שאלון 35482 — חורף 2026

9 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   יריד ספרים נמשך 7 ימים. בכל יום נמכרו פי 2 ספרים מביום שלפניו, ובשלושת הימים הראשונים נמכרו 420 ספרים בסך הכול. כמה ספרים נמכרו ביום הראשון? כל ספר נמכר ב-50 ₪ — מה סך ההכנסות בכל 7 הימים?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. סדרה הנדסית עם q = 2: a₁ + 2a₁ + 4a₁ = 420 → 7a₁ = 420 → a₁ = 60
   2. S₇ = a₁(q⁷ − 1)/(q − 1) = 60 · 127 = 7,620 ספרים
   3. הכנסות: 7,620 · 50 = 381,000 ₪

   תשובה: 60 ספרים; 381,000 ₪

2. שאלה 2 · סדרות

   יריד ספרים נמשך 7 ימים. בכל יום נמכרו פי 2 ספרים מביום שלפניו, ובשלושת הימים הראשונים נמכרו 420 ספרים בסך הכול. ההכנסות היו 381,000 ₪, ומחציתן נתרמה בחודשים: בחודש הראשון 4,315 ₪, ובכל חודש 315 ₪ יותר מבחודש שלפניו. לכמה חודשים פוזרה התרומה, ומה סכום התרומה בשני החודשים האמצעיים?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. התרומה: 381,000/2 = 190,500 ₪ — סכום של סדרה חשבונית עם a₁ = 4,315, d = 315
   2. n/2 · (2·4,315 + (n − 1)·315) = 190,500 → 315n² + 8,315n − 381,000 = 0
   3. n = 24 (הפתרון השלילי נפסל)
   4. החודשים האמצעיים: 12 ו-13
   5. a₁₂ = 4,315 + 11·315 = 7,780; a₁₃ = 8,095; סכום 15,875 ₪

   תשובה: 24 חודשים; 15,875 ₪

3. שאלה 3 · טריגונומטריה במרחב

   פירמידה ישרה SABCD שבסיסה מלבן ABCD. SO גובה הפירמידה, ו-SF גובה לצלע BC בפאה SBC. נתון BC = 8 ושטח הפאה SBC הוא 60. מצאו את SF, ובהינתן שהזווית בין SF לבסיס היא 67°, מצאו את AB.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. שטח SBC = BC · SF / 2 → 60 = 8 · SF / 2 → SF = 15
   2. F אמצע BC (פירמידה ישרה), ו-OF ⊥ BC, לכן OF = AB/2
   3. OF = SF · cos67° ≈ 15 · 0.3907 ≈ 5.861
   4. AB = 2 · OF ≈ 11.72

   תשובה: SF = 15; AB ≈ 11.72

4. שאלה 4 · טריגונומטריה במרחב

   פירמידה ישרה SABCD שבסיסה מלבן ABCD. SO גובה הפירמידה, ו-SF גובה לצלע BC בפאה SBC. נתון BC = 8 ושטח הפאה SBC הוא 60. SF = 15, AB ≈ 11.72, והזווית בין SF לבסיס 67°. מצאו את נפח הפירמידה, ופי כמה גדול נפח קובייה שאלכסון פאה שלה שווה ל-SO.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. SO = SF · sin67° ≈ 13.81
   2. V = (1/3) · 8 · 11.72 · 13.81 ≈ 431.6
   3. צלע הקובייה: SO/√2 ≈ 9.763 (אלכסון פאה = צלע · √2)
   4. נפח הקובייה ≈ 9.763³ ≈ 930.7
   5. היחס ≈ 930.7 / 431.6 ≈ 2.156

   תשובה: נפח ≈ 431.6; פי ≈ 2.156

5. שאלה 5 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = cos(3x) + a בתחום 0 ≤ x ≤ 2π/3, a פרמטר. מצאו את נקודות הקיצון וסוגן, ובהינתן ששיעור ה-y של נקודת המינימום הוא −1.5, מצאו את a.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f′(x) = −3sin(3x) = 0 → 3x = 0, π, 2π → x = 0, π/3, 2π/3
   2. x = π/3: cos π = −1 — מינימום; x = 0 ו-x = 2π/3: cos = 1 — מקסימום
   3. f(π/3) = −1 + a = −1.5 → a = −0.5

   תשובה: x = 0 מקסימום, x = π/3 מינימום, x = 2π/3 מקסימום; a = −0.5

6. שאלה 6 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = cos(3x) − 0.5 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π/3. מצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה-x.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. cos(3x) = 0.5
   2. 3x = π/3 או 3x = 5π/3 (בתחום 0 ≤ 3x ≤ 2π)
   3. x = π/9 או x = 5π/9

   תשובה: (π/9, 0), (5π/9, 0)

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = cos(3x) − 0.5 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π/3, עם מינימום ב-(π/3, −1.5). העבירו משיק בנקודת המינימום. מצאו את משוואתו ואת השטח המוגבל על ידי הגרף, המשיק וציר ה-y.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. בנקודת מינימום המשיק אופקי: y = −1.5
   2. S = ∫₀^(π/3) [(cos3x − 0.5) − (−1.5)] dx = ∫₀^(π/3) (cos3x + 1) dx
   3. = [sin(3x)/3 + x]₀^(π/3) = 0 + π/3 ≈ 1.047

   תשובה: y = −1.5; S = π/3 ≈ 1.047

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = 6x² / e^(x² + 2), המוגדרת לכל x. מצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה-x, הוכיחו שהפונקצייה זוגית, ומצאו את נקודות הקיצון וסוגן.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f(x) = 0 ⇔ x = 0 → (0, 0)
   2. f(−x) = 6(−x)² / e^((−x)² + 2) = f(x) — זוגית
   3. f′(x) = [12x − 12x³] / e^(x² + 2) = 12x(1 − x²) / e^(x² + 2)
   4. f′ = 0 → x = 0, x = ±1
   5. x = 0: מינימום (f ≥ 0); x = ±1: מקסימום, f(±1) = 6/e³ ≈ 0.297

   תשובה: (0,0); זוגית; (0,0) מינימום, (±1, 6/e³ ≈ 0.297) מקסימום

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = 6x² / e^(x² + 2), המוגדרת לכל x. (קיצון: מינימום ב-(0,0), מקסימום ב-(±1, 6/e³)). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f′(x) וציר ה-x.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f′ מתאפסת ב-x = −1, 0, 1
   2. ב-[−1, 0]: f′ ≤ 0, השטח = f(−1) − f(0) = 6/e³
   3. ב-[0, 1]: f′ ≥ 0, השטח = f(1) − f(0) = 6/e³
   4. סה"כ 12/e³ ≈ 0.597

   תשובה: 12/e³ ≈ 0.597