שאלון 35582 — קיץ מועד א׳ 2026

9 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · וקטורים

   בתיבה ABCDA′B′C′D′ נסמן u = AD, v = AB, w = AA′ (וקטורים ניצבים זה לזה). E אמצע המקצוע BB′, והנקודה M מקיימת BM = (1/6)u − (2/3)v + (1/12)w. הביעו את EA ואת EC באמצעות u, v, w.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. E = B + ½BB′ → AE = v + ½w
   2. EA = −v − ½w
   3. EC = AC − AE = (u + v) − (v + ½w) = u − ½w

   תשובה: EA = −v − ½w; EC = u − ½w

2. שאלה 2 · וקטורים

   בתיבה ABCDA′B′C′D′ נסמן u = AD, v = AB, w = AA′ (וקטורים ניצבים זה לזה). E אמצע המקצוע BB′, והנקודה M מקיימת BM = (1/6)u − (2/3)v + (1/12)w. EA = −v − ½w, EC = u − ½w. הביעו את EM, ומצאו a, b כך ש-EM = a·EC + b·EA. האם M במישור AEC?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. EM = EB + BM = −½w + (1/6)u − (2/3)v + (1/12)w = (1/6)u − (2/3)v − (5/12)w
   2. a·EC + b·EA = au − bv − (a + b)/2·w
   3. השוואת מקדמים: a = 1/6, b = 2/3, ובדיקה: (a + b)/2 = 5/12 ✓
   4. EM צירוף של EC ו-EA → M במישור AEC

   תשובה: EM = (1/6)u − (2/3)v − (5/12)w; a = 1/6, b = 2/3; כן

3. שאלה 3 · וקטורים

   בתיבה ABCDA′B′C′D′ נסמן u = AD, v = AB, w = AA′ (וקטורים ניצבים זה לזה). E אמצע המקצוע BB′, והנקודה M מקיימת BM = (1/6)u − (2/3)v + (1/12)w. |w| = 4, ו-BM מאונך למישור AEC. מצאו את |u| ואת |v|.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. BM ⊥ EA: (2/3)|v|² − (1/24)|w|² = 0 → |v|² = 1
   2. BM ⊥ EC: (1/6)|u|² − (1/24)|w|² = 0 → |u|² = 4
   3. |u| = 2, |v| = 1

   תשובה: |u| = 2, |v| = 1

4. שאלה 4 · וקטורים

   בתיבה ABCDA′B′C′D′ נסמן u = AD, v = AB, w = AA′ (וקטורים ניצבים זה לזה). E אמצע המקצוע BB′, והנקודה M מקיימת BM = (1/6)u − (2/3)v + (1/12)w. |u| = 2, |v| = 1, |w| = 4, ו-BM מאונך למישור AEC (ו-M במישור). חשבו את המרחק בין B למישור AEC.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. M במישור ו-BM ⊥ מישור → המרחק = |BM|
   2. |BM|² = (2/6)² + (2/3)² + (4/12)² = 1/9 + 4/9 + 1/9 = 6/9
   3. |BM| = √6/3

   תשובה: √6/3 ≈ 0.816

5. שאלה 5 · מספרים מרוכבים

   מצאו את כל הפתרונות של המשוואה z³ = −64 (z מרוכב).

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. −64 = 64cis180°
   2. z = 4cis((180° + 360°k)/3)
   3. k = 0, 1, 2: 60°, 180°, 300°

   תשובה: 4cis60°, 4cis180°, 4cis300°

6. שאלה 6 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = xⁿ(3 − ln x), x > 0, כאשר n פרמטר טבעי. מצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה-x, ואת n אם שיפוע המשיק ב-x = 1 הוא 2.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. 3 − ln x = 0 → x = e³
   2. f′ = nxⁿ⁻¹(3 − ln x) − xⁿ⁻¹
   3. f′(1) = 3n − 1 = 2 → n = 1

   תשובה: (e³, 0); n = 1

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = xⁿ(3 − ln x), x > 0, כאשר n פרמטר טבעי. n = 1, כלומר f(x) = x(3 − ln x). מצאו את נקודת הקיצון.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f′ = 3 − ln x − 1 = 2 − ln x
   2. f′ = 0 → x = e²
   3. f(e²) = e²(3 − 2) = e² — מקסימום (f′ עוברת מחיובית לשלילית)

   תשובה: מקסימום (e², e²)

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = xⁿ(3 − ln x), x > 0, כאשר n פרמטר טבעי. n = 1, ו-g(x) = 1/f(x) = 1/(x(3 − ln x)). מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של g.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f ≠ 0 → x ≠ e³ (ו-x > 0)
   2. x → 0⁺: f → 0⁺ → g → ∞: אסימפטוטה x = 0
   3. x → e³: אסימפטוטה x = e³
   4. x → ∞: f → −∞ → g → 0: y = 0

   תשובה: 0 < x < e³ או x > e³; x = 0, x = e³, y = 0

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = xⁿ(3 − ln x), x > 0, כאשר n פרמטר טבעי. n = 1, g(x) = 1/(x(3 − ln x)). השטח בין g, ציר ה-x והישרים x = e ו-x = eᵃ (1 < a < 3) הוא ln10. מצאו את a.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. ∫ dx/(x(3 − ln x)) = −ln|3 − ln x|
   2. S = ln|3 − 1| − ln|3 − a| = ln(2/(3 − a))
   3. 2/(3 − a) = 10 → a = 2.8

   תשובה: a = 2.8