בעיות בריכות וצינורות — מילוי, ריקון, ושניהם יחד

זו בעיית הספק עם כיוון הפוך

בעיות בריכה הן בדיוק בעיות הספק, רק עם שחקן אחד שעובד נגד. ברז ממלא תורם לקצב, וברז מרוקן גורע ממנו.

המבנה זהה: מגדירים את הבריכה המלאה כיחידה אחת. ברז שממלא אותה ב-4 שעות ממלא בשעה רבע ממנה. ברז שמרוקן אותה ב-6 שעות מרוקן בשעה שישית ממנה.

הקצב המשותף הוא ההפרש: רבע פחות שישית. מכנה משותף 12 נותן 3 חלקי 12 פחות 2 חלקי 12, כלומר 1 חלקי 12. הבריכה מתמלאת בקצב של אחד חלקי 12 לשעה, ולכן תתמלא ב-12 שעות.

מה שהמספר הזה אומר

12 שעות זה הרבה יותר מ-4 השעות שהיה לוקח לברז הממלא לבדו, וזה בדיוק מה שצריך לקרות — חלק מהמים בורח תוך כדי. תשובה קטנה מ-4 בתרגיל כזה היא סימן ודאי שחיברתם במקום להחסיר.

זו בדיקת ההיגיון המרכזית בנושא. בעבודה משותפת התוצאה תמיד קטנה מהזמן של הגורם המהיר; כשיש גורם מפריע, התוצאה תמיד גדולה מהזמן של הממלא לבדו.

שווה גם לחשוב על זה בכמויות. אם הבריכה מכילה 1200 ליטר, הממלא מכניס 300 ליטר בשעה והמרוקן מוציא 200. נטו נכנסים 100 ליטר בשעה, ולכן 1200 חלקי 100 שווה 12 שעות. אותה תשובה, מנקודת מבט מוחשית יותר.

המקרה שבו הבריכה לא תתמלא לעולם

נניח שהברז הממלא עובד ב-4 שעות והמרוקן ב-3 שעות. הקצב הוא רבע פחות שליש, כלומר 3 חלקי 12 פחות 4 חלקי 12, שהם מינוס 1 חלקי 12.

קצב שלילי אומר שהמפלס יורד. הבריכה לא רק שלא תתמלא — היא תתרוקן. אם היא התחילה ריקה, היא פשוט תישאר ריקה.

תלמידים שממשיכים לחשב מקבלים כאן מינוס 12 שעות וכותבים אותו כתשובה. זמן שלילי הוא לא תשובה, וכשהוא מופיע צריך לעצור ולהסביר במילים מה הוא אומר. שאלות בנויות לפעמים בדיוק כדי לבדוק אם התלמיד מזהה את זה.

כשהבריכה מתחילה חלקית מלאה

אם הבריכה כבר מלאה בשליש כשפותחים את הברזים, צריך למלא רק את שני השלישים שנותרו.

בחזרה לדוגמה הראשונה, שבה הקצב הנטו הוא אחד חלקי 12 לשעה: שני שלישים חלקי אחד חלקי 12 שווה שני שלישים כפול 12, כלומר 8 שעות.

העיקרון הכללי הוא שהזמן שווה לכמות שצריך למלא חלקי הקצב. כשהבריכה מתחילה ריקה הכמות היא 1, ולכן הנוסחה נראית פשוטה יותר — אבל זה אותו חישוב.

שאלות נפוצות

מה קורה כששני ברזים ממלאים וברז אחד מרוקן? מחברים את שני הממלאים ומחסירים את המרוקן, הכל בשורה אחת של שברים. מספר הברזים לא משנה את השיטה, רק את אורך החישוב.

למה משתמשים בשברים ולא בליטרים? כי נפח הבריכה לרוב לא נתון. השברים מאפשרים לפתור בלי לדעת אותו, והתשובה יוצאת זהה. אם הנפח כן נתון, שתי הדרכים עובדות ואפשר להשתמש באחת כדי לבדוק את השנייה.