מספרים מרוכבים
24 תרגילים בנושא הזה משאלון 35572 — 20 מהם שאלות בגרות אמיתיות עם פתרון שלב אחר שלב.
חשב את החלוקה 6 + 4i1 - 2i בעזרת הצמוד המרוכב, והצג את התוצאה בצורה a + bi.
חשב את המכפלה (2 + 3i)(1 - 2i) והצג את התוצאה בצורה a + bi.
בהינתן המספר המרוכב z = 10 + 5i2 - i, חשב את |z| (הערך המוחלט של z), והצג את התשובה כמספר ממשי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · מיוחד 2023
פתרו את המשוואה z⁶ = 1 במספרים המרוכבים, וכתבו את כל הפתרונות בהצגה קוטבית.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2025
נתון המספר המרוכב w = r(cos α + i·sin α) = r·cis α, כאשר r > 0 ו-90° < α < 180°. הביעו באמצעות r ו-α את ההצגה הקוטבית של המספר 1w.
חשב את הביטוי (3 + 2i) + (1 - 4i) - (2 + i) והצג את התשובה בצורה a + bi.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · מיוחד 2023
נתונים שני משושים משוכללים חסומים במעגל היחידה: משושה I שקודקודיו cis(60°k) ומשושה II שקודקודיו cis(−45° + 60°k).
- מצאו מספר מרוכב w = r·cis α עם 0° < α < 60° שהכפלה בו מעבירה קודקוד של I לקודקוד של II.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · מיוחד 2023
הנקודה A(√2/2 , −√2/2) על מעגל היחידה היא קודקוד של משושה משוכלל חסום. כתבו את ששת המספרים המרוכבים המייצגים את קודקודיו.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · מיוחד 2023
המקום הגיאומטרי y = −12x חותך את מעגל היחידה x² + y² = 1. מצאו את נקודת החיתוך שברביע הרביעי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · א 2023
הנקודות A, B, C על מעגל שרדיוסו d ומרכזו בראשית, עם ארגומנטים 300°, 30° ו-120° בהתאמה. שטח המשולש ABC הוא 5d + 6. מצאו את d.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · א 2023
נתון z₀ = cis 300°. הנקודות A, B, C מייצגות את המספרים d·z₀ , d·i·z₀ ו-d·(z₀)⁴ בהתאמה, כאשר d > 0.
- א.הראו שכולן על מעגל שרדיוסו d,
- ב.מצאו את הארגומנטים שלהן.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · א 2023
פתרו את המשוואה z³ = 1z³, כאשר z מספר מרוכב, ומצאו את הפתרון z₀ הנמצא ברביע הרביעי.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2024
בסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים z₁ = 3 + 4i, וכל מנה אפשרית מקיימת |q| = ⁴√2. חשבו את הסכום z₁·z̄₁ + z₂·z̄₂ + ... + z₁₀·z̄₁₀.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2024
בסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים z₁, z₂, ... נתון z₁ = 3 + 4i ו-z₅ = 6 + 8i. מצאו את כל האפשרויות למנת הסדרה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2024
הנקודה M(6 , 8) היא מרכז מעגל ומייצגת את המספר המרוכב z_M. הנקודה A ברביע הראשון מייצגת את z_A, כאשר arg(z_A) = arg(z_M) ו-|z_M| = 2|z_A|.
- מצאו את שיעורי A.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2024
נתון המספר המרוכב z = x + yi. הראו כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות |z − 6 − 8i| = |3 + 4i| הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ורדיוסו.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2024
המספרים 2cis(105°+α), 2cis(165°+α), 2cis(285°+α), 2cis(345°+α) מייצגים את קודקודי מרובע מסובב, כאשר 0° < α < 90°.
- א.מצאו עבור אילו ערכי α מכפלת ארבעת המספרים היא מספר מדומה טהור,
- ב.מהו ערך המכפלה.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2024
המרובע שקודקודיו 2cis105°, 2cis165°, 2cis285°, 2cis345° מסובב סביב ראשית הצירים בזווית α נגד כיוון השעון, כאשר 0° < α < 90°.
- מצאו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את הקודקודים לאחר הסיבוב, עבור α = 45°.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2024
הנקודות A, B, C, D מייצגות את המספרים 2cis105°, 2cis165°, 2cis285°, 2cis345° בהתאמה. הוכיחו כי המרובע ABCD הוא מלבן, ומצאו את שטחו.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2024
פתרו את המשוואה (z⁶ + 64i)/(z² − 4i) = 0, כאשר z מספר מרוכב. נתון כי פתרונות המונה הם 2cis(45° + k·60°).
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · ב 2024
פתרו את המשוואה z⁶ + 64i = 0, כאשר z מספר מרוכב. כתבו את כל הפתרונות בהצגה קוטבית.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2025
מצולע קמור בעל 16 קודקודים, שכולם על מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו r. הקודקודים ניתנים לייצוג על ידי r·cis(k·22.5°), כלומר המצולע משוכלל. נתון כי שטח המצולע הוא 49.
- מצאו את r.
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2025
נתון w = r·cis 157.5°. נתונות שתי משוואות: (I) z⁸ = w⁸ ו-(II) z⁸ = r⁴·(w·w̄)². קודקודי מצולע קמור הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של שתי המשוואות.
- כמה קודקודים יש למצולע?
שאלה מבגרות אמיתית · שאלון 35572 · חורף 2025
נתון המספר המרוכב w = r·cis α כאשר r > 0. הנקודה A מייצגת את w והנקודה B מייצגת את 1/w, ו-O היא ראשית הצירים. שטח המשולש AOB הוא √2/4 והזווית AOB מקיימת 0° < ∠AOB < 90°.
- מצאו את α, בהינתן ש-90° < α < 180°.