פונקציה מעריכית ולוגריתמית — הקשר ביניהן

לוגריתם הוא שאלה, לא פעולה מסתורית

לוגריתם בבסיס 2 של 8 שווה 3. המשמעות היא בדיוק: באיזו חזקה צריך להעלות את 2 כדי לקבל 8. התשובה היא 3, כי 2 בחזקת 3 שווה 8.

זו כל ההגדרה. לוגריתם הוא פעולה הופכית לחזקה, בדיוק כמו ששורש הופכי לריבוע וחילוק הופכי לכפל. תלמידים שמתייחסים ללוגריתם כאל סימן חדש שצריך לשנן את חוקיו מתקשים; מי שקורא אותו בכל פעם כשאלה "באיזו חזקה" מבין את החוקים במקום לזכור אותם.

לכן גם ברור מייד מדוע אין לוגריתם למספר שלילי או לאפס: אין חזקה של 2 שתיתן מינוס 8, וגם לא אפס. זה לא כלל שרירותי אלא תוצאה של ההגדרה.

החוקים, וכל אחד עם דוגמה

לוגריתם של מכפלה שווה לסכום הלוגריתמים. בדיקה בבסיס 2: לוגריתם של 4 כפול 8 הוא לוגריתם של 32, שהוא 5. ובנפרד: 2 ועוד 3 שווה 5. תואם.

לוגריתם של מנה שווה להפרש הלוגריתמים. לוגריתם בבסיס 2 של 32 חלקי 4 הוא לוגריתם של 8, כלומר 3. ובנפרד: 5 פחות 2 שווה 3. תואם.

לוגריתם של חזקה שווה למעריך כפול הלוגריתם. לוגריתם בבסיס 2 של 8 בריבוע הוא לוגריתם של 64, שהוא 6. ובנפרד: 2 כפול 3 שווה 6. תואם.

שלושת החוקים האלה הם אותו חוק בשלוש צורות, והם נובעים ישירות מחוקי החזקות. כפל חזקות מחבר מעריכים — ולכן לוגריתם של מכפלה מחבר לוגריתמים. זה לא צירוף מקרים.

דוגמה מלאה: פתרון משוואה מעריכית

נפתור את המשוואה 3 בחזקת (x ועוד 1) שווה 81.

הדרך הראשונה, וכשהיא אפשרית היא הטובה ביותר: להביא את שני האגפים לאותו בסיס. 81 הוא 3 בחזקת 4. כשהבסיסים זהים, המעריכים חייבים להיות שווים, ולכן x ועוד 1 שווה 4, ומכאן x שווה 3.

בדיקה: 3 בחזקת 4 שווה 81. נכון.

הדרך השנייה, כשאי אפשר להשוות בסיסים: לוקחים לוגריתם משני האגפים. לוגריתם בבסיס 3 של 3 בחזקת (x ועוד 1) הוא פשוט x ועוד 1, כי הלוגריתם והחזקה מבטלים זה את זה. באגף השני מקבלים לוגריתם בבסיס 3 של 81, שהוא 4. אותה משוואה בדיוק.

הטעויות שחוזרות

הראשונה: לחשוב שלוגריתם של סכום שווה לסכום הלוגריתמים. זה לא נכון ואין לזה חוק. לוגריתם של 4 ועוד 4 הוא לוגריתם של 8, כלומר 3 — ולא 2 ועוד 2 שהם 4. יש חוק למכפלה, אין חוק לחיבור.

השנייה: לשכוח לבדוק את תחום ההגדרה בסוף. אם פתרתם משוואה שבתוכה לוגריתם של (x פחות 5) וקיבלתם x שווה 2, הפתרון נפסל — הביטוי בתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי. פתרון שנפסל אינו טעות בחשבון; פשוט צריך לכתוב שהוא לא בתחום.

השלישית: לבלבל בין הבסיס לבין המספר. לוגריתם בבסיס 2 של 8 הוא 3, אבל לוגריתם בבסיס 8 של 2 הוא שליש. הסדר משנה לגמרי.

שאלות נפוצות

מה זה לוגריתם טבעי? זה לוגריתם בבסיס e, מספר קבוע ששווה בערך 2.718. כל החוקים חלים עליו בדיוק כמו על כל בסיס אחר; הוא מקבל סימון נפרד רק כי הוא מופיע הרבה בגזירה ובבעיות גדילה.

למה בכלל צריך לוגריתמים? כי הם הדרך היחידה לחלץ נעלם שנמצא במעריך. משוואה כמו 2 בחזקת x שווה 10 לא נפתרת בשום פעולה אלגברית רגילה — רק לוגריתם מוציא את ה-x למטה.