
- א.מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה
- ב.קבעו את סוגן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2022
המשיק לגרף f(x) = x³ + 4x² בנקודה B(t , t³+4t²) חותך את ציר ה-y בנקודה C(0 , −2t³−4t²).
- מצאו עבור איזה t שטח המשולש OBC מקסימלי, כאשר O היא הראשית ו-−2 < t < 0.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2022
המשיק לגרף f(x) = x³ + 4x² בנקודה x = t חותך את ציר ה-y בנקודה C. נתון ש-C נמצאת מתחת לציר ה-x ו-t < 0. מצאו את תחום הערכים של t.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2022
נתונה f(x) = x³ + 4x². מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x = t.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2022
נתונה f(x) = a·x/(x² − 4), כאשר a פרמטר, בתחום x ≠ ±2. הראו כי הפונקציה אי-זוגית, וקבעו את תחומי החיוביות שלה עבור a > 0.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2022
נתונה f(x) = 3 + x/√(x² − 25) בתחום x > 5 או x < −5. מצאו את ארבע האסימפטוטות המקבילות לצירים, וחשבו את השטח הכלוא ביניהן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונה r(t) = 16√t/(t² + 3), שהמקסימום שלה הוא 4 ומתקבל ב-t = 1. נתונה הפונקציה k(x) = 8√(x−4)/((x−4)² + 3).
- א.מצאו את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של k
- ב.קבעו את סוגה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
מכפלת אורכי הקטעים היא r(t) = 16√t/(t² + 3) בתחום t > 0. מצאו עבור איזה t המכפלה מקסימלית, ומהו הערך המקסימלי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונה g(x) = 16x² + 3. מצאו את שיעורי נקודות הפיתול שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונה f(x) = (x − 1)/(x − a)³ עם a ≠ 0. מצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · ב 2024
נתונה הפונקציה f(x) = (x − 1)/(x − a)³, כאשר a ≠ 0 פרמטר, המוגדרת בתחום x ≠ a.
- מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-y.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35571 · א 2026
נתונה הפונקצייה f(x) = −30x²/(x³ − 8)², המוגדרת בתחום x ≠ 2. g(x) היא פונקצייה שהנגזרת שלה מקיימת g'(x) = f(x). הפונקצייה g(x) מוגדרת בתחום x ≠ 2. נתון כי גרף הפונקצייה g(x) עובר דרך הנקודה (0, 0.75). (1) מצאו פונקצייה g(x) המקיימת תנאים אלה. (בשאלון המקורי יש גם סעיף שבו בוחרים, מבין ארבעה סרטוטים, את הגרף המתאר את g(x). הסרטוטים אינם מוצגים כאן.)