גיאומטריה אנליטית
35 תרגילים בנושא הזה משאלון 35572 — 35 מהם שאלות בגרות אמיתיות עם פתרון שלב אחר שלב.
הנושא הזה הופיע כמעט בכל מועד של שאלון 35572. שעה כאן שווה יותר משעה כמעט בכל נושא אחר.
נתוני השאלה
נתונים הישר y = x והפרבולה y² = 2px (p > 0). A היא נקודת החיתוך שלהם ברביע הראשון. ℓ המשיק לפרבולה ב-A, ו-F מוקד הפרבולה. מעגל I שמרכזו F משיק ל-ℓ בנקודה B.
3 סעיפים על הנתונים האלה
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2026
p = 4, כלומר I: (x − 2)² + y² = 20. מצאו את המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים שמשיקים ל-I מבפנים ורדיוסם 2√5 − 3.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2026
A(2p, 2p), ℓ: x − 2y + 2p = 0, F(p2, 0). הראו ש-B על ציר ה-y, ומצאו את p אם AB = 4√5.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2026
הביעו באמצעות p את A ואת משוואת המעגל I.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2024
במעוין שמרכזו בראשית הצירים, האנך מן הראשית אל הצלע AB אורכו √5. מצאו את משוואת המעגל החסום במעוין.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2024
נתון המעגל x² + y² = 5 ומשוואת הצלע y = −0.5x + 2.5. מצאו את שיעורי נקודת ההשקה M של המעגל והמעוין ברביע הראשון.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2024
נתונים A(2 , 0) ו-M(8 , 8), כאשר M אמצע הצלע BC ו-B נמצאת על הישר x = −2. מצאו את שיעורי B ו-C.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2024
נתונה הפרבולה y² = 4ax. מצאו את המוקד ואת המדריך שלה, והסבירו מדוע מתקבלות שתי פרבולות אפשריות.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2023
את המעגל (x − 9)² + (y − 12)² = 400 מזיזים 9 יחידות שמאלה ו-12 יחידות למטה. המעגל החדש חותך את ציר ה-y בנקודות E ו-G (E מעל G).
- מצאו את משוואת המעגל החדש ואת שיעורי E ו-G.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · א 2023
נתונה פרבולה קנונית y² = 2px שמוקדה נמצא בנקודה (2k , 0). מצאו את משוואת המדריך שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2024
נתון מעוין שאלכסונו AC אורכו 10 ומרכזו בראשית הצירים O, כך ש-A(5 , 0). מורידים אנך OM מן הראשית אל הצלע AB, ואורכו √5. מצאו את משוואת הצלע AB.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2024
מן הנקודה M(1 , 2) מורידים אנך לציר ה-x, החותך אותו בנקודה K(1 , 0).
- מצאו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחק שווה מן הנקודה K ומן הישר x = −1.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2024
הנקודה N נמצאת על הפרבולה y² = 4x ברביע הראשון, כאשר x = 5. מעגל שמרכזו N משיק למעגל x² + y² = 5. מצאו את כל משוואות המעגל שמרכזו N.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2024
הנקודה M(s , t) נמצאת על הפרבולה y² = 4ax, כלומר M(t²/(4a) , t). הוכיחו כי המשיק לפרבולה בנקודה M מקביל לישר AC, כאשר A(a , 0) ו-C(2s + a , t).
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2024
הקודקוד B נמצא על הישר x = −2, ולכן a = 2 והפרבולה היא y² = 8x. הנקודה M נמצאת על הפרבולה ברביע הראשון, ומרחקה מן המוקד A(2 , 0) הוא 10.
- מצאו את שיעורי M.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2024
נתונה הנקודה A(a , 0) כאשר a ≠ 0 פרמטר. הנקודה B נמצאת על הישר x = −a, והקטע BC מקביל לציר ה-x. הנקודה M היא אמצע הצלע BC, והזווית BAC היא 90°.
- מצאו את משוואת המקום הגיאומטרי של הנקודה M.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2024
נתונים A(2 , 0) ו-B(−2 , 8). דרך A מעבירים מעגל המשיק לצלע AB, כך ש-AB מונח על הישר שעליו נמצא קוטר המעגל, והמשיק השני יוצא מן הנקודה M(8 , 8). ידוע שמרכז המעגל מחלק את AB ביחס 1:3.
- מצאו את שיעורי מרכז המעגל.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2023
משוואת הישר EF₁ היא 4x − 3y + 60 = 0. מצאו משוואות של שני מעגלים המשיקים לישר זה, לציר ה-x ולציר ה-y, כאשר כל אחד מהם נמצא ברביע אחר.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2023
הנקודות E(0 , 20) ו-G(0 , −20) נמצאות על אליפסה קנונית שמוקדיה F₁ ו-F₂ על ציר ה-x. נתון כי המרחק בין הישרים EF₁ ו-GF₂ הוא 24.
- מצאו את שיעורי F₁ ואת משוואת האליפסה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2023
נתונות הנקודות A(0 , 24) ו-B(18 , 0). מצאו את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות הנקודות C המקיימות AC² + BC² = 1,250.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · א 2026
נתונה פרבולה שמשוואתה y² = 54x. בנקודה A, שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו 3/4. א. מצאו את שיעורי הנקודה A. הנקודה A נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה M. נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה A, וכי ציר ה-y משיק למעגל כך ששיעור ה-x של הנקודה M קטן משיעור ה-x של הנקודה A. ב. (1) מצאו את משוואת הישר AM. (2) מצאו את משוואת המעגל. נקודה B היא נקודה כלשהי על המעגל. דרך נקודה B מעבירים משיק למעגל. נקודה P נמצאת על המשיק כך ש-BP = 36. ג. (1) מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות P המתקבלות באופן זה. (2) האם על המקום הגאומטרי שמצאתם יש שתי נקודות שהמרחק ביניהן הוא 80?
- נמקו את תשובתכם.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · א 2024
נתון מעגל I שמשוואתו (x−3)² + (y−4)² = 9 ומרכזו K, ומעגל II שמשוואתו (x+5)² + (y−2)² = 1 ומרכזו L. הנקודה A על מעגל I והנקודה B על מעגל II. מעבירים משיק למעגל I דרך A ומשיק למעגל II דרך B, ושני המשיקים נחתכים בנקודה M.
- א.הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות M המקיימות MA = MB הוא קו ישר,
- ב.מצאו את משוואתו.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · א 2024
נתונים מעגל I שמרכזו K(3,4) ורדיוסו 3, ומעגל II שמרכזו L(−5,2) ורדיוסו 1. המקום הגאומטרי של הנקודות M שמהן אורכי המשיקים לשני המעגלים שווים הוא הישר y = −4x − 3.
- א.הראו כי ישר זה מאונך לישר KL,
- ב.קבעו אם קיימת נקודה M על המקום הגאומטרי שמתקיים בעבורה MK = ML.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · א 2024
נתונים K(3,4) ו-L(−5,2), והמקום הגאומטרי y = −4x − 3. עבור אחת הנקודות M על המקום הגאומטרי, הנמצאת מעל הישר KL, שטח המשולש KLM הוא 9.
- מצאו את שיעורי הנקודה M, ואם M נמצאת על הפרבולה y² = 2px — מצאו את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה M.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · מיוחד 2023
הפרבולה y² = 16x סימטרית לציר ה-x. מעגל משיק לה בשתי נקודות, ואחת מהן היא A(4 , 8), שבה שיפוע המשיק המשותף הוא 1. מצאו את משוואת המעגל.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · מיוחד 2023
הישר x = −4 הוא מדריך של פרבולה קנונית. מצאו את משוואת הפרבולה, ובדקו אם הישר −3x + 4y − 20 = 0 משיק לה בנקודה A(4 , 8).
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · מיוחד 2023
מעגל שמרכזו M משיק לשני הישרים ℓ₁: −3x + 4y − 20 = 0 ו-ℓ₂: x = −4. נתון ש-M ברביע הראשון ושנקודת ההשקה עם ℓ₁ היא A(4 , 8). מצאו את שיעורי M.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · מיוחד 2023
נתונים שני ישרים: ℓ₁: −3x + 4y − 20 = 0 ו-ℓ₂: x = −4. מצאו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחק שווה משני הישרים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · א 2023
עבור k = 1 האליפסה היא x²/144 + y²/140 = 1, המוקדים הם F₁(2,0) ו-F₂(−2,0), והנקודה A היא (8,8). הנקודה D נמצאת על האליפסה. השוו בין היקף המשולש F₁AF₂ להיקף המשולש F₁DF₂.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · א 2023
נתונים A(8k , 8k) ו-F₁(2k , 0), והקטע AF₁ הוא קוטר במעגל. הישר 5x + 12y = 138 משיק למעגל זה. מצאו את k, בהינתן 0 < k < 6.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · א 2023
הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על פרבולה קנונית שמוקדה (2k , 0) ומדריכה x = −2k. נתון AF₁ = 10k. מצאו את משוואת הפרבולה ואת שיעורי A.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · א 2023
נתונה האליפסה x²/144 + y²/(144 − 4k²) = 1, כאשר 0 < k < 6. מצאו את שיעורי שני המוקדים שלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2025
נתון המעגל (x − 8)² + y² = 156.25 ופרבולה y² = 32x הנחתכים בנקודה C(4.5 , 12). מעבירים משיק לפרבולה בנקודה C, ומשיק למעגל המקביל לו.
- מצאו את המרחק בין שני המשיקים.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2025
נתון המעגל (x − 8)² + y² = 156.25 שמרכזו M(8 , 0). נתונה פרבולה קנונית מהצורה y² = 2px שמוקדה הוא M.
- מצאו את משוואת הפרבולה ואת שיעורי נקודת החיתוך C של הפרבולה עם המעגל ברביע הראשון.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2025
הנקודות A(−9a , 0) ו-B(41a , 0) והנקודה P נעה על המעגל (x − 16a)² + y² = 625a². נתון כי השטח הגדול ביותר של המשולש APB הוא 156.25. מצאו את a.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2025
נתונות הנקודות A(−9a , 0) ו-B(41a , 0), כאשר a > 0 פרמטר. הנקודה P מקיימת ∠APB = 90°. מצאו את משוואת המקום הגיאומטרי של הנקודה P.