דף נוסחאות מתמטיקה 5 יחידות

(a + b)² = a² + 2ab + b²

ריבוע של סכום

כשצריך לפתוח סוגריים בריבוע, ובכיוון ההפוך — כשמזהים שלושה איברים שאפשר לכווץ חזרה לריבוע.

(a − b)² = a² − 2ab + b²

ריבוע של הפרש

אותו דבר עם מינוס. הטעות הנפוצה: לשכוח שהאיבר האמצעי שלילי והאחרון חיובי.

a² − b² = (a − b)(a + b)

הפרש ריבועים

כשרואים חיסור של שני ריבועים — כמעט תמיד זה הצעד הראשון לפירוק, וזה מקצר פתרונות דרמטית.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

נוסחת השורשים

למשוואה ריבועית ax² + bx + c = 0 שלא מתפרקת בקלות. אם הביטוי מתחת לשורש שלילי — אין פתרון ממשי, וזו תשובה לגיטימית.

Δ = b² − 4ac

דיסקרימיננטה

כששואלים כמה פתרונות יש בלי לבקש אותם. Δ>0 שניים, Δ=0 אחד, Δ<0 אף אחד.

x₁ + x₂ = −b/a , x₁ · x₂ = c/a

משפט ויאטה

כשנתון סכום או מכפלת השורשים ומחפשים את המשוואה — או להפך. חוסך פתרון מלא.

aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ , aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ , (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ

חוקי חזקות

בכל מקום. שווה לזכור גם ש-a⁰ = 1 ו-a⁻ⁿ = 1/aⁿ, שם נופלים הכי הרבה.

logₐ(xy) = logₐx + logₐy , logₐ(x/y) = logₐx − logₐy , logₐ(xⁿ) = n·logₐx

חוקי לוגריתמים

כשהנעלם נמצא בחזקה. הרעיון: לוג הופך כפל לחיבור, ולכן מוציא את הנעלם מהמעריך.

aₙ = a₁ + (n − 1)d

איבר כללי — סדרה חשבונית

כשההפרש בין כל שני איברים קבוע. d הוא ההפרש הזה.

Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

סכום סדרה חשבונית

לסכום n האיברים הראשונים. אם aₙ לא נתון, מחשבים אותו קודם עם הנוסחה שמעל.

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

איבר כללי — סדרה הנדסית

כשהיחס בין כל שני איברים קבוע. q הוא היחס, ומוצאים אותו בחלוקת איבר באיבר שלפניו.

Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1)

סכום סדרה הנדסית

לסכום סופי, כש-q ≠ 1. אם q = 1 כל האיברים שווים והסכום פשוט n·a₁.

S = a₁/(1 − q) , |q| < 1

סכום סדרה הנדסית אינסופית

רק כשהיחס בין מינוס אחד לאחד — אחרת הסדרה מתבדרת ואין סכום. התנאי הזה הוא לרוב חלק מהשאלה.

sin α = מול/יתר , cos α = ליד/יתר , tan α = מול/ליד

הגדרות במשולש ישר זווית

רק במשולש עם זווית של 90°. במשולש אחר אלה לא נכונות.

sin²α + cos²α = 1

הזהות הטריגונומטרית היסודית

כשנתון אחד מהם ומחפשים את השני, וכשצריך לפשט ביטוי ארוך — היא הכלי הכי שימושי בטריגונומטריה.

a/sin A = b/sin B = c/sin C

משפט הסינוסים

כשנתונות שתי זוויות וצלע, או שתי צלעות וזווית שמול אחת מהן.

c² = a² + b² − 2ab·cos C

משפט הקוסינוסים

כשנתונות שלוש צלעות, או שתי צלעות והזווית שביניהן. בזווית של 90° הוא מתכווץ למשפט פיתגורס.

S = ½·a·b·sin C

שטח משולש לפי שתי צלעות וזווית

כששואלים שטח ואין גובה. הזווית חייבת להיות זו שבין שתי הצלעות.

sin 2α = 2·sin α·cos α , cos 2α = cos²α − sin²α

זהויות זווית כפולה

כשמופיעה זווית כפולה במשוואה ורוצים להביא הכול לאותה זווית.

a² + b² = c²

משפט פיתגורס

רק במשולש ישר זווית, ו-c היא תמיד היתר — הצלע מול הזווית הישרה.

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

מרחק בין שתי נקודות

למציאת אורך קטע במישור. זה בעצם פיתגורס על ההפרשים.

M = ((x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2)

אמצע קטע

כשמחפשים אמצע, וגם כשנתון האמצע ומחפשים קצה — פותרים לאחור.

m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

שיפוע ישר

כאשר x₁≠x₂. לישר אנכי אין שיפוע מוגדר: למשל דרך (2,0) ו-(2,3). בישרים שאינם אנכיים: מקבילים — שיפועים שווים; מאונכים בעלי שיפוע מוגדר — מכפלת השיפועים היא ‎−1.

(x − a)² + (y − b)² = r²

משוואת מעגל

מרכז ב-(a,b) ורדיוס r. אם המשוואה נתונה פתוחה, משלימים לריבוע כדי להגיע לצורה הזו.

(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹

נגזרת של חזקה

הנגזרת הבסיסית ביותר. הקבוע נגזר לאפס.

(f·g)' = f'·g + f·g'

נגזרת מכפלה

כשהפונקציה היא מכפלה של שני ביטויים שכל אחד תלוי ב-x.

(f/g)' = (f'·g − f·g') / g²

נגזרת מנה

לפונקציה רציונלית. שימו לב לסדר במונה — היפוך שלו הוא הטעות הנפוצה ביותר כאן.

f'(x) = 0

תנאי לנקודת קיצון

למציאת מקסימום ומינימום. אחרי שמוצאים, בודקים סימן משני צדדים כדי לדעת איזה מהם.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

אינטגרל של חזקה

תקף כאשר n≠−1 ובתחום שבו החזקה מוגדרת. כאשר n=−1 מקבלים ln|x|+C בתחום שאינו כולל אפס. אל תשכחו את C.

S = ∫ₐᵇ f(x) dx

שטח מתחת לגרף

לשטח גיאומטרי, כאשר a<b, מחשבים את האינטגרל של |f(x)|. אם הפונקציה מחליפה סימן, מפצלים בנקודות האפס ומחברים את הערכים המוחלטים של האינטגרלים. למשל f(x)=x בין ‎−1 ל-1: האינטגרל 0 אך השטח 1.

P(A) = מספר המקרים הרצויים / מספר המקרים האפשריים

הסתברות בסיסית

כשכל התוצאות שוות סיכוי. אם לא — צריך גישה אחרת.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

הסתברות לאיחוד

ל"או" — כשמספיק שאחד מהמאורעות יקרה. מחסרים את החיתוך כדי לא לספור אותו פעמיים.

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

הסתברות לחיתוך — מאורעות בלתי תלויים

ל"וגם", ורק כשמאורע אחד לא משפיע על השני. אם יש תלות — צריך הסתברות מותנית.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

הסתברות מותנית

כששואלים "בהינתן ש..." — כלומר כבר ידוע שמשהו קרה, וזה מצמצם את מרחב האפשרויות.

x̄ = Σx / n

ממוצע

סכום הערכים חלקי כמותם. שימו לב להבדל מחציון, שהוא הערך האמצעי.