שאלון 35481 — חורף 2026

24 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · בעיות מילוליות

   משאית נוסעת בכל יום מן המפעל אל החנות בדרך שאורכה 275 ק"מ. ביום הראשון נסעה במהירות קבועה. ביום השני נסעה חצי מן הדרך באותה המהירות, וחצי מן הדרך במהירות הקטנה ב-20 קמ"ש. ביום השני זמן הנסיעה היה ארוך ב-40 דקות מביום הראשון. מצאו את המהירות ביום הראשון ואת זמן הנסיעה ביום הראשון.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן ב-v את המהירות ביום הראשון (קמ"ש)
   2. חצי דרך = 137.5 ק"מ; 40 דקות = 2/3 שעה
   3. 137.5/(v − 20) + 137.5/v − 275/v = 2/3 → 137.5/(v − 20) − 137.5/v = 2/3
   4. 137.5 · 20 / (v(v − 20)) = 2/3 → v² − 20v = 4125
   5. v² − 20v − 4125 = 0 → v = (20 + 130)/2 = 75 קמ"ש (הפתרון השלילי נפסל)
   6. זמן ביום הראשון: 275/75 = 3⅔ שעות = 3 שעות ו-40 דקות

   תשובה: 75 קמ"ש; 3 שעות ו-40 דקות

2. שאלה 2 · בעיות מילוליות

   משאית נוסעת בכל יום מן המפעל אל החנות בדרך שאורכה 275 ק"מ. ביום הראשון נסעה במהירות קבועה. ביום השני נסעה חצי מן הדרך באותה המהירות, וחצי מן הדרך במהירות הקטנה ב-20 קמ"ש. ביום השני זמן הנסיעה היה ארוך ב-40 דקות מביום הראשון. ביום השלישי נסעה המשאית במהירות קבועה גדולה יותר, וזמן הנסיעה היה קצר ב-55 דקות מביום הראשון (שבו נסעה 75 קמ"ש במשך 3 שעות ו-40 דקות). בכמה אחוזים הייתה המהירות ביום השלישי גדולה מביום הראשון?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. זמן ביום השלישי: 220 − 55 = 165 דקות = 2.75 שעות
   2. מהירות: 275/2.75 = 100 קמ"ש
   3. שינוי: (100 − 75)/75 = 1/3 ≈ 33.33%

   תשובה: בכ-33.33%

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   מעגל משיק לציר ה-x, אורך הרדיוס שלו 10, ומרכזו A ברביע הראשון. משוואת הישר AD היא y = −2x + 18. מצאו את שיעורי המרכז A וכתבו את משוואת המעגל.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. המעגל משיק לציר ה-x ומרכזו ברביע הראשון, לכן y_A = r = 10
   2. A על הישר: 10 = −2x + 18 → x = 4
   3. A(4, 10), והמשוואה: (x − 4)² + (y − 10)² = 100

   תשובה: A(4, 10); (x − 4)² + (y − 10)² = 100

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   מעגל משיק לציר ה-x, אורך הרדיוס שלו 10, ומרכזו A ברביע הראשון. משוואת הישר AD היא y = −2x + 18. משוואת המעגל: (x − 4)² + (y − 10)² = 100. הנקודה B על המעגל ברביע הראשון, ושיעור ה-y שלה 18. מצאו את B ואת משוואת המשיק למעגל בנקודה B.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. (x − 4)² + 64 = 100 → (x − 4)² = 36 → x = 10 או x = −2
   2. B ברביע הראשון: B(10, 18)
   3. שיפוע הרדיוס AB: (18 − 10)/(10 − 4) = 4/3
   4. המשיק מאונך לרדיוס: שיפוע −3/4
   5. y − 18 = −0.75(x − 10) → y = −0.75x + 25.5

   תשובה: B(10, 18); y = −0.75x + 25.5

5. שאלה 5 · גיאומטריה אנליטית

   מעגל משיק לציר ה-x, אורך הרדיוס שלו 10, ומרכזו A ברביע הראשון. משוואת הישר AD היא y = −2x + 18. המשיק למעגל בנקודה B(10, 18) הוא y = −0.75x + 25.5. D היא נקודת החיתוך של המשיק עם הישר AD. מצאו את D.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. −0.75x + 25.5 = −2x + 18
   2. 1.25x = −7.5 → x = −6
   3. y = −2(−6) + 18 = 30 → D(−6, 30)

   תשובה: D(−6, 30)

6. שאלה 6 · גיאומטריה אנליטית

   מעגל משיק לציר ה-x, אורך הרדיוס שלו 10, ומרכזו A ברביע הראשון. משוואת הישר AD היא y = −2x + 18. A(4, 10), B(10, 18), D(−6, 30), והנקודה C על המעגל כך ש-CB קוטר. חשבו את שטח המשולש DAC.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. A אמצע הקוטר CB: C = (2·4 − 10, 2·10 − 18) = (−2, 2)
   2. DA = √(100 + 400) = √500; AC = 10 (רדיוס)
   3. שטח = ½|(x_A − x_D)(y_C − y_D) − (x_C − x_D)(y_A − y_D)| = ½|10·(−28) − 4·(−20)| = ½·200 = 100

   תשובה: 100

7. שאלה 7 · הסתברות

   ביישוב מסוים ההסתברות שמשפחה שנבחרה באקראי ממחזרת גדולה ב-0.44 מן ההסתברות שהיא אינה ממחזרת. 5/9 מן המשפחות שממחזרות הן משפחות מתנדבות. מצאו את אחוז המשפחות שממחזרות, ואת אחוז המשפחות שממחזרות וגם מתנדבות.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(R) − P(R̄) = 0.44, P(R) + P(R̄) = 1
   2. 2P(R) = 1.44 → P(R) = 0.72 = 72%
   3. P(R ∩ V) = 0.72 · 5/9 = 0.4 = 40%

   תשובה: 72%; 40%

8. שאלה 8 · הסתברות

   ביישוב מסוים ההסתברות שמשפחה שנבחרה באקראי ממחזרת גדולה ב-0.44 מן ההסתברות שהיא אינה ממחזרת. 5/9 מן המשפחות שממחזרות הן משפחות מתנדבות. מספר המשפחות שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי 5 ממספר המשפחות שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות. P(ממחזרת) = 0.72, P(ממחזרת ומתנדבת) = 0.4. מהי ההסתברות שמשפחה שנבחרה באקראי מתנדבת?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(R̄ ∩ V̄) = 0.4/5 = 0.08
   2. P(R̄) = 0.28 → P(R̄ ∩ V) = 0.28 − 0.08 = 0.2
   3. P(V) = 0.4 + 0.2 = 0.6

   תשובה: 0.6

9. שאלה 9 · הסתברות

   ביישוב מסוים ההסתברות שמשפחה שנבחרה באקראי ממחזרת גדולה ב-0.44 מן ההסתברות שהיא אינה ממחזרת. 5/9 מן המשפחות שממחזרות הן משפחות מתנדבות. מספר המשפחות שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי 5 ממספר המשפחות שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות. P(מתנדבת) = 0.6, P(לא ממחזרת ומתנדבת) = 0.2. בוחרים משפחה מתנדבת. מהי ההסתברות שהיא אינה ממחזרת?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(R̄ | V) = P(R̄ ∩ V)/P(V)
   2. = 0.2/0.6 = 1/3

   תשובה: 1/3

10. שאלה 10 · הסתברות

    ביישוב מסוים ההסתברות שמשפחה שנבחרה באקראי ממחזרת גדולה ב-0.44 מן ההסתברות שהיא אינה ממחזרת. 5/9 מן המשפחות שממחזרות הן משפחות מתנדבות. מספר המשפחות שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי 5 ממספר המשפחות שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות. ביישוב 750 משפחות, ו-8% מהן אינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות. כמה משפחות ממחזרות או מתנדבות?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. "ממחזרות או מתנדבות" = כל מי שאינו בתא "לא וגם לא"
    2. P = 1 − 0.08 = 0.92
    3. 0.92 · 750 = 690

    תשובה: 690

11. שאלה 11 · גיאומטריה

    משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O, ו-AC הוא קוטר. הקטע CE משיק למעגל בנקודה C, ונתון OE ∥ BC. הוכיחו: △ABC ∼ △ECO.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    טענה	נימוק
    ∢ABC = 90°	זווית היקפית הנשענת על הקוטר AC
    ∢ECO = 90°	משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
    ∢ACB = ∢EOC	זוויות מתאימות: OE ∥ BC והישר AC חותך אותם
    △ABC ∼ △ECO	ז.ז

    תשובה: הוכחה (ז.ז)

12. שאלה 12 · גיאומטריה

    משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O, ו-AC הוא קוטר. הקטע CE משיק למעגל בנקודה C, ונתון OE ∥ BC. △ABC ∼ △ECO (A↔E, B↔C, C↔O). שטח ABC גדול פי 2.56 משטח ECO, ו-BC = 8. מצאו את הרדיוס ואת שטח המשולש ABC.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. יחס השטחים = (יחס הדמיון)² → יחס הדמיון = √2.56 = 1.6
    2. BC/CO = 1.6 → 8/r = 1.6 → r = 5
    3. AC = 10, ולכן AB = √(10² − 8²) = 6 (פיתגורס, ∢B = 90°)
    4. שטח ABC = 6 · 8 / 2 = 24

    תשובה: r = 5; שטח 24

13. שאלה 13 · גיאומטריה

    משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O, ו-AC הוא קוטר. הקטע CE משיק למעגל בנקודה C, ונתון OE ∥ BC. r = 5, BC = 8, AB = 6. המשך הקטע EO חותך את AB בנקודה F. הוכיחו AF = FB, ומצאו את שטח הטרפז BFEC.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    טענה	נימוק
    OF ∥ BC	על הישר OE, ו-OE ∥ BC (נתון)
    O אמצע AC	מרכז המעגל על הקוטר
    F אמצע AB	קטע אמצעים: ישר דרך אמצע צלע ומקביל לצלע אחרת
    FO = BC2 = 4	קטע אמצעים במשולש ABC
    EO = AC1.6 = 101.6 = 6.25	יחס הדמיון 1.6 (AC ↔ EO)
    FE = 4 + 6.25 = 10.25, גובה הטרפז FB = 3	AB ⊥ BC, לכן גם ⊥ FE
    שטח = 8 + 10.252 · 3 = 27.375	שטח טרפז

    תשובה: AF = FB; שטח 27.375

14. שאלה 14 · טריגונומטריה

    במשולש ABC הנקודה D נמצאת על הצלע BC כך שהמשולש ACD שווה צלעות. נתון AB : AD = 2.8. מצאו את גודל הזווית ABD.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. ∢ADC = 60° (שווה צלעות), לכן ∢ADB = 120°
    2. משפט הסינוסים ב-△ABD: AD/sin∢B = AB/sin120°
    3. sin∢B = sin120° / 2.8 ≈ 0.3093
    4. ∢ABD ≈ 18.017°

    תשובה: ≈ 18.017°

15. שאלה 15 · טריגונומטריה

    במשולש ABC הנקודה D נמצאת על הצלע BC כך שהמשולש ACD שווה צלעות. נתון AB : AD = 2.8. ∢ABD ≈ 18.017°, ושטח המשולש BAD הוא 70. מצאו את AD.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. ∢BAD = 180° − 120° − 18.017° = 41.983°
    2. שטח = ½ · AB · AD · sin∢BAD = ½ · 2.8AD · AD · sin41.983°
    3. 70 = 1.4 · AD² · 0.6687 → AD² ≈ 74.77
    4. AD ≈ 8.646

    תשובה: ≈ 8.646

16. שאלה 16 · טריגונומטריה

    במשולש ABC הנקודה D נמצאת על הצלע BC כך שהמשולש ACD שווה צלעות. נתון AB : AD = 2.8. AD ≈ 8.646, ∢BAD ≈ 41.983°, ∢ABD ≈ 18.017°. הנקודה E על המשך AD כך ש-DE = AD. מצאו את BE.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. BD = AD · sin∢BAD / sin∢ABD ≈ 8.646 · 0.6687 / 0.3093 ≈ 18.69 (משפט הסינוסים)
    2. ∢BDE = 180° − 120° = 60°
    3. BE² = BD² + DE² − 2·BD·DE·cos60° ≈ 349.4 + 74.8 − 161.6 = 262.6
    4. BE ≈ 16.207

    תשובה: ≈ 16.207

17. שאלה 17 · טריגונומטריה

    במשולש ABC הנקודה D נמצאת על הצלע BC כך שהמשולש ACD שווה צלעות. נתון AB : AD = 2.8. AD ≈ 8.646, BE ≈ 16.207, ∢BAD ≈ 41.983°, ו-E על המשך AD כך ש-DE = AD. פי כמה גדול רדיוס המעגל החוסם את △ABE מרדיוס המעגל החוסם את △ACE?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. DA = DC = DE (שווה צלעות + DE = AD), לכן D מרכז המעגל החוסם את △ACE, ו-R₂ = AD ≈ 8.646
    2. ב-△ABE: R₁ = BE / (2·sin∢BAE) = 16.207 / (2·0.6687) ≈ 12.118
    3. R₁/R₂ ≈ 12.118/8.646 ≈ 1.4

    תשובה: ≈ 1.4

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = a/(x − 4)², x ≠ 4, a > 0. שיפוע המשיק לגרף בנקודה x = 6 הוא −3. מצאו את a.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. f′(x) = −2a/(x − 4)³
    2. f′(6) = −2a/8 = −a/4
    3. −a/4 = −3 → a = 12

    תשובה: a = 12

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = 12/(x − 4)², המוגדרת לכל x ≠ 4. מצאו נקודות חיתוך עם הצירים, אסימפטוטות, ותחומי עלייה וירידה.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. ציר ה-y: f(0) = 12/16 = 0.75; אין חיתוך עם ציר ה-x (המונה 12 ≠ 0)
    2. אסימפטוטה אנכית x = 4, אופקית y = 0
    3. f′(x) = −24/(x − 4)³: חיובית ל-x < 4, שלילית ל-x > 4
    4. עולה ב-x < 4, יורדת ב-x > 4

    תשובה: (0, 0.75); x = 4, y = 0; עולה ל-x < 4, יורדת ל-x > 4

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = 12/(x − 4)², המוגדרת לכל x ≠ 4. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f′(x), הישר x = 3, ציר ה-x וציר ה-y. ובכמה גדל השטח אם מחליפים את f′ ב-g(x) = f′(x) + 2?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. ב-0 ≤ x ≤ 3 מתקיים f′(x) > 0
    2. שטח = ∫₀³ f′(x)dx = f(3) − f(0) = 12 − 0.75 = 11.25
    3. g(x) = f′(x) + 2 מוסיפה מלבן בגובה 2 ורוחב 3
    4. השטח גדל ב-2 · 3 = 6

    תשובה: 11.25; גדל ב-6

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = x²·√(7 − x). מצאו תחום הגדרה, חיתוך עם ציר ה-x, ונקודות קיצון.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. 7 − x ≥ 0 → x ≤ 7
    2. f(x) = 0 → x = 0 או x = 7
    3. f′(x) = 2x√(7 − x) − x²/(2√(7 − x)) = x(28 − 5x) / (2√(7 − x))
    4. f′ = 0 → x = 0 או x = 5.6
    5. f(5.6) = 31.36·√1.4 ≈ 37.1 — מקסימום; (0,0) מינימום (f ≥ 0); (7,0) מינימום בקצה התחום

    תשובה: x ≤ 7; (0,0), (7,0); מקסימום (5.6, ≈37.1), מינימום (0,0) ו-(7,0)

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = x²·√(7 − x). (מקסימום ב-(5.6, ≈37.1), תחום x ≤ 7). נתונה g(x) = f(x + a), ול-g יש מקסימום פנימי ב-x = 8.6. מצאו את a ואת תחום ההגדרה של g.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. g היא הזזה של f: המקסימום עובר מ-5.6 ל-8.6
    2. x + a = 5.6 כש-x = 8.6 → a = −3
    3. תחום: x + a ≤ 7 → x − 3 ≤ 7 → x ≤ 10

    תשובה: a = −3; x ≤ 10

23. שאלה 23 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = (6x − 12)/(x − 8). מצאו תחום, אסימפטוטות ואת נקודת החיתוך A עם ציר ה-x.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. x − 8 ≠ 0 → x ≠ 8
    2. אסימפטוטה אנכית x = 8, אופקית y = 6/1 = 6
    3. 6x − 12 = 0 → A(2, 0)

    תשובה: x ≠ 8; x = 8, y = 6; A(2, 0)

24. שאלה 24 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = (6x − 12)/(x − 8). A(2, 0). הנקודה C(t, f(t)) על הגרף בתחום x > 8, B עקב האנך מ-C לציר ה-x, ו-ABCD מלבן כש-D ברביע הראשון. הביעו את היקף המלבן, מצאו את t שבעבורו ההיקף מינימלי, והאם ייתכן היקף 50?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. AB = t − 2, BC = f(t) = (6t − 12)/(t − 8)
    2. P(t) = 2(t − 2) + 2(6t − 12)/(t − 8) = 2t − 4 + (12t − 24)/(t − 8)
    3. P′(t) = 2 + [12(t − 8) − (12t − 24)]/(t − 8)² = 2 − 72/(t − 8)²
    4. P′ = 0 → (t − 8)² = 36 → t = 14 (t > 8)
    5. P(14) = 24 + 144/6 = 48 — היקף מינימלי
    6. 48 הוא המינימום והפונקצייה רציפה ושואפת לאינסוף, לכן היקף 50 אפשרי: כן

    תשובה: P(t) = 2t − 4 + (12t − 24)/(t − 8); t = 14; כן