אינטגרל של פונקציה רציונלית — הזיהוי שחוסך את הפתרון

הזיהוי שקודם לחישוב

כשרואים אינטגרל של שבר, השאלה הראשונה היא לא איך פותרים אלא מה היחס בין המונה למכנה. אם המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה, התשובה היא לוגריתם טבעי של המכנה, וזה נגמר בשורה אחת.

הסיבה נובעת ישירות מגזירה. נגזרת של לוגריתם טבעי של ביטוי היא הנגזרת של הביטוי חלקי הביטוי עצמו. אינטגרל הוא הפעולה ההפוכה, ולכן שבר בעל המבנה הזה חוזר להיות לוגריתם.

לכן הזיהוי הוא כל העבודה. תלמיד שקופץ ישר לחישוב מנסה לפעמים לפרק שבר שלא צריך לפרק, ומאריך פתרון בן שורה לחצי עמוד.

המקרה הראשון: המונה הוא הנגזרת של המכנה

נחשב את האינטגרל של 2x חלקי (x בריבוע ועוד 1).

הנגזרת של המכנה, x בריבוע ועוד 1, היא 2x. זה בדיוק המונה. לכן התשובה היא לוגריתם טבעי של (x בריבוע ועוד 1) ועוד קבוע.

בדיקה בגזירה: נגזרת של לוגריתם טבעי של (x בריבוע ועוד 1) היא 2x חלקי (x בריבוע ועוד 1). זה מה שהתחלנו ממנו. נכון.

שימו לב שכאן לא נדרש ערך מוחלט בתוך הלוגריתם, כי x בריבוע ועוד 1 חיובי תמיד. במקרים אחרים, כשהמכנה יכול להיות שלילי, כותבים ערך מוחלט.

המקרה השני: כמעט, אבל חסר מקדם

נחשב את האינטגרל של 3 חלקי (2x ועוד 5).

הנגזרת של המכנה היא 2, והמונה הוא 3. זה לא זהה, אבל זה קבוע כפול הנגזרת — וקבוע אפשר תמיד להוציא ולתקן.

כותבים את המונה 3 כ-1.5 כפול 2, כלומר האינטגרל שווה ל-1.5 כפול האינטגרל של 2 חלקי (2x ועוד 5). עכשיו המבנה מושלם, והתוצאה היא 1.5 כפול לוגריתם טבעי של הערך המוחלט של (2x ועוד 5), ועוד קבוע.

בדיקה בגזירה: נגזרת של 1.5 כפול לוגריתם טבעי של (2x ועוד 5) היא 1.5 כפול 2 חלקי (2x ועוד 5), כלומר 3 חלקי (2x ועוד 5). נכון.

זו הטכניקה הכללית: אם המונה הוא הנגזרת של המכנה עד כדי מספר, מוציאים את המספר החוצה ומטפלים בשאר. אם המונה מכיל x בחזקה שאינה מתאימה, זה כבר סוג אחר של תרגיל.

מה עושים כשהמבנה לא מתאים

לא כל שבר הוא לוגריתם. אינטגרל של 1 חלקי x בריבוע, למשל, אינו לוגריתם — כותבים אותו כ-x בחזקת מינוס 2 ומשתמשים בכלל החזקה הרגיל, ומקבלים מינוס 1 חלקי x.

הכלל המעשי: אם המכנה הוא חזקה של x בלבד, מעבירים למעריך שלילי ומשתמשים בכלל החזקה. אם המכנה הוא ביטוי מורכב שנגזרתו מופיעה במונה, זה לוגריתם. אם המונה ממעלה גבוהה או שווה למכנה, מחלקים קודם.

שווה לרשום את שלושת המקרים האלה בדף הנוסחאות האישי. רוב האינטגרלים הרציונליים ברמת הבגרות נופלים לאחד מהם, ורוב הזמן האבוד הוא זמן של זיהוי ולא של חישוב.

שאלות נפוצות

למה צריך ערך מוחלט בתוך הלוגריתם? כי לוגריתם מוגדר רק למספרים חיוביים, והמכנה יכול להיות שלילי בחלק מהתחום. הערך המוחלט מרחיב את התוצאה גם לשם. כשברור שהמכנה חיובי תמיד, אפשר לוותר עליו.

שוכחים את הקבוע — זה נורא? באינטגרל לא מסוים כן, וזה עולה נקודות בבגרות. באינטגרל מסוים הקבוע מצטמצם בחיסור בין הגבולות, ולכן שם הוא לא נדרש.