בעיות קיצון — איך מוצאים מקסימום ומינימום

ארבעת השלבים שלא משתנים

כל בעיית קיצון, בין אם היא גיאומטרית, כלכלית או בעיית תנועה, נפתרת באותם ארבעה שלבים. ראשית מבטאים את הגודל שרוצים למקסם או למזער כפונקציה. שנית מצמצמים אותה למשתנה אחד בעזרת התנאי שנתון בשאלה. שלישית גוזרים ומשווים לאפס. ורביעית בודקים שהנקודה שקיבלנו היא באמת מקסימום או מינימום.

השלב השני הוא זה שמפיל. השאלה כמעט תמיד נותנת שני משתנים ותנאי שמקשר ביניהם — היקף נתון, נפח נתון, תקציב נתון. התנאי הזה קיים כדי לאפשר להביע משתנה אחד באמצעות השני, וכל עוד לא עשיתם את זה אי אפשר לגזור.

השלב הרביעי הוא זה שנשכח, והוא עולה נקודות בבגרות. נגזרת שמתאפסת מסמנת נקודה חשודה בלבד. צריך להראות שזו הנקודה שביקשו.

דוגמה מלאה: שטח מקסימלי בהיקף נתון

לחקלאי יש 40 מטר גדר והוא רוצה לגדר חלקה מלבנית בשטח הגדול ביותר האפשרי. מה מידות המלבן?

שלב ראשון — מה ממקסמים: השטח, שהוא אורך כפול רוחב. נסמן את הצלעות ב-x וב-y, כלומר השטח הוא x כפול y. יש כאן שני משתנים, ולכן עוד אי אפשר לגזור.

שלב שני — התנאי: ההיקף הוא 2x ועוד 2y, והוא שווה 40. מכאן x ועוד y שווה 20, כלומר y שווה 20 פחות x. מציבים בשטח ומקבלים פונקציה של משתנה אחד: השטח שווה x כפול (20 פחות x), כלומר 20x פחות x בריבוע.

שלב שלישי — גוזרים: הנגזרת היא 20 פחות 2x. משווים לאפס: 20 פחות 2x שווה 0, ולכן x שווה 10. מכאן y שווה 20 פחות 10, גם הוא 10.

שלב רביעי — בודקים: הנגזרת השנייה היא מינוס 2, שהיא שלילית תמיד, ולכן זו נקודת מקסימום. המלבן הוא ריבוע בצלע 10 מטר, והשטח המקסימלי הוא 100 מטר רבוע.

איך בודקים שזה באמת מקסימום

יש שתי דרכים מקובלות, ושתיהן מתקבלות בבגרות. הראשונה היא הנגזרת השנייה: אם היא שלילית בנקודה זה מקסימום, ואם חיובית זה מינימום. זו הדרך המהירה כשהגזירה השנייה פשוטה.

השנייה היא טבלת סימנים של הנגזרת הראשונה. בודקים את סימן הנגזרת משמאל לנקודה ומימין לה. מעבר מחיובי לשלילי הוא מקסימום, ומעבר משלילי לחיובי הוא מינימום. זו הדרך הבטוחה כשהנגזרת השנייה מסובכת או כשיש כמה נקודות חשודות.

ויש בדיקה שלישית שאינה פורמלית ושווה תמיד: לבדוק אם התשובה הגיונית. שטח שלילי, אורך צלע גדול מההיקף או זמן שלילי הם סימן ודאי לטעות מוקדם יותר בפתרון.

תחום ההגדרה הפיזי

בבעיות קיצון יש כמעט תמיד הגבלה שלא כתובה במפורש: אורך חייב להיות חיובי, כמות חייבת להיות אי-שלילית, וכן הלאה. בדוגמה שלמעלה, x חייב להיות בין 0 ל-20 — אחרת הצלע השנייה יוצאת שלילית.

לרוב זה לא משנה את התשובה, אבל לפעמים כן: אם נקודת הקיצון של הפונקציה נופלת מחוץ לתחום המותר, המקסימום מתקבל בקצה התחום ולא בנקודה שבה הנגזרת מתאפסת.

לכן שווה לכתוב את התחום בשורה נפרדת בתחילת הפתרון. זה לוקח שניות, ומונע את המקרה שבו כל החשבון תקין והתשובה בכל זאת לא נכונה.

שאלות נפוצות

למה לפעמים ממקסמים את השטח בריבוע ולא את השטח עצמו? כי זה מקל על הגזירה ולא משנה את התשובה. פונקציה חיובית והריבוע שלה מקבלים מקסימום באותה נקודה בדיוק, אז אם יש שורש מסובך בביטוי, מותר וכדאי לעבוד עם הריבוע.

מה עושים כשיש שני תנאים? מצמצמים פעמיים. כל תנאי מוריד משתנה אחד, ולכן שני תנאים עם שלושה משתנים עדיין מובילים לפונקציה של משתנה יחיד. העיקרון לא משתנה, רק שלב ההצבה מתארך.