איך לתרגל מתמטיקה בעזרת שאלות שאתה ממציא בעצמך

למה בכלל להמציא שאלות משלכם

ברוב התרגול במתמטיקה מקבלים שאלה מוכנה וצריך לפתור אותה. כשממציאים שאלה, הכיוון מתהפך: צריך לבחור נתונים, להחליט מה המבוקש, לבנות קשר מתמטי ולוודא שהתוצאה אכן ניתנת לחישוב. הפעולה הזאת מכריחה לחשוב על המבנה של התרגיל ולא רק על הפעולות שבתוכו.

נניח שלמדתם משוואות פשוטות ואתם רוצים ליצור משוואה שהפתרון שלה הוא x = 4. אפשר לבחור את המשוואה 3x + 2 = 14. בדיקה בהצבה נותנת 3×4 + 2 = 14, ולכן הדוגמה תקינה. כאן לא רק פתרתם משוואה; בניתם אותה מתוך הבנה של הקשר בין המשתנה, הפעולות והתוצאה.

השיטה מתאימה במיוחד אחרי שכבר מכירים את הבסיס של הנושא. היא אינה מחליפה למידה ראשונית, אלא מוסיפה שכבת תרגול שבה צריך לקבל החלטות. אם עדיין לא ברור איך פותרים סוג מסוים של תרגיל, אפשר להתחיל בתרגול מתמטיקה או לעיין בפתרונות תרגילים ורק אחר כך לעבור ליצירה עצמאית.

היתרון הגדול הוא התאמה לקושי האישי. אם רוצים לחזק עבודה עם מספרים שליליים, יוצרים תרגיל שמחייב שימוש בהם. אם רוצים לתרגל בעיה מילולית, בונים סיפור קצר שמוביל למשוואה. אם רוצים לחזק בדיקה, מתחילים מתשובה ידועה ובונים שאלה שמובילה אליה.

מתחילים מהמיומנות ולא מהמספרים

הדרך הפשוטה ביותר ליצור תרגיל טוב היא להתחיל בשאלה: מה בדיוק אני רוצה לתרגל? אם מתחילים סתם מבחירת מספרים, אפשר לקבל שאלה אקראית שלא מחזקת שום דבר מסוים. כשמגדירים מראש את המיומנות, הנתונים נבחרים כדי לשרת אותה.

אם רוצים לתרגל חיבור שברים עם מכנים שונים, בוחרים שברים שבאמת דורשים התאמת מכנים. אם רוצים לתרגל פתיחת סוגריים, בונים ביטוי שבו יש סוגריים וגם שלב נוסף אחריהם. אם רוצים לתרגל אחוזים, אפשר לבנות שאלה שמבדילה בין גודל ההנחה לבין המחיר לאחר ההנחה.

1. 1בחרו מיומנות אחת בלבד.
2. 2הגדירו רמת קושי: בסיסית, בינונית או מאתגרת.
3. 3בחרו נתונים שמתאימים למיומנות הזאת.
4. 4פתרו את השאלה בעצמכם.
5. 5בדקו שהמבוקש ברור ושאין מידע חסר.

לדוגמה, מוצר עולה 150 שקלים ויש עליו הנחה של 20%. אפשר לשאול גם מה גובה ההנחה וגם מה המחיר לאחריה. גובה ההנחה הוא 30 שקלים, והמחיר החדש הוא 120 שקלים. אותה שאלה מתרגלת גם חישוב אחוז וגם קריאה מדויקת של המבוקש.

למי שרוצה לבחור נושא לפני שמתחילים, רשימת נושאי התרגול יכולה לעזור לבחור תחום ממוקד.

משנים שאלה קיימת במקום להמציא הכול מאפס

לא חייבים להתחיל מדף ריק. אפשר לקחת תרגיל שכבר פתרתם ולשנות בו רכיב אחד: מספר, סימן, נתון, מבוקש או תנאי. כך המבנה נשאר מוכר, אבל עדיין צריך לחשוב מחדש ולא רק להעתיק את הדרך.

אם פתרתם את המשוואה 4x + 3 = 19, אפשר ליצור גרסה חדשה כמו 5x - 2 = 18. אפשר גם לשמור משוואה מוכרת ולשנות את סוג המשימה: במקום "פתרו", לכתוב "בדקו האם x = 4 הוא פתרון". שינוי כזה בודק הבנה אחרת של אותו נושא.

בבעיה מילולית אפשר לשנות את הסיפור ולשמור על אותו קשר מתמטי. למשל, בעיית קנייה יכולה להפוך לבעיה על כרטיסים או מחברות כל עוד היחס בין כמות, מחיר וסכום נשאר עקבי. בבעיית תנועה אפשר לשנות מהירות, זמן או את המבוקש.

כדאי לשנות בכל פעם רק רכיב מרכזי אחד. אם משנים הכול בבת אחת, קשה לדעת מה באמת תרגלתם. הגישה הזאת משתלבת היטב עם תרגול בלי להעתיק דוגמה מהמחברת.

מתחילים מהתשובה ובונים את השאלה לאחור

שיטה חזקה במיוחד היא לבחור קודם תשובה ורק אחר כך לבנות שאלה שמובילה אליה. כך חושבים בכיוון הפוך: אילו פעולות ואילו נתונים ייצרו את הערך שבחרתי? השיטה מתאימה לאלגברה, שברים, אחוזים וגיאומטריה.

אם רוצים משוואה שהפתרון שלה x = 6, אפשר להתחיל מ־x = 6. נכפיל את שני הצדדים ב־2 ונקבל 2x = 12. נוסיף 5 לשני הצדדים ונקבל 2x + 5 = 17. עכשיו יש לנו תרגיל מוכן, ואפשר לפתור אותו מהתחלה כדי לוודא שהבנייה נכונה.

בשברים אפשר לבחור מראש תוצאה של 3/4 ולחפש שני שברים שסכומם מתאים, למשל 1/2 ועוד 1/4. אחר כך אפשר לשנות את המשימה ולבקש למצוא את השבר החסר. בגיאומטריה אפשר להתחיל משטח רצוי, למשל 24 סמ״ר, לבחור מלבן שאורכיו 6 ס״מ ו־4 ס״מ, ואז להחליט אם לשאול על השטח, על אחת הצלעות או על ההיקף.

1. 1בחרו תשובה נוחה לבדיקה.
2. 2חשבו איזה קשר יכול להוביל אליה.
3. 3בנו נתונים מתאימים.
4. 4כתבו את השאלה בלי לחשוף את התשובה.
5. 5פתרו מחדש ובדקו שהכול עקבי.

השיטה הזו מחזקת במיוחד הבנה של פעולות הפוכות ושל הקשר בין נתון למבוקש.

איך להעלות את רמת הקושי בהדרגה

אחרי שיוצרים שאלה בסיסית, אפשר לבנות ממנה גרסה מעט קשה יותר בלי לעבור לנושא חדש. כך מתרגלים אותו רעיון בכמה רמות ורואים מה בדיוק מוסיף קושי.

במשוואות אפשר להתחיל מ־x + 7 = 12, לעבור ל־3x + 7 = 22, ואז ל־3(x - 2) + 7 = 22. בכל שלוש השאלות המטרה היא פתרון משוואה, אבל בכל גרסה יש יותר שלבים. בשברים אפשר לעבור ממכנים שווים למכנים שונים, ואז להוסיף מספר מעורב או פעולה נוספת.

• להוסיף שלב אחד נוסף
• לעבור ממספרים שלמים לשברים או עשרוניים
• להסתיר את הפעולה בתוך סיפור
• לשנות את המבוקש
• לעבור מנוסחה לטבלה או לגרף

כאשר משנים ייצוג, כדאי לשמור על אותו קשר מתמטי. קשר ליניארי יכול להופיע כנוסחה, בטבלה או בגרף. מעבר בין טבלה, גרף ונוסחה יכול לתת רעיונות לגרסאות שונות של אותו תרגיל.

אם הגרסה החדשה מכניסה מושג שעדיין לא למדתם, הקושי כבר אינו הדרגתי אלא קפיצה לנושא אחר. במקרה כזה עדיף לחזור צעד ולשנות רק דבר אחד.

איך לבדוק שהשאלה שהמצאתם תקינה

המצאת שאלה היא רק חצי מהעבודה. עכשיו צריך לבדוק אותה. לפעמים מנסחים בעיה שאין בה מספיק נתונים, שיש לה יותר מתשובה אפשרית אחת או שהמספרים אינם מתאימים לסיפור. לכן כל שאלה חדשה צריכה לעבור בדיקה כמו פתרון רגיל.

הבדיקה הראשונה היא פשוט לפתור אותה. אם חסר מידע ולא ניתן להגיע לתשובה, צריך להוסיף נתון או לשנות את המבוקש. הבדיקה השנייה היא לקרוא את השאלה כאילו לא ידעתם מה התכוונתם. האם ברור מה נתון? האם ברור מה צריך למצוא? האם יחידות המידה מתאימות?

בבעיה מילולית צריך לבדוק גם שהפתרון הגיוני בהקשר. אם השאלה עוסקת במספר תלמידים והתוצאה היא 7.5 תלמידים, ייתכן שהמודל המתמטי אינו מתאים לניסוח. לעומת זאת, באורך או בזמן ערך עשרוני יכול להיות הגיוני לחלוטין.

• יש מספיק נתונים
• המבוקש ברור
• אין סתירה בין התנאים
• המספרים מתאימים להקשר
• הפתרון באמת עונה למה שנשאל

אפשר להשתמש בבדיקת פתרון כדי לבדוק את הדרך, במיוחד בשאלה עם כמה שלבים. אם נתקעתם בשאלה שאתם עצמכם המצאתם, ייתכן שזה סימן שחסר תנאי או שהניסוח עדיין לא מדויק.

איך להפוך את השיטה להרגל תרגול קצר

לא צריך להקדיש שיעור שלם ליצירת שאלות. אפשר לסיים כל תרגול בשאלה אחת משלכם. אחרי שפתרתם כמה תרגילים מוכנים, בוחרים רעיון מרכזי, משנים תרגיל אחד ואז יוצרים תרגיל חדש מאפס.

אפשר לשמור את השאלות במחברת או בקובץ לפי נושאים. ליד כל שאלה כדאי לשמור תשובה סופית או דרך קצרה לבדיקה, כדי שלא תישאר שאלה שאינכם בטוחים אם היא תקינה. אם מגלים מאוחר יותר בעיה בניסוח, מתקנים אותה במקום למחוק. גם התיקון הוא חלק מהלמידה.

מי שכבר עובד עם שגרת חזרה יכול לשלב את הפעילות בתוך שגרת חזרה שבועית במתמטיקה. בסוף השבוע אפשר לבחור נושא אחד שהיה מאתגר וליצור עליו שתי שאלות חדשות.

אם עובדים עם חבר או בן משפחה, אפשר להחליף שאלות: אחד ממציא והשני פותר. כך היוצר רואה אם הניסוח שלו ברור למישהו אחר, והפותר מקבל שאלה שלא הכיר מראש. אם עובדים לבד, אפשר ליצור שאלה היום ולפתור אותה רק למחרת כדי לצמצם את ההשפעה של זיכרון התשובה.

השיטה מתאימה במיוחד כאשר כבר יש בסיס בנושא. אם הכול עדיין חדש ולא ברור, עדיף קודם ללמוד דרך דוגמאות ותרגול מודרך. ברגע שאפשר לשנות נתונים, לבנות תרגיל לאחור ולבדוק אם הוא תקין, יצירת שאלות הופכת לכלי מצוין לבדיקת הבנה אמיתית.