איך לתרגל זיהוי של נתון חסר בבעיה מתמטית

איך יודעים שבאמת חסר נתון

כשלא מצליחים לפתור שאלה, קל להניח שהבעיה היא בחישוב. אבל לפעמים אין בכלל מספיק מידע כדי להגיע לתשובה יחידה. במצב כזה חשוב לזהות שהחסם הוא נתון חסר ולא חוסר ידע מתמטי.

הבדיקה מתחילה מהמבוקש. שואלים: מה הייתי צריך לדעת רגע לפני החישוב האחרון? אם המידע הזה אינו נתון ואי אפשר להסיק אותו משאר הנתונים, ייתכן שהוא בדיוק מה שחסר.

למשל, אם מבקשים לחשב שטח מלבן ונתון רק האורך, אין מספיק מידע מספרי כדי למצוא שטח. צריך גם את הרוחב, או מידע אחר שמאפשר לחשב אותו. לעומת זאת, אם נתון גם ההיקף, ייתכן שאפשר למצוא את הרוחב בעקיפין ולכן אין באמת נתון חסר.

בדיקה אם נתון באמת נחוץ עוזרת להבין את הצד ההפוך של אותה מיומנות: לא רק מה חסר, אלא גם מה באמת דרוש.

מתחילים מהנוסחה או הקשר המתמטי

דרך יעילה לזהות מידע חסר היא לכתוב את הקשר המתמטי לפני שמציבים מספרים. הנוסחה או המשוואה מראות אילו גדלים נדרשים. אחר כך בודקים אילו מהם כבר ידועים ואילו לא.

נניח שמבקשים מהירות. הקשר הבסיסי דורש מרחק וזמן. אם המרחק נתון אבל הזמן אינו נתון וגם אי אפשר להסיק אותו, הזמן הוא המידע החסר. אם הזמן נתון בעקיפין דרך שעת יציאה ושעת הגעה, הוא אינו חסר — פשוט צריך לחשב אותו קודם.

1. 1כתבו מה מבקשים למצוא.
2. 2רשמו את הקשר או הנוסחה המתאימים.
3. 3סמנו אילו גדלים כבר ידועים.
4. 4בדקו אם את הגדלים החסרים אפשר להסיק.
5. 5רק אם אי אפשר, הגדירו מהו הנתון החסר.

השיטה הזאת מונעת ניחוש. במקום לומר "חסר לי עוד מספר", אפשר לומר בדיוק איזה גודל חסר ולמה הוא נחוץ.

אפשר להשתמש בדף נוסחאות כדי לתרגל זיהוי של הגדלים הנדרשים בכל נוסחה, בלי לפתור עדיין.

הבדל בין נתון חסר לנתון עקיף

לא כל מידע שלא מופיע במספר מפורש הוא חסר. לפעמים הוא מסתתר בקשר בין הנתונים. לכן לפני שמכריזים שחסר מידע, צריך לבדוק מה אפשר להסיק.

אם ידוע שמספר אחד גדול ב־5 ממספר אחר ונתון הערך של הראשון, אפשר למצוא את השני. אם ידוע שמלבן בעל היקף מסוים וצלע אחת נתונה, אפשר למצוא את הצלע השנייה. הנתון אינו כתוב ישירות, אבל הוא ניתן לחישוב.

ההבחנה הזאת חשובה בשאלות ארוכות. לפעמים תלמידים מחפשים מספר שמופיע בטקסט במקום לראות שתוצאה של שלב קודם היא הנתון שהם צריכים.

פירוק תרגיל ארוך לחלקים עוזר להפוך נתונים עקיפים למטרות ביניים ברורות.

איך לבדוק אם התשובה יכולה להיות יחידה

אחת הדרכים החזקות לזהות נתון חסר היא לשאול האם כמה תשובות שונות יכולות להתאים לכל מה שניתן. אם כן, והשאלה מבקשת תשובה אחת, כנראה שאין מספיק מידע.

נניח שמבקשים למצוא שני מספרים שסכומם 10. יש הרבה זוגות אפשריים: 1 ו־9, 2 ו־8, 3 ו־7 ועוד. אם לא ניתן קשר נוסף, אי אפשר לקבוע זוג יחיד. נתון נוסף, כמו ההפרש ביניהם, יכול להפוך את הבעיה לחד־משמעית.

הבדיקה אינה דורשת למצוא את כל האפשרויות. מספיק להציג שתי אפשרויות שונות שמקיימות את הנתונים. עצם קיומן מראה שהמידע אינו קובע תשובה אחת.

• נסו לבנות שתי תשובות שונות שמתאימות לנתונים
• אם הצלחתם, בדקו איזה תנאי היה מבדיל ביניהן
• נסחו את התנאי החסר במילים
• אל תנחשו ערך מספרי שלא ניתן

הגישה הזאת קרובה לחשיבה של דוגמה נגדית: במקום להוכיח שאין מספיק מידע באופן מופשט, מראים שתי אפשרויות תקפות.

איך לנסח את הנתון החסר בצורה מדויקת

כאשר מזהים שחסר מידע, כדאי לנסח אותו כגודל או קשר ולא סתם כמספר. למשל, במקום לומר "חסר 5", אומרים "חסר אורך הצלע השנייה" או "חסר הקשר בין שני המשתנים". כך ברור מה צריך לדעת גם אם הערך עצמו אינו ידוע.

הניסוח המדויק חשוב במיוחד כאשר כמה סוגי מידע שונים יכולים להשלים את השאלה. במלבן עם אורך נתון, אפשר להשלים שטח באמצעות רוחב, אבל אפשר גם באמצעות היקף שממנו ייגזר הרוחב. לכן לא תמיד יש רק נתון אחד אפשרי שחסר; יש סוג מידע שחייב להספיק.

1. 1ציינו את הגודל המבוקש.
2. 2כתבו איזה גודל נוסף דרוש בקשר.
3. 3בדקו אם יש דרך חלופית לספק אותו בעקיפין.
4. 4נסחו מה צריך להוסיף לשאלה כדי שתהיה פתירה.

התרגול הזה מלמד לחשוב על מבנה הבעיה ולא על מספר מסוים שהמורה "התכוון" אליו.

תרגול הפוך: להסיר נתון משאלה פתירה

דרך מצוינת לתרגל זיהוי נתון חסר היא להתחיל משאלה תקינה ולהסיר ממנה פרט אחד. אחר כך בודקים מה קרה: האם עדיין אפשר לפתור? האם נוצרו כמה פתרונות? איזה מידע היה צריך להחזיר?

למשל, קחו שאלה על שטח מלבן עם אורך ורוחב. מחקו את הרוחב. עכשיו נסו לנסח מה חסר. אחר כך החזירו את הרוחב ומחקו את האורך. בהמשך אפשר להסיר נתון פחות ישיר, כמו קשר בין שני משתנים.

• בחרו שאלה שכבר פתרתם
• מחקו נתון אחד
• בדקו אם התשובה עדיין נקבעת
• נסחו מה חסר
• החזירו את הנתון ונסו להסיר אחר

אפשר לבצע את התרגול מתוך תרגול מתמטיקה וליצור גרסאות משלכם. הוא מתאים במיוחד ללמידה עצמאית משום שלא צריך מקור חדש של שאלות; משתמשים במה שכבר יש.

התרגול גם חושף אילו נתונים הם באמת קריטיים ואילו נמצאים רק להקשר או לבדיקה.

איך נתון חסר נראה בבעיות מילוליות

בבעיה מילולית המידע החסר יכול להיות כמות, יחס, זמן, מחיר ליחידה, קצב או תנאי. לפעמים הסיפור נשמע שלם מבחינה לשונית, אבל מתמטית אין מספיק קשרים.

נניח שכתוב ששני ילדים אספו יחד 30 מדבקות ומבקשים כמה אסף כל אחד. בלי קשר נוסף אין תשובה יחידה. אם מוסיפים שאחד אסף 6 יותר מהשני, אפשר לבנות משוואה ולקבל פתרון יחיד.

שיטה לפתרון בעיות מילוליות עוזרת לכתוב את הקשרים במפורש. כאשר אי אפשר לבנות מספיק קשרים כדי למצוא את כל הלא־נודעים, זה סימן שמידע חסר.

חשוב לא להסתמך על מה שנשמע "סביר" בסיפור. מתמטיקה דורשת שהנתונים יקבעו את התשובה. אם כמה מצבים שונים מתאימים לטקסט, אסור לבחור אחד רק משום שהוא נראה טבעי יותר.

ההרגל הזה מועיל גם בפתרון וגם בקריאת שאלות: במקום להילחם בבעיה שאין לה מספיק מידע, מזהים זאת ומסבירים מה צריך להוסיף.

איך לתרגל זיהוי בלי לפתור הכול

אפשר להכין תרגול שבו כל משימה דורשת רק אחת משלוש תשובות: יש מספיק מידע, חסר מידע, או יש מידע עקיף שצריך לחשב קודם. כך מתמקדים באבחון ולא בחישוב.

אפשר לקחת חמש שאלות ולבצע רק את ארבע הבדיקות האלה. לאחר מכן בוחרים שתיים ופותרים במלואן. ההפרדה מאפשרת לראות אם הקושי היה בזיהוי המידע או בחישוב עצמו.

אבחון רמה יכול לעזור לזהות אם בעיות מילוליות או בניית קשרים הן אזור שדורש יותר תרגול.

המטרה היא לפתח הרגל של שאלת "האם אפשר בכלל לפתור?" לפני השאלה "איזו פעולה לעשות?".

מה עושים כשמגלים שחסר מידע

אם זו שאלה שאתם פותרים, עוצרים ולא ממציאים נתון. כותבים בצורה ברורה איזה מידע חסר ומדוע בלעדיו אין תשובה יחידה. אם זו שאלה שאתם יוצרים בעצמכם, מוסיפים נתון שמספיק כדי להפוך אותה לפתירה.

אפשר גם לשאול האם יש כמה סוגי נתונים שיכולים להשלים את הבעיה. לפעמים רוחב ישיר, היקף או יחס בין צלעות יכולים כולם להספיק בדרכים שונות. החשיבה הזאת מעמיקה את ההבנה של הקשרים.

יצירת שאלות תרגול בעצמכם היא מקום מצוין לתרגל את הצד הזה: בונים שאלה, בודקים אם יש מספיק מידע ומתקנים אותה אם לא.

בסופו של דבר, זיהוי נתון חסר הוא מיומנות של שליטה במבנה. מי שיודע מה נדרש לפתרון יכול להבדיל בין תקיעות בגלל חוסר ידע לבין שאלה שבאמת אינה מספקת מספיק מידע. זה חוסך ניחושים, מחדד את הקריאה ומחזק הבנה של הקשרים המתמטיים עצמם.