שאלון 35481 — קיץ מועד ב׳ 2026

18 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = ((a + 4)x² − 9a)/(x² − 9), כאשר a פרמטר. a = 2, ו-g(x) = f(x − 7). מצאו את האסימפטוטות של g. האם g זוגית?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. הזזה ימינה ב-7: x = −3 + 7 = 4, x = 3 + 7 = 10
   2. האסימפטוטה האופקית לא משתנה: y = 6
   3. האסימפטוטות האנכיות לא סימטריות סביב ציר ה-y — g אינה זוגית

   תשובה: x = 4, x = 10, y = 6; לא זוגית

2. שאלה 2 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = 2x − 4√(5x − 16). מצאו את תחום ההגדרה, את נקודות החיתוך עם ציר ה-x ואת נקודות הקיצון.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. 5x − 16 ≥ 0 → x ≥ 3.2
   2. f = 0: x = 2√(5x − 16) → x² = 20x − 64 → x = 4 או 16 (שניהם מקיימים)
   3. f′(x) = 2 − 10/√(5x − 16) = 0 → √(5x − 16) = 5 → x = 8.2
   4. f(8.2) = 16.4 − 20 = −3.6 — מינימום
   5. f(3.2) = 6.4 — מקסימום קצה

   תשובה: x ≥ 3.2; (4, 0), (16, 0); מקסימום קצה (3.2, 6.4), מינימום (8.2, −3.6)

3. שאלה 3 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = 2x − 4√(5x − 16). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f′(x), ציר ה-x והישרים x = 4 ו-x = 13. (f(4) = 0, f(8.2) = −3.6, f(13) = −2.)

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f′ < 0 ב-4 < x < 8.2 ו-f′ > 0 ב-8.2 < x < 13
   2. השטח = |f(8.2) − f(4)| + |f(13) − f(8.2)|
   3. = 3.6 + 1.6 = 5.2

   תשובה: 5.2

4. שאלה 4 · חשבון דיפרנציאלי

   מתחם ציבורי: מבואה מלבנית ABCD, שביל מלבני BEFC וגן פסלים ריבועי EGHK; A, B, E, G על ישר אחד, AG = 8 מטרים, EG = 2·AB, ונסמן AB = x. שטח המבואה 1 מ"ר. הביעו באמצעות x את BE, את AD ואת השטח הכולל של המתחם.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. AG = AB + BE + EG = x + BE + 2x = 8 → BE = 8 − 3x
   2. x·AD = 1 → AD = 1/x
   3. S = 1 + (8 − 3x)·(1/x) + (2x)²
   4. S = 4x² + 8/x − 2

   תשובה: BE = 8 − 3x; AD = 1/x; S = 4x² + 8/x − 2

5. שאלה 5 · חשבון דיפרנציאלי

   מתחם ציבורי: מבואה מלבנית ABCD, שביל מלבני BEFC וגן פסלים ריבועי EGHK; A, B, E, G על ישר אחד, AG = 8 מטרים, EG = 2·AB, ונסמן AB = x. שטח המבואה 1 מ"ר. השטח הכולל הוא S(x) = 4x² + 8/x − 2. מצאו את x שבעבורו השטח מינימלי. האם ייתכן ששטח המתחם 9 מ"ר?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. S′(x) = 8x − 8/x² = 0 → x³ = 1 → x = 1
   2. S″ > 0 — מינימום
   3. S(1) = 4 + 8 − 2 = 10
   4. 10 > 9 — לא ייתכן

   תשובה: x = 1; לא — השטח המינימלי 10

6. שאלה 6 · הסתברות

   במפעל מחשבים, 80% מהמחשבים נמצאים תקינים בבדיקה הראשונה. מחשב שנמצא תקין בבדיקה הראשונה יימצא תקין בשנייה בהסתברות 0.9, ומחשב שלא נמצא תקין בראשונה — בהסתברות 0.35. מהי ההסתברות שמחשב נמצא תקין בדיוק באחת הבדיקות? ולפחות באחת?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. בדיוק אחת: 0.8·0.1 + 0.2·0.35 = 0.08 + 0.07 = 0.15
   2. אף אחת: 0.2·0.65 = 0.13
   3. לפחות אחת: 1 − 0.13 = 0.87

   תשובה: 0.15; 0.87

7. שאלה 7 · הסתברות

   במפעל מחשבים, 80% מהמחשבים נמצאים תקינים בבדיקה הראשונה. מחשב שנמצא תקין בבדיקה הראשונה יימצא תקין בשנייה בהסתברות 0.9, ומחשב שלא נמצא תקין בראשונה — בהסתברות 0.35. רק מחשב שתקין בשתי הבדיקות עובר למכירה. ידוע שמחשב נמצא תקין לפחות באחת — מה ההסתברות שעבר למכירה? ואם יוצרו 250 מחשבים, כמה עברו למכירה?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(שתיהן) = 0.8·0.9 = 0.72
   2. P(שתיהן | לפחות אחת) = 0.72/0.87 = 72/87
   3. 250·0.72 = 180

   תשובה: 72/87 ≈ 0.828; 180 מחשבים

8. שאלה 8 · הסתברות

   במפעל מחשבים, 80% מהמחשבים נמצאים תקינים בבדיקה הראשונה. מחשב שנמצא תקין בבדיקה הראשונה יימצא תקין בשנייה בהסתברות 0.9, ומחשב שלא נמצא תקין בראשונה — בהסתברות 0.35. מתוך 250 מחשבים, 180 עברו למכירה. בוחרים שני מחשבים ללא החזרה. מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם עבר למכירה?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. שני סדרים: (נמכר, לא) או (לא, נמכר)
   2. 2·(180/250)·(70/249) = 25,200/62,250
   3. = 168/415 ≈ 0.4048

   תשובה: 168/415 ≈ 0.4048

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = ((a + 4)x² − 9a)/(x² − 9), כאשר a פרמטר. מצאו את תחום ההגדרה, הוכיחו שהפונקצייה זוגית, ומצאו את a אם הגרף חותך את ציר ה-x ב-x = √3.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. x² − 9 ≠ 0 → x ≠ ±3
   2. x מופיע רק בריבוע: f(−x) = f(x)
   3. f(√3) = 0 → 3(a + 4) − 9a = 0 → 12 = 6a → a = 2

   תשובה: x ≠ ±3; f(−x) = f(x); a = 2

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = ((a + 4)x² − 9a)/(x² − 9), כאשר a פרמטר. a = 2, כלומר f(x) = (6x² − 18)/(x² − 9). מצאו נקודות חיתוך עם הצירים, נקודת קיצון, תחומי עלייה וירידה ואסימפטוטות.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(x) = 6 + 36/(x² − 9)
    2. חיתוכים: 6x² = 18 → x = ±√3; f(0) = 2
    3. f′(x) = −72x/(x² − 9)²
    4. f′ > 0 כש-x < 0, f′ < 0 כש-x > 0 → מקסימום ב-(0, 2)
    5. אסימפטוטות: x = ±3, y = 6

    תשובה: (±√3, 0), (0, 2); מקסימום (0, 2); עולה ב-x < −3 ו-−3 < x < 0, יורדת ב-0 < x < 3 ו-x > 3; x = ±3, y = 6

11. שאלה 11 · טריגונומטריה

    במשולש ABC הצלע BC גדולה פי 2.3 מהצלע AC, ו-∢BAC = 120°. ∢ACB ≈ 37.88°, AC² ≈ 35.4 (AC ≈ 5.95, BC ≈ 13.69), והריבוע ACDE בנוי על AC כלפי חוץ. מצאו את BD, ופי כמה גדול רדיוס המעגל החוסם את BCD מרדיוס המעגל החוסם את הריבוע.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. ∢BCD = 37.88° + 90° = 127.88°
    2. BD² = 13.69² + 35.4 − 2·13.69·5.95·cos127.88° → BD ≈ 17.96
    3. R_BCD = BD/(2sin127.88°) ≈ 11.39
    4. R_ריבוע = AC·√2/2 ≈ 4.21
    5. 11.39/4.21 ≈ 2.705

    תשובה: BD ≈ 17.96; פי ≈ 2.705

12. שאלה 12 · בעיות מילוליות

    בין הבית של אורי למכולת נמצא הבית של חנן: מאורי לחנן 3 ק"מ, ומחנן למכולת 5 ק"מ. אורי רכב למכולת במהירות קבועה; חנן רכב מהר ממנו ב-3 קמ"ש ויצא 20 דקות אחריו, ושניהם הגיעו למכולת באותו הזמן. אורי (12 קמ"ש) היה במכולת 10 דקות וחנן (15 קמ"ש) 12 דקות, ואז שניהם רכבו חזרה הביתה באותן מהירויות. באיזה מרחק מהמכולת נפגשו?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. כשחנן יוצא, אורי כבר רוכב 2 דקות: 12·(2/60) = 0.4 ק"מ לפניו
    2. חנן מהיר יותר ב-3 קמ"ש → ישיג אותו אחרי 0.4/3 שעה = 8 דקות
    3. חנן עבר 15·(8/60) = 2 ק"מ

    תשובה: 2 ק"מ

13. שאלה 13 · גיאומטריה אנליטית

    מרכז מעגל M ברביע השני, המעגל עובר בראשית הצירים, שיעור ה-y של M הוא 8 והרדיוס 10. מצאו את שיעור ה-x של M, את משוואת המעגל, ואת B — נקודת החיתוך עם החלק השלילי של ציר ה-x.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. x² + 8² = 10² → x = −6 (רביע שני)
    2. (x + 6)² + (y − 8)² = 100
    3. y = 0: (x + 6)² = 36 → x = 0 או −12 → B(−12, 0)

    תשובה: x_M = −6; (x + 6)² + (y − 8)² = 100; B(−12, 0)

14. שאלה 14 · גיאומטריה אנליטית

    מרכז מעגל M ברביע השני, המעגל עובר בראשית הצירים, שיעור ה-y של M הוא 8 והרדיוס 10. M(−6, 8), B(−12, 0). המשיק ב-B חותך את ציר ה-y ב-C — מצאו את משוואתו ואת BC.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. m_MB = 8/6 = 4/3 → שיפוע המשיק −3/4
    2. y = −0.75(x + 12) = −0.75x − 9
    3. C(0, −9)
    4. BC = √(12² + 9²) = 15

    תשובה: y = −0.75x − 9; BC = 15

15. שאלה 15 · גיאומטריה אנליטית

    מרכז מעגל M ברביע השני, המעגל עובר בראשית הצירים, שיעור ה-y של M הוא 8 והרדיוס 10. M(−6, 8), המשיק BC: y = −0.75x − 9 (B(−12, 0), C(0, −9), BC = 15). דרך M עובר ישר מקביל ל-BC החותך את ציר ה-y ב-E. חשבו את שטח הטרפז BCEM.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. ME: y − 8 = −0.75(x + 6) → E(0, 3.5)
    2. ME = √(6² + 4.5²) = 7.5
    3. הגובה בין הבסיסים: MB = 10 (רדיוס, ניצב למשיק)
    4. S = (15 + 7.5)·10/2 = 112.5

    תשובה: 112.5

16. שאלה 16 · גיאומטריה

    המשולש ABC חסום במעגל; AD משיק למעגל ב-A, CD משיק למעגל ב-C, ו-BC ∥ AD. ידוע ש-AB = AC (שווה שוקיים) ו-∢DAC = ∢ABC. נתון BC = 8, AD = 18, ורדיוס המעגל √40.5. מצאו את AB ואת המרחק של המיתר AC ממרכז המעגל.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. DA = DC (משיקים מנקודה אחת) — משולש DAC שווה שוקיים
    2. ∢DAC = ∢DCA = ∢ABC = ∢ACB → ABC ~ DAC
    3. BC/AC = AC/AD → 8/AB = AB/18 (AC = AB) → AB² = 144 → AB = 12
    4. מרחק המיתר: √(R² − (AC/2)²) = √(40.5 − 36) = √4.5 ≈ 2.121

    תשובה: AB = 12; √4.5 ≈ 2.121

17. שאלה 17 · טריגונומטריה

    במשולש ABC הצלע BC גדולה פי 2.3 מהצלע AC, ו-∢BAC = 120°. מצאו את הזווית ABC. על AC בונים ריבוע ACDE, ושטח המשולש ABC הוא 25 — מצאו את שטח הריבוע.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. משפט הסינוסים: sin∢ABC = AC·sin120°/BC = 0.866/2.3 → ∢ABC ≈ 22.12°
    2. ∢ACB = 180° − 120° − 22.12° = 37.88°
    3. 25 = ½·AC·2.3AC·sin37.88° → AC² ≈ 35.4
    4. שטח הריבוע = AC² ≈ 35.4

    תשובה: ∢ABC ≈ 22.12°; ≈ 35.4

18. שאלה 18 · בעיות מילוליות

    בין הבית של אורי למכולת נמצא הבית של חנן: מאורי לחנן 3 ק"מ, ומחנן למכולת 5 ק"מ. אורי רכב למכולת במהירות קבועה; חנן רכב מהר ממנו ב-3 קמ"ש ויצא 20 דקות אחריו, ושניהם הגיעו למכולת באותו הזמן. מצאו את מהירות הרכיבה של אורי.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. אורי: 8 ק"מ, זמן 8/v
    2. חנן: 5 ק"מ, זמן 5/(v + 3), ויצא 1/3 שעה אחרי
    3. 8/v = 5/(v + 3) + 1/3
    4. v = 12: 8/12 = 5/15 + 1/3 ✓

    תשובה: 12 קמ"ש