שאלון 35582 — חורף 2026

9 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה f(x) = (ln²x + 1)/(x·ln²x), x > 0, x ≠ 1, עם נקודת קיצון ב-x = 1/e. g היא פונקצייה עם g′(x) = f(x), באותו תחום, ונקודת הפיתול של g נמצאת על ציר ה-x. מצאו את g.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f = 1/x + 1/(x·ln²x)
   2. ∫ dx/x = ln x; ∫ dx/(x·ln²x) = −1/ln x (הצבה u = ln x)
   3. g(x) = ln x − 1/ln x + C
   4. נקודת הפיתול של g היא נקודת הקיצון של g′ = f: x = 1/e
   5. g(1/e) = −1 − 1/(−1) + C = C = 0 → g(x) = ln x − 1/ln x

   תשובה: g(x) = ln x − 1/ln x

2. שאלה 2 · גיאומטריה אנליטית

   נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה A(1, 3) נמצאת על האליפסה, ושיעורי המוקד הימני הם (√6.4, 0). מצאו את משוואת האליפסה.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. x²/a² + y²/b² = 1, ו-a² − b² = c² = 6.4
   2. A על האליפסה: 1/a² + 9/b² = 1
   3. נציב b² = a² − 6.4 ונכפיל במכנים: a⁴ − 16.4a² + 6.4 = 0 → a² = 16 (הפתרון השני 0.4 קטן מ-6.4 ונפסל)
   4. b² = 16 − 6.4 = 9.6 → x²/16 + y²/9.6 = 1

   תשובה: x²/16 + y²/9.6 = 1

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה A(1, 3) נמצאת על האליפסה, ושיעורי המוקד הימני הם (√6.4, 0). האליפסה: x²/16 + y²/9.6 = 1. B נקודת החיתוך שלה עם החלק החיובי של ציר ה-x. C נקודה כלשהי על הישר AO (O ראשית הצירים), ו-P אמצע BC. מצאו את המקום הגאומטרי של P.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. B(4, 0); הישר AO: y = 3x, לכן C(t, 3t)
   2. P = ((4 + t)/2, 3t/2)
   3. x = (4 + t)/2 → t = 2x − 4
   4. y = 3t/2 = 3(2x − 4)/2 = 3x − 6

   תשובה: y = 3x − 6

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   מצאו את משוואת המעגל המשיק לישר y = 3x − 6 ומשיק לישר y = 3x בנקודה O(0, 0).

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. הישרים מקבילים; המרחק ביניהם: |−6|/√(3² + 1) = 6/√10 — זה הקוטר
   2. r = 3/√10, r² = 0.9
   3. המרכז על האנך לישר y = 3x ב-O: y = −x/3, בכיוון הישר השני
   4. מרכז (h, −h/3) עם h·√10/3 = 3/√10 → h = 0.9, מרכז (0.9, −0.3)
   5. (x − 0.9)² + (y + 0.3)² = 0.9

   תשובה: (x − 0.9)² + (y + 0.3)² = 0.9

5. שאלה 5 · חשבון דיפרנציאלי

   הפונקצייה f(x) יורדת ב-x < 0 וב-x > 0, ו-f′(x) ≠ 0 בכל תחום הגדרתה. g(x) = f′(x) · e^(f(x)). מהם תחומי החיוביות והשליליות של g? נמקו.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f יורדת ו-f′ ≠ 0, לכן f′(x) < 0 בכל התחום
   2. e^(f(x)) > 0 תמיד
   3. g = (שלילי) · (חיובי) < 0 לכל x ≠ 0

   תשובה: g שלילית לכל x ≠ 0; אין תחום חיוביות

6. שאלה 6 · חשבון דיפרנציאלי

   f(x) = 1/x, ו-g(x) = f′(x) · e^(f(x)), כלומר g(x) = −(1/x²) · e^(1/x), לכל x ≠ 0. מצאו את האסימפטוטות, ואת נקודת הקיצון וסוגה.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. x → ±∞: 1/x² → 0 ו-e^(1/x) → 1, לכן y = 0
   2. x → 0⁺: g → −∞ — אסימפטוטה אנכית x = 0 (ב-x → 0⁻ g → 0)
   3. g′(x) = e^(1/x) · (2x + 1)/x⁴
   4. g′ = 0 → x = −0.5; g′ < 0 משמאל ו-> 0 מימין — מינימום
   5. g(−0.5) = −4 · e^(−2) = −4/e² ≈ −0.541

   תשובה: x = 0, y = 0; מינימום (−0.5, −4/e²)

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   f(x) = 1/x, ו-g(x) = f′(x) · e^(f(x)), כלומר g(x) = −(1/x²) · e^(1/x), לכל x ≠ 0. a > 1. השטח המוגבל על ידי גרף g, ציר ה-x והישרים x = 1/ln(4a) ו-x = 1/ln(a) הוא 9. מצאו את a.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. g = f′ · e^f, לכן פונקציה קדומה: G(x) = e^(f(x)) = e^(1/x)
   2. G(1/ln a) = e^(ln a) = a; G(1/ln(4a)) = e^(ln 4a) = 4a
   3. g < 0, לכן השטח = |a − 4a| = 3a
   4. 3a = 9 → a = 3

   תשובה: a = 3

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = (ln²x + a)/(x·ln²x), a > 0. מצאו את תחום ההגדרה, ובהינתן שלפונקצייה יש נקודת קיצון אחת בלבד ב-x = 1/e, מצאו את a.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. x > 0 (לוגריתם), ו-ln x ≠ 0 → x ≠ 1
   2. f(x) = 1/x + a/(x·ln²x)
   3. f′(x) = −[ln⁴x + a·ln²x + 2a·ln x] / (x²·ln⁴x)
   4. x = 1/e: ln x = −1 → 1 + a − 2a = 0 → a = 1

   תשובה: x > 0, x ≠ 1; a = 1

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   g(x) = ln x − 1/ln x, x > 0, x ≠ 1. מצאו אסימפטוטות, נקודות חיתוך עם ציר ה-x ותחומי עלייה וירידה. ומהו תחום ההגדרה של h(x) = ln(g(x))?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. x → 0⁺: g → −∞ — אסימפטוטה x = 0; x → 1: 1/ln x → ±∞ — אסימפטוטה x = 1
   2. g = 0 → ln²x = 1 → x = e או x = 1/e
   3. g′ = f = (ln²x + 1)/(x·ln²x) > 0 בכל התחום — עולה בכל אחד מהקטעים
   4. h מוגדרת כש-g > 0: נסמן u = ln x, (u² − 1)/u > 0 → u > 1 או −1 < u < 0
   5. x > e או 1/e < x < 1

   תשובה: x = 0, x = 1; (e, 0), (1/e, 0); עולה ב-0 < x < 1 וב-x > 1; h: 1/e < x < 1 או x > e