שאלון 35481 — קיץ מועד א׳ 2026

17 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · בעיות מילוליות

   היישובים A, B, C, D נמצאים על ישר אחד בסדר הזה, והמרחק AB הוא 30 ק"מ. טרקטורון יצא ב-7:00 מ-B ונסע במהירות קבועה ל-D. ב-7:05 יצאה מכונית מ-A ונסעה ל-D, מהר יותר מהטרקטורון ב-28 קמ"ש. הם נפגשו ב-C, 40 ק"מ מ-B. מצאו את מהירות הטרקטורון.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. זמן הטרקטורון ל-C: 40/v
   2. זמן המכונית ל-C (70 ק"מ): 70/(v + 28), והיא יצאה 5 דקות (1/12 שעה) אחריו
   3. 40/v = 70/(v + 28) + 1/12
   4. v = 32: 1.25 = 1.1667 + 0.0833 ✓

   תשובה: 32 קמ"ש

2. שאלה 2 · בעיות מילוליות

   היישובים A, B, C, D נמצאים על ישר אחד בסדר הזה, והמרחק AB הוא 30 ק"מ. טרקטורון יצא ב-7:00 מ-B ונסע במהירות קבועה ל-D. ב-7:05 יצאה מכונית מ-A ונסעה ל-D, מהר יותר מהטרקטורון ב-28 קמ"ש. הם נפגשו ב-C, 40 ק"מ מ-B. מהירות הטרקטורון 32 קמ"ש והמכונית 60 קמ"ש. זמן הנסיעה של המכונית מ-C ל-D קצר ב-21 דקות מזה של הטרקטורון. באיזו שעה הגיע הטרקטורון ל-D?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. CD = d: d/32 − d/60 = 21/60
   2. d·(28/1,920) = 0.35 → d = 24 ק"מ
   3. הטרקטורון: BD = 40 + 24 = 64 ק"מ, 64/32 = 2 שעות
   4. 7:00 + 2 = 9:00

   תשובה: 9:00

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   במשולש ABD הקודקוד B על החלק השלילי של ציר ה-x, D ברביע הראשון, AD ∥ ציר ה-x, A(4, 5) ו-AD = AB = 13. מצאו את D ואת B. דרך D מעבירים ישר המאונך ל-BD וחותך את ציר ה-x ב-C — מצאו את משוואת DC.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. D = (4 + 13, 5) = (17, 5)
   2. B(x, 0): (x − 4)² + 25 = 169 → x − 4 = ±12 → B(−8, 0)
   3. m_BD = 5/25 = 0.2 → m_DC = −5
   4. y − 5 = −5(x − 17) → y = −5x + 90

   תשובה: D(17, 5), B(−8, 0); DC: y = −5x + 90

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   במשולש ABD הקודקוד B על החלק השלילי של ציר ה-x, D ברביע הראשון, AD ∥ ציר ה-x, A(4, 5) ו-AD = AB = 13. D(17, 5), B(−8, 0), DC: y = −5x + 90 חותך את ציר ה-x ב-C. מצאו את שטח המרובע ABCD.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. C: 0 = −5x + 90 → C(18, 0)
   2. טרפז: AD ∥ BC (שתיהן מקבילות לציר ה-x)
   3. AD = 13, BC = 26, גובה 5
   4. S = (13 + 26)·5/2 = 97.5

   תשובה: 97.5

5. שאלה 5 · גיאומטריה אנליטית

   במשולש ABD הקודקוד B על החלק השלילי של ציר ה-x, D ברביע הראשון, AD ∥ ציר ה-x, A(4, 5) ו-AD = AB = 13. B(−8, 0), D(17, 5), C(18, 0), ו-∢BDC = 90°. מצאו את משוואת המעגל החוסם את המשולש BDC ואת משוואת המשיק לו ב-B.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. זווית ישרה ב-D → BC קוטר
   2. מרכז: אמצע BC = (5, 0), רדיוס 13
   3. B(−8, 0) הוא קצה הקוטר על ציר ה-x — המשיק ניצב לציר ה-x
   4. המשיק: x = −8

   תשובה: (x − 5)² + y² = 169; x = −8

6. שאלה 6 · הסתברות

   במשק מגדלים פלפלים גדולים וקטנים; מספר הגדולים פי 4 ממספר הקטנים. 0.6 מהגדולים אדומים (השאר צהובים), ו-0.75 מהקטנים אדומים (השאר ירוקים). בוחרים פלפל באקראי. מהי ההסתברות לפלפל קטן? ולפלפל גדול צהוב?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. גדולים : קטנים = 4 : 1 → P(קטן) = 0.2
   2. P(גדול) = 0.8
   3. P(גדול וצהוב) = 0.8·0.4 = 0.32

   תשובה: 0.2; 0.32

7. שאלה 7 · הסתברות

   במשק מגדלים פלפלים גדולים וקטנים; מספר הגדולים פי 4 ממספר הקטנים. 0.6 מהגדולים אדומים (השאר צהובים), ו-0.75 מהקטנים אדומים (השאר ירוקים). בוחרים פלפל באקראי. מהי ההסתברות לפלפל אדום? ואם ידוע שנבחר פלפל אדום — מה ההסתברות שהוא גדול?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(אדום) = 0.8·0.6 + 0.2·0.75 = 0.48 + 0.15 = 0.63
   2. P(גדול | אדום) = 0.48/0.63 = 16/21

   תשובה: 0.63; 16/21 ≈ 0.762

8. שאלה 8 · הסתברות

   במשק מגדלים פלפלים גדולים וקטנים; מספר הגדולים פי 4 ממספר הקטנים. 0.6 מהגדולים אדומים (השאר צהובים), ו-0.75 מהקטנים אדומים (השאר ירוקים). בוחרים פלפל באקראי. האדומים נשלחים לבית אריזה א', והצהובים והירוקים לבית אריזה ב'. באיזה בית אריזה אחוז הפלפלים הגדולים גבוה יותר?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. א': 0.48/0.63 ≈ 76.2% גדולים
   2. ב': צהובים 0.32, ירוקים 0.05 — סה"כ 0.37
   3. 0.32/0.37 ≈ 86.5% גדולים
   4. אחוז הגדולים בא' קטן מבב'

   תשובה: בב' (≈ 86.5%) — יותר מבא' (≈ 76.2%)

9. שאלה 9 · טריגונומטריה

   בטרפז ABCD (AD ∥ BC): AB = 8, BC = 10, AC = 14. מצאו את הזווית ACB. שטח המשולש ACD הוא 67 — מצאו את AD.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. משפט הקוסינוסים: cos∢ACB = (10² + 14² − 8²)/(2·10·14) = 232/280
   2. ∢ACB ≈ 34.05°
   3. AD ∥ BC → ∢CAD = ∢ACB (מתחלפות)
   4. 67 = ½·14·AD·sin34.05° → AD ≈ 17.09

   תשובה: ∢ACB ≈ 34.05°; AD ≈ 17.09

10. שאלה 10 · טריגונומטריה

    בטרפז ABCD (AD ∥ BC): AB = 8, BC = 10, AC = 14. AD ≈ 17.09 ו-∢CAD ≈ 34.05°. מצאו את הזווית ADC, ואת אורך חוצה הזווית AE (E על CD).

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. CD² = 14² + 17.09² − 2·14·17.09·cos34.05° → CD ≈ 9.57
    2. משפט הסינוסים: sin∢ADC = 14·sin34.05°/9.57 → ∢ADC ≈ 55°
    3. AE חוצה את ∢CAD: 17.025° לכל צד
    4. במשולש ADE: ∢AED = 180° − 55° − 17.025° = 107.975°
    5. AE = 17.09·sin55°/sin107.975° ≈ 14.72

    תשובה: ∢ADC ≈ 55°; AE ≈ 14.72

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = (2x² − 17)/(x² − 1) + a, כאשר a פרמטר. מצאו תחום הגדרה, אסימפטוטות ונקודת קיצון (באמצעות a), ואת a אם שיעור ה-y של הקיצון הוא 20.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. x² − 1 ≠ 0 → x ≠ ±1
    2. f = 2 + a − 15/(x² − 1) → y = 2 + a
    3. f′ = 30x/(x² − 1)²: שלילית ב-x < 0, חיובית ב-x > 0 → מינימום ב-x = 0
    4. f(0) = 17 + a = 20 → a = 3

    תשובה: x ≠ ±1; x = ±1, y = 2 + a; מינימום (0, 17 + a); a = 3

12. שאלה 12 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = (2x² − 17)/(x² − 1) + a, כאשר a פרמטר. a = 3, כלומר f(x) = (5x² − 20)/(x² − 1). מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. 5x² − 20 = 0 → x = ±2
    2. f(0) = −20/(−1) = 20

    תשובה: (±2, 0), (0, 20)

13. שאלה 13 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = (2x² − 17)/(x² − 1) + a, כאשר a פרמטר. a = 3, ו-g(x) = 9 − f(x). מצאו את האסימפטוטה האופקית של g. האם g חותכת את ציר ה-x?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. f → 5, לכן g → 9 − 5 = 4
    2. g = 0 ⟺ f = 9: 5x² − 20 = 9x² − 9 → −4x² = 11 — אין פתרון
    3. g לא חותכת את ציר ה-x

    תשובה: y = 4; לא

14. שאלה 14 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = (a − x)√(3x − 6), כאשר a פרמטר. מצאו את תחום ההגדרה ואת a אם (5, 9) על הגרף. עבור a = 8: מצאו חיתוכים עם ציר ה-x ונקודות קיצון.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. 3x − 6 ≥ 0 → x ≥ 2
    2. f(5) = (a − 5)·3 = 9 → a = 8
    3. חיתוכים: x = 8, x = 2
    4. f′ = −√(3x − 6) + 3(8 − x)/(2√(3x − 6)) = 0 → −2(3x − 6) + 3(8 − x) = 0 → x = 4
    5. f(4) = 4√6 ≈ 9.8 — מקסימום; (2, 0) מינימום קצה

    תשובה: x ≥ 2; a = 8; (2, 0), (8, 0); מקסימום (4, 4√6), מינימום קצה (2, 0)

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = (a − x)√(3x − 6), כאשר a פרמטר. a = 8: f(x) = (8 − x)√(3x − 6), מקסימום ב-(4, 4√6). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f′, ציר ה-x והישר x = 14.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. f′ מתאפסת ב-x = 4 ושלילית ב-4 < x < 14
    2. השטח = |∫₄¹⁴ f′ dx| = |f(14) − f(4)|
    3. f(14) = −6·6 = −36
    4. |−36 − 4√6| = 36 + 4√6 ≈ 45.798

    תשובה: 4√6 + 36 ≈ 45.798

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    גינה עם שני מתחמים מלבניים: ABCD (דשא) ו-BFGH (מתקנים). AB = x, GF = 7 מטרים, BF גדול מ-AB ב-2 מטרים, והיקף ABCD הוא 32 מטרים. הביעו את AD, את שטח ABCD ואת היחס בין שטח ABCD לשטח BFGH.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. 2x + 2AD = 32 → AD = 16 − x
    2. S_ABCD = x(16 − x)
    3. S_BFGH = 7(x + 2)
    4. יחס: (16x − x²)/(7x + 14)

    תשובה: AD = 16 − x; שטח 16x − x²; יחס (16x − x²)/(7x + 14)

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    גינה עם שני מתחמים מלבניים: ABCD (דשא) ו-BFGH (מתקנים). AB = x, GF = 7 מטרים, BF גדול מ-AB ב-2 מטרים, והיקף ABCD הוא 32 מטרים. היחס הוא R(x) = (16x − x²)/(7x + 14). מצאו את x שבעבורו היחס מקסימלי.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. R′ = 0 ⟺ (16 − 2x)(7x + 14) − 7(16x − x²) = 0
    2. −7x² − 28x + 224 = 0 → x² + 4x − 32 = 0
    3. x = 4 (x = −8 נפסל)
    4. R(4) = 48/42 ≈ 1.143 — מקסימום

    תשובה: x = 4