בעיות גדילה ודעיכה — ריבית, אוכלוסייה ודעיכה

המבנה שחוזר בכל שאלה

הכמות אחרי n תקופות שווה לכמות ההתחלתית כפול הבסיס בחזקת n. זה הכל, וזה זהה בין אם מדובר בכסף בבנק, באוכלוסיית חיידקים או בערך של רכב.

כל מה שצריך להחליט הוא מה הבסיס. גדילה של 5 אחוז לתקופה נותנת בסיס 1.05 — המקור ועוד התוספת. דעיכה של 15 אחוז לתקופה נותנת בסיס 0.85 — מה שנשאר אחרי הירידה.

הטעות הנפוצה היא לכתוב 0.05 במקום 1.05 בגדילה, או 0.15 במקום 0.85 בדעיכה. שווה לעצור לשנייה ולשאול: אחרי תקופה אחת, האם הכמות אמורה לגדול או לקטון, ובכמה. בסיס גדול מ-1 מגדיל, בסיס בין 0 ל-1 מקטין.

דוגמה מלאה: ריבית דריבית

מפקידים 10,000 שקל בריבית שנתית של 5 אחוז. כמה יהיה בחשבון אחרי 10 שנים?

הבסיס הוא 1.05, ולכן הסכום הוא 10,000 כפול 1.05 בחזקת 10. החזקה שווה בערך 1.6289, ולכן התוצאה היא כ-16,289 שקל.

עכשיו הנקודה שבגללה השאלה הזו נשאלת: החישוב האינטואיטיבי הוא 5 אחוז כפול 10 שנים, כלומר 50 אחוז, שיתנו 15,000 שקל. ההפרש הוא כמעט 1,300 שקל.

הסיבה היא שהריבית בשנה השנייה מחושבת גם על הריבית של השנה הראשונה. בשנה הראשונה נוספו 500 שקל; בשנה השנייה נוספו 5 אחוז מ-10,500, כלומר 525. הפער נפתח בהדרגה וגדל ככל שהתקופה ארוכה יותר.

דוגמה מלאה: דעיכה

רכב שנקנה ב-80,000 שקל מאבד 15 אחוז מערכו בכל שנה. מה ערכו אחרי 3 שנים?

הבסיס הוא 0.85, ולכן הערך הוא 80,000 כפול 0.85 בחזקת 3. החזקה שווה בערך 0.614, ולכן הערך הוא כ-49,130 שקל.

בדיקה בשלבים: אחרי שנה 68,000, אחרי שנתיים 57,800, אחרי שלוש כ-49,130. שימו לב שהירידה בשקלים קטנה משנה לשנה — 12,000, ואז 10,200, ואז 8,670 — למרות שהאחוז קבוע. זה בדיוק ההבדל בין דעיכה מעריכית לדעיכה קבועה.

כאן גם רואים למה דעיכה מעריכית לעולם לא מגיעה בדיוק לאפס. הרכב מאבד 15 אחוז ממה שנשאר, ותמיד נשאר משהו — קטן והולך, אבל לא אפס.

כשמחפשים את הזמן ולא את הכמות

לפעמים השאלה הפוכה: תוך כמה שנים הסכום יוכפל? כאן הנעלם נמצא במעריך, ולכן חייבים לוגריתם.

בדוגמת הריבית: 10,000 כפול 1.05 בחזקת n שווה 20,000. מחלקים ב-10,000 ומקבלים 1.05 בחזקת n שווה 2. לוקחים לוגריתם משני האגפים: n כפול לוגריתם של 1.05 שווה לוגריתם של 2. מכאן n שווה בערך 14.2 שנים.

שימו לב שהתשובה לא תלויה בסכום ההתחלתי כלל — הוא הצטמצם בשלב הראשון. זמן ההכפלה תלוי רק באחוז הריבית, וזו תובנה ששווה יותר מהמספר עצמו.

שאלות נפוצות

מה עושים כשהריבית מחושבת כמה פעמים בשנה? מחלקים את האחוז השנתי במספר התקופות ומכפילים את מספר התקופות. ריבית שנתית של 6 אחוז המחושבת רבעונית היא 1.5 אחוז לרבעון, ולאורך שנתיים יש 8 רבעונים.

איך יודעים אם השאלה מעריכית או לינארית? לפי הניסוח. "גדל ב-5 אחוז בכל שנה" הוא מעריכי, כי האחוז מחושב מחדש בכל שנה. "גדל ב-500 שקל בכל שנה" הוא לינארי, כי התוספת קבועה בשקלים. המילה אחוז היא הסימן.