שאלון 35482 — קיץ מועד א׳ 2026

12 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   בחנות גלידה הכינו גלידת שוקולד 16 ימים; בכל יום 3 ק"ג יותר מביום שלפניו, ובימים הראשון והרביעי יחד הכינו 149 ק"ג. כמה ק"ג הכינו ביום הראשון, וכמה בסך הכול?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. a₁ + a₄ = a₁ + (a₁ + 9) = 149 → a₁ = 70
   2. S₁₆ = 16(2·70 + 15·3)/2 = 8·185 = 1,480

   תשובה: 70 ק"ג; 1,480 ק"ג

2. שאלה 2 · סדרות

   בחנות גלידה הכינו גלידת שוקולד 16 ימים; בכל יום 3 ק"ג יותר מביום שלפניו, ובימים הראשון והרביעי יחד הכינו 149 ק"ג. בסך הכול הכינו 1,480 ק"ג שוקולד. גלידת וניל הוכנה 16 ימים, בכל יום d ק"ג יותר; ביום האחרון 115 ק"ג, והכמות הכוללת קטנה ב-480 ק"ג מכמות השוקולד. מצאו את d.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. S₁₆ = 1,480 − 480 = 1,000
   2. 16(a₁ + 115)/2 = 1,000 → a₁ = 10
   3. 115 = 10 + 15d → d = 7

   תשובה: d = 7

3. שאלה 3 · סדרות

   בחנות הוכנו 1,480 ק"ג גלידת שוקולד ו-1,000 ק"ג גלידת וניל. כל הגלידה נמכרה ב-5 ימים, ובכל יום נמכרה כמות כפולה מביום שלפניו. כמה ק"ג נמכרו ביום הראשון?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. סה"כ 2,480 ק"ג
   2. סדרה הנדסית q = 2: S₅ = a₁(2⁵ − 1) = 31a₁
   3. 31a₁ = 2,480 → a₁ = 80

   תשובה: 80 ק"ג

4. שאלה 4 · טריגונומטריה במרחב

   תיבה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ריבוע; גובהה גדול פי 1.5 מצלע הבסיס, ונפחה 2,592. מצאו את צלע הבסיס ואת היקף המשולש AD′C.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. 1.5a³ = 2,592 → a³ = 1,728 → a = 12, גובה 18
   2. AD′ = CD′ = √(12² + 18²) ≈ 21.63
   3. AC = 12√2 ≈ 16.97
   4. היקף ≈ 2·21.63 + 16.97 ≈ 60.24

   תשובה: 12; ≈ 60.24

5. שאלה 5 · טריגונומטריה במרחב

   תיבה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ריבוע; גובהה גדול פי 1.5 מצלע הבסיס, ונפחה 2,592. צלע הבסיס 12 והגובה 18. M אמצע האלכסון AC. מצאו את הזווית בין D′M לבסיס.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. ההיטל של D′M על הבסיס הוא DM = 6√2 ≈ 8.485
   2. tanα = DD′/DM = 18/8.485
   3. α ≈ 64.76°

   תשובה: ≈ 64.76°

6. שאלה 6 · טריגונומטריה במרחב

   תיבה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ריבוע; גובהה גדול פי 1.5 מצלע הבסיס, ונפחה 2,592. צלע הבסיס 12, גובה 18, M אמצע AC, והזווית DMD′ ≈ 64.76°. E על DD′ כך ש-EM חוצה את הזווית DMD′. חשבו את שטח המשולש EDM.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. ∢DME = 64.76°/2 ≈ 32.38°
   2. ED = DM·tan32.38° ≈ 8.485·0.634 ≈ 5.38
   3. S = ½·8.485·5.38 ≈ 22.83

   תשובה: ≈ 22.83

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = 4sin²x − 1 בתחום 0 ≤ x ≤ 1.5π. מצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה-x ואת נקודות הקיצון.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. sin²x = ¼ → sin x = ±½ → x = π/6, 5π/6, 7π/6
   2. f′ = 8sin x·cos x = 4sin2x = 0 → x = 0, π/2, π, 3π/2
   3. f(0) = f(π) = −1 — מינימום; f(π/2) = f(3π/2) = 3 — מקסימום

   תשובה: (π/6, 0), (5π/6, 0), (7π/6, 0); מינימום (0, −1), (π, −1); מקסימום (π/2, 3), (1.5π, 3)

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = 4sin²x − 1 בתחום 0 ≤ x ≤ 1.5π. f(0) = f(π) = −1 ו-f(π/2) = 3. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף f′ וציר ה-x בתחום 0 ≤ x ≤ π.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f′ > 0 ב-(0, π/2) ו-f′ < 0 ב-(π/2, π)
   2. השטח = [f(π/2) − f(0)] + [f(π/2) − f(π)]
   3. = 4 + 4 = 8

   תשובה: 8

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = (a − 4x)e^(2x − 1), המוגדרת לכל x, ושיפוע המשיק לגרפה ב-x = 0 הוא 16/e. מצאו את a, ועבור a = 10: נקודות החיתוך עם הצירים ונקודת הקיצון.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f′ = (2a − 4 − 8x)e^(2x − 1)
   2. f′(0) = (2a − 4)/e = 16/e → a = 10
   3. f = 0: 10 − 4x = 0 → x = 2.5; f(0) = 10/e
   4. f′ = 0: 16 − 8x = 0 → x = 2, f(2) = 2e³ — מקסימום

   תשובה: a = 10; (2.5, 0), (0, 10/e); מקסימום (2, 2e³) ≈ (2, 40.17)

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = (a − 4x)e^(2x − 1), המוגדרת לכל x, ושיפוע המשיק לגרפה ב-x = 0 הוא 16/e. a = 10. g(x) = 4e^(2x − 1). הסבירו מדוע g חיובית, מצאו את נקודת החיתוך A של f ו-g, וחשבו את השטח המוגבל על ידי g, האנך מ-A לציר ה-x, וצירי הקואורדינטות.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. g = 4·(חזקה של e) > 0
    2. 10 − 4x = 4 → x = 1.5, y = 4e² ≈ 29.56
    3. S = ∫₀^1.5 4e^(2x − 1) dx = [2e^(2x − 1)]₀^1.5
    4. = 2e² − 2e⁻¹ ≈ 14.04

    תשובה: eˣ > 0 תמיד; A(1.5, 4e²); 2e² − 2/e ≈ 14.04

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = 14(ln x)²/x², המוגדרת ב-x > 0. מצאו חיתוכים עם הצירים, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. f = 0 ⟺ ln x = 0 → x = 1 (אין חיתוך עם ציר ה-y)
    2. f′ = 28 ln x(1 − ln x)/x³
    3. f′ = 0: x = 1, x = e
    4. f(1) = 0 — מינימום; f(e) = 14/e² — מקסימום

    תשובה: (1, 0); מינימום (1, 0), מקסימום (e, 14/e²); עולה ב-1 < x < e, יורדת ב-0 < x < 1 וב-x > e

12. שאלה 12 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = 14(ln x)²/x², המוגדרת ב-x > 0. g(x) = f(x − 4). מהו תחום ההגדרה של g, ומהן נקודות הקיצון שלה?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. x − 4 > 0 → x > 4
    2. הזזה ימינה ב-4: מינימום (1 + 4, 0) = (5, 0)
    3. מקסימום (e + 4, 14/e²)

    תשובה: x > 4; מינימום (5, 0), מקסימום (e + 4, 14/e²)