שאלון 35382 — קיץ מועד א׳ 2025

11 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · בעיות מילוליות

   ספרנית הזמינה ספרי מתמטיקה ואנגלית. מחיר ספר מתמטיקה גדול פי 1.6 ממחיר ספר אנגלית, וספר מתמטיקה אחד ושני ספרי אנגלית עולים יחד 153 ₪. מצאו את מחיר ספר אנגלית ואת מחיר ספר מתמטיקה.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן מחיר ספר אנגלית: x, מתמטיקה: 1.6x
   2. 1.6x + 2x = 153 → 3.6x = 153 → x = 42.5
   3. מתמטיקה: 1.6 · 42.5 = 68 ₪

   תשובה: אנגלית 42.5 ₪; מתמטיקה 68 ₪

2. שאלה 2 · בעיות מילוליות

   ספרנית הזמינה ספרי מתמטיקה ואנגלית. מחיר ספר מתמטיקה גדול פי 1.6 ממחיר ספר אנגלית, וספר מתמטיקה אחד ושני ספרי אנגלית עולים יחד 153 ₪. (אנגלית 42.5 ₪, מתמטיקה 68 ₪.) הספרנית קיבלה 15% הנחה על ספרי המתמטיקה בלבד. היא הזמינה 43 ספרי מתמטיקה יותר מספרי אנגלית, ושילמה 5,695 ₪. מה מחיר ספר מתמטיקה אחרי ההנחה, וכמה ספרי אנגלית הזמינה?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. 68 · 0.85 = 57.8 ₪
   2. נסמן n ספרי אנגלית: 42.5n + 57.8(n + 43) = 5,695
   3. 100.3n + 2,485.4 = 5,695 → n = 32

   תשובה: 57.8 ₪; 32 ספרי אנגלית

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   במשולש ישר זווית ABC (∢BAC = 90°) הקודקוד A(−3, 0) על ציר ה-x, ו-E(3, 9) אמצע הצלע AB. מצאו את B, את שיפוע AB ואת משוואת הצלע AC.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. E אמצע AB: B = 2E − A = (9, 18)
   2. m_AB = (18 − 0)/(9 + 3) = 3/2
   3. AC ⊥ AB: m_AC = −2/3
   4. y = −(2/3)(x + 3) → y = −(2/3)x − 2

   תשובה: B(9, 18); שיפוע 3/2; y = −(2/3)x − 2

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   במשולש ישר זווית ABC (∢BAC = 90°) הקודקוד A(−3, 0) על ציר ה-x, ו-E(3, 9) אמצע הצלע AB. B(9, 18), AC: y = −(2/3)x − 2, והצלע BC מקבילה לציר ה-x. מצאו את C. נתון D(9, 5) — הראו ש-△ADB שווה שוקיים, וחשבו את היקף המרובע ADBC.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. BC ∥ ציר ה-x → y_C = 18: −(2/3)x − 2 = 18 → x = −30
   2. AD = √(12² + 5²) = 13; DB = √(0 + 13²) = 13 → שווה שוקיים
   3. BC = 39; CA = √(27² + 18²) = √1053 ≈ 32.45
   4. היקף = 13 + 13 + 39 + 32.45 ≈ 97.45

   תשובה: C(−30, 18); AD = DB = 13; היקף ≈ 97.45

5. שאלה 5 · גיאומטריה אנליטית

   נתון מעגל שמרכזו M ומשוואתו (x − 6)² + (y − 7)² = 90. הנקודה A על המעגל ברביע הראשון, ושיעור ה-x שלה 9. מצאו את M ואת שיעור ה-y של A, את שיפוע AM ואת משוואת המשיק ב-A, ואת נקודת החיתוך C של המשיק עם ציר ה-y.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. M(6, 7)
   2. (9 − 6)² + (y − 7)² = 90 → (y − 7)² = 81 → y = 16 (רביע ראשון; y = −2 נפסל)
   3. m_AM = (16 − 7)/(9 − 6) = 3
   4. המשיק ⊥ לרדיוס: שיפוע −1/3; y − 16 = −(1/3)(x − 9) → y = −x/3 + 19
   5. x = 0 → C(0, 19)

   תשובה: M(6, 7); A(9, 16); שיפוע 3; y = −x/3 + 19; C(0, 19)

6. שאלה 6 · גיאומטריה אנליטית

   המשיק למעגל (x − 6)² + (y − 7)² = 90 בנקודה A(9, 16) הוא y = −x/3 + 19, והוא חותך את ציר ה-y ב-C(0, 19). הישר MD הוא y = x/3 + 5 (M(6, 7)), ו-D על המשיק. מצאו את D ואת שטח המשולש CMD.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. x/3 + 5 = −x/3 + 19 → 2x/3 = 14 → x = 21, y = 12
   2. שטח = ½|(x_M − x_C)(y_D − y_C) − (x_D − x_C)(y_M − y_C)|
   3. = ½|6 · (−7) − 21 · (−12)| = ½|−42 + 252| = 105

   תשובה: D(21, 12); שטח 105

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = 1.5x + 24/x − 1. מצאו תחום, נקודות קיצון וסוגן, ותחומי עלייה.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. x ≠ 0
   2. f′(x) = 1.5 − 24/x²
   3. f′ = 0 → x² = 16 → x = ±4
   4. f(4) = 6 + 6 − 1 = 11 — מינימום; f(−4) = −6 − 6 − 1 = −13 — מקסימום
   5. f′ > 0 כש-x² > 16: x < −4 או x > 4

   תשובה: x ≠ 0; מינימום (4, 11), מקסימום (−4, −13); עולה ב-x < −4 או x > 4

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = 1.5x + 24/x − 1. האם שיפוע המשיק בנקודה x = 4 קטן משיפוע המשיק בנקודה x = −5? נמקו.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. x = 4 היא נקודת קיצון, לכן f′(4) = 0
   2. f′(−5) = 1.5 − 24/25 = 0.54 > 0
   3. 0 < 0.54 — כן, השיפוע ב-x = 4 קטן

   תשובה: כן: 0 < 0.54

9. שאלה 9 · פונקציה ריבועית

   נתונה הפונקצייה f(x) = −x² + 12x − 27. A ו-B נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-x, ו-C נקודת המקסימום. מצאו את A, B ו-C, ואת משוואת הישר BC.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. −x² + 12x − 27 = 0 → x² − 12x + 27 = 0 → x = 3, 9
   2. x_C = 6 (אמצע 3 ו-9), f(6) = −36 + 72 − 27 = 9
   3. m_BC = (9 − 0)/(6 − 9) = −3
   4. y = −3(x − 9) → y = −3x + 27

   תשובה: A(3, 0), B(9, 0); C(6, 9); y = −3x + 27

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = −x² + 12x − 27. A ו-B נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-x, ו-C נקודת המקסימום. A(3, 0), B(9, 0), C(6, 9), והישר BC: y = −3x + 27. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f, הישר BC וציר ה-x (מ-A לאורך הפרבולה עד C, ומ-C לאורך הישר עד B).

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. מ-x = 3 עד 6, מתחת לפרבולה: ∫₃⁶ (−x² + 12x − 27)dx = [−x³/3 + 6x² − 27x]₃⁶ = −18 − (−36) = 18
    2. מ-x = 6 עד 9, מתחת לישר BC: משולש, ½ · 3 · 9 = 13.5
    3. סה"כ 18 + 13.5 = 31.5

    תשובה: 31.5

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    ריבוע ABCD שאורך צלעו x, ומלבן EFGH שבו EF גדול פי 3 מצלע הריבוע, ו-EF + GF = 28. הביעו את EF, GF ושטח המלבן באמצעות x, ומצאו את x שבעבורו סכום השטחים של הריבוע והמלבן מקסימלי.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. EF = 3x, GF = 28 − 3x
    2. שטח המלבן: 3x(28 − 3x) = 84x − 9x²
    3. סכום השטחים: x² + 84x − 9x² = −8x² + 84x
    4. נגזרת: −16x + 84 = 0 → x = 5.25 (מקסימום, מקדם x² שלילי)

    תשובה: EF = 3x; GF = 28 − 3x; S = 84x − 9x²; x = 5.25