שאלון 35482 — קיץ מועד ב׳ 2026

11 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   תלמידי י"ב1 אספו בקבוקים 5 שבועות; בכל שבוע פי q מבשבוע הקודם, ובשבוע הרביעי פי 3.375 מבשבוע הראשון. בשבוע הראשון ובשבוע האחרון יחד אספו 2,425 בקבוקים. מצאו את q ואת מספר הבקבוקים בשבוע הראשון.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. a₄ = a₁q³ = 3.375a₁ → q = 1.5
   2. a₁ + a₁q⁴ = 2,425 → a₁(1 + 5.0625) = 2,425 → a₁ = 400

   תשובה: q = 1.5; 400 בקבוקים

2. שאלה 2 · סדרות

   תלמידי י"ב1 אספו בקבוקים 5 שבועות; בכל שבוע פי q מבשבוע הקודם, ובשבוע הרביעי פי 3.375 מבשבוע הראשון. בשבוע הראשון ובשבוע האחרון יחד אספו 2,425 בקבוקים. q = 1.5 ו-a₁ = 400. תלמידי י"ב2 אספו 18 שבועות, בכל שבוע d בקבוקים יותר; בשבוע השני 230, ובסך הכול 6,300. מצאו את d. על כל בקבוק קיבלו 0.3 ₪ — האם הכסף מכל הבקבוקים של שתי הכיתות יספיק למסיבה שעולה 3,400 ₪?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. 9(2a₁ + 17d) = 6,300, a₁ = 230 − d → 460 + 15d = 700 → d = 16
   2. י"ב1: 400(1.5⁵ − 1)/0.5 = 5,275
   3. סה"כ 5,275 + 6,300 = 11,575 בקבוקים
   4. 11,575·0.3 = 3,472.5 ≥ 3,400 — יספיק

   תשובה: d = 16; כן — 3,472.5 ₪

3. שאלה 3 · טריגונומטריה במרחב

   פירמידה ישרה SABCD שבסיסה ריבוע; הגובה SO הוא 7.2 והנפח 38.4. מצאו את צלע הבסיס ואת הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. ⅓a²·7.2 = 38.4 → a² = 16 → a = 4
   2. OA = חצי אלכסון = 2√2
   3. tanα = 7.2/(2√2) → α ≈ 68.55°

   תשובה: 4; ≈ 68.55°

4. שאלה 4 · טריגונומטריה במרחב

   פירמידה ישרה SABCD שבסיסה ריבוע; הגובה SO הוא 7.2 והנפח 38.4. צלע הבסיס 4. F על הגובה SO, ו-FABD פירמידה ישרה שהזווית בין מקצוע צדדי שלה לבסיס היא 60°. מצאו את FO, ופי כמה גדול נפח SABCD מנפח FABD.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. O אמצע BD — מרכז המעגל החוסם את המשולש ABD
   2. FO = OA·tan60° = 2√2·√3 = 2√6
   3. V_FABD = ⅓·8·2√6 ≈ 13.06
   4. 38.4/13.06 ≈ 2.94

   תשובה: FO = 2√6 ≈ 4.9; פי ≈ 2.94

5. שאלה 5 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = ax + 5cos(2x) − 1 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π/3, ושיפוע המשיק לגרפה ב-x = π/4 הוא −5. מצאו את a ואת כל נקודות הקיצון.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f′ = a − 10sin2x; f′(π/4) = a − 10 = −5 → a = 5
   2. 5 − 10sin2x = 0 → sin2x = ½ → x = π/12, 5π/12
   3. f(π/12) ≈ 4.64 — מקסימום; f(5π/12) ≈ 1.21 — מינימום
   4. קצוות: f(0) = 4 — מינימום; f(2π/3) ≈ 6.97 — מקסימום

   תשובה: a = 5; מינימום (0, 4), (5π/12, 1.21); מקסימום (π/12, 4.64), (2π/3, 6.97)

6. שאלה 6 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = ax + 5cos(2x) − 1 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π/3, ושיפוע המשיק לגרפה ב-x = π/4 הוא −5. a = 5, והמינימום של f בתחום הוא ≈ 1.21. g היא פונקצייה שנגזרתה g′(x) = f(x). קבעו: I. ל-g שתי נקודות קיצון פנימיות. II. g עולה בכל התחום.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. g′ = f ≥ 1.21 > 0 בכל התחום
   2. g′ לא מתאפסת — אין קיצון פנימי: I לא נכון
   3. g′ > 0 — g עולה: II נכון

   תשובה: I לא נכון; II נכון

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = (2x² − ax)eˣ, ולה נקודת קיצון ב-x = 1. מצאו את a, ועבור a = 3 את נקודות הקיצון ונקודות החיתוך עם הצירים.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f′ = (2x² + (4 − a)x − a)eˣ; f′(1) = (6 − 2a)e = 0 → a = 3
   2. f′ = (2x² + x − 3)eˣ = 0 → x = 1, x = −1.5
   3. f(1) = −e — מינימום; f(−1.5) = 9e^(−1.5) ≈ 2.01 — מקסימום
   4. f = 0: x(2x − 3) = 0 → (0, 0), (1.5, 0)

   תשובה: a = 3; מינימום (1, −e), מקסימום (−1.5, 9/e^1.5); (0, 0), (1.5, 0)

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = (2x² − ax)eˣ, ולה נקודת קיצון ב-x = 1. a = 3, f(x) = (2x² − 3x)eˣ. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. הסימן נקבע על ידי x(2x − 3)
   2. שורשים 0 ו-1.5, פרבולה פתוחה למעלה
   3. שלילית בין השורשים, חיובית מחוצה להם

   תשובה: חיובית ב-x < 0 וב-x > 1.5; שלילית ב-0 < x < 1.5

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = x²/(4ln x − 6). מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטה האנכית, והאם הגרף חותך את ציר ה-x.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. ln x מוגדר ב-x > 0
   2. 4ln x − 6 ≠ 0 → x ≠ e^1.5 — אסימפטוטה אנכית
   3. f = 0 ⟺ x = 0, שאינו בתחום — אין חיתוך

   תשובה: x > 0, x ≠ e^1.5; x = e^1.5; לא

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = x²/(4ln x − 6). מצאו את נקודת הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. f′ = [2x(4ln x − 6) − 4x]/(4ln x − 6)² = 2x(4ln x − 8)/(4ln x − 6)²
    2. f′ = 0 → ln x = 2 → x = e²
    3. f(e²) = e⁴/(8 − 6) = e⁴/2 — מינימום

    תשובה: מינימום (e², e⁴/2); עולה ב-x > e², יורדת ב-0 < x < e^1.5 וב-e^1.5 < x < e²

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = x²/(4ln x − 6). f(e²) = e⁴/2 (מינימום), ו-f′ > 0 ב-x > e². חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f′, ציר ה-x והישר x = e³.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. השטח = ∫_{e²}^{e³} f′ dx = f(e³) − f(e²)
    2. f(e³) = e⁶/(12 − 6) = e⁶/6
    3. e⁶/6 − e⁴/2 ≈ 67.24 − 27.30 ≈ 39.94

    תשובה: e⁶/6 − e⁴/2 ≈ 39.94