שאלון 35581 — קיץ מועד א׳ 2026

12 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · בעיות מילוליות

   היישובים A, B, C על ישר אחד, ו-B באמצע AC. ב-9:00 יצאו מ-B הולך רגל (ל-A) ורוכב אופניים (ל-C), כל אחד במהירות קבועה. הרוכב הגיע ל-C וחזר מייד ל-B; כשהגיע ל-B, הולך הרגל עבר ⅔ מהדרך מ-B ל-A. פי כמה גדולה מהירות הרוכב ממהירות הולך הרגל?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן BA = BC = d
   2. הרוכב עבר 2d, באותו זמן הולך הרגל עבר ⅔d
   3. יחס המהירויות = 2d/(⅔d) = 3

   תשובה: פי 3

2. שאלה 2 · בעיות מילוליות

   היישובים A, B, C על ישר אחד, ו-B באמצע AC. ב-9:00 יצאו מ-B הולך רגל (ל-A) ורוכב אופניים (ל-C), כל אחד במהירות קבועה. הרוכב הגיע ל-C וחזר מייד ל-B; כשהגיע ל-B, הולך הרגל עבר ⅔ מהדרך מ-B ל-A. נתון ש-AC = 2.1v (v — מהירות הולך הרגל). למחרת יצאו שניהם מ-C ל-A: הרוכב לאט ב-1 קמ"ש מאתמול (3v − 1), והולך הרגל מהר ב-2 קמ"ש (v + 2). הרוכב הגיע ל-A 45 דקות לפני הולך הרגל. מצאו את AC.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. 2.1v/(v + 2) − 2.1v/(3v − 1) = 0.75
   2. v = 5 (הפתרון v ≈ 0.15 נפסל: 3v − 1 < 0)
   3. AC = 2.1·5 = 10.5

   תשובה: 10.5 ק"מ

3. שאלה 3 · סדרות

   aₙ סדרה הנדסית אין-סופית עולה עם מנה q, bₙ סדרה הנדסית אין-סופית עולה עם מנה 2q, ו-cₙ = aₙ·bₙ. נתון a₁ = b₁ ו-c₁ = 8c₂. הוכיחו ש-cₙ הנדסית, מצאו את q, וקבעו את הסימן של a₁ ואם cₙ עולה או יורדת.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. cₙ₊₁/cₙ = (aₙq)(bₙ·2q)/(aₙbₙ) = 2q² — קבוע
   2. c₂/c₁ = 1/8 = 2q² → q² = 1/16 → q = ¼ (q > 0)
   3. aₙ עולה עם 0 < q < 1 → a₁ < 0
   4. c₁ = a₁² > 0, מנה 1/8 → cₙ יורדת

   תשובה: מנה 2q²; q = ¼; a₁ שלילי; cₙ יורדת

4. שאלה 4 · הסתברות

   בשק א' 10 כדורים — 4 רכים והשאר קשים. בשק ב' 12 כדורים — x רכים והשאר קשים. גלית בוחרת שק באקראי ומוציאה ממנו שני כדורים עם החזרה. ההסתברות לשני כדורים רכים היא 41/200. מצאו את x, ואם ידוע שגלית הוציאה שני כדורים מאותו סוג — מה ההסתברות שהיו משק א'?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. ½·0.4² + ½·(x/12)² = 41/200 → 0.08 + x²/288 = 0.205 → x = 6
   2. אותו סוג בשק א': 0.4² + 0.6² = 0.52; בשק ב': 0.5² + 0.5² = 0.5
   3. P = 0.26/(0.26 + 0.25) = 26/51

   תשובה: x = 6; 26/51

5. שאלה 5 · הסתברות

   בשק א' 10 כדורים — 4 רכים והשאר קשים. בשק ב' 12 כדורים — x רכים והשאר קשים. גלית בוחרת שק באקראי ומוציאה ממנו שני כדורים עם החזרה. ההסתברות לשני כדורים רכים היא 41/200. x = 6. גלית חוזרת על התהליך 4 פעמים. מה ההסתברות שבדיוק בשתיים מהפעמים הוציאה רק כדורים קשים? ומה ההסתברות שבשתיים רק קשים ובשתיים רק רכים?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(שני קשים) = ½·0.36 + ½·0.25 = 0.305
   2. בדיוק 2 מתוך 4: C(4,2)·0.305²·0.695² ≈ 0.2696
   3. P(שני רכים) = 0.205
   4. 2 קשים ו-2 רכים: 6·0.305²·0.205² ≈ 0.02346

   תשובה: ≈ 0.2696; ≈ 0.02346

6. שאלה 6 · טריגונומטריה

   בטרפז ABCD (AB ∥ DC): AB = BC = k, ∢BAC = α (0° < α < 90°). הראו ש-AC = 2k·cosα. נתון AD = 1.2k ו-DC = 2k — מצאו את α ואת הזווית ADC.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. משולש ABC שווה שוקיים → AC = 2k·cosα
   2. ∢ACD = α (מתחלפות)
   3. משפט הקוסינוסים ב-ACD: 1.44k² = 4k²cos²α + 4k² − 8k²cos²α → sin²α = 0.36
   4. α ≈ 36.87°; sin∢ADC = AC·sinα/AD = 2·0.8·0.6/1.2 = 0.8 → 53.13°

   תשובה: α ≈ 36.87°; ∢ADC ≈ 53.13°

7. שאלה 7 · טריגונומטריה

   בטרפז ABCD (AB ∥ DC): AB = BC = k, ∢BAC = α (0° < α < 90°). α ≈ 36.87°, ∢ADC ≈ 53.13°, DC = 2k. המשכי DA ו-CB נפגשים ב-E, ורדיוס המעגל החסום במשולש EDC הוא 14. מצאו את k.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. ∢DCE = 2α ≈ 73.74°, ∢E = 180° − 53.13° − 73.74° = 53.13° — שווה שוקיים: CE = DC = 2k
   2. DE = 2·2k·cos53.13° = 2.4k
   3. S = ½·2k·2k·sin73.74° = 1.92k²; s = 3.2k
   4. r = S/s = 0.6k = 14 → k ≈ 23.33

   תשובה: k ≈ 23.33

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = ax/(x − 3)², x ≠ 3, כאשר a > 0. מצאו אסימפטוטות ונקודת קיצון (באמצעות a). g(x) = f(x) + 0.5 נוגעת בציר ה-x בנקודה אחת בדיוק — מצאו את a.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. אסימפטוטות: x = 3, y = 0
   2. f′ = −a(x + 3)/(x − 3)³ = 0 → x = −3, f(−3) = −a/12 — מינימום
   3. g מינימלית ב-(−3, 0.5 − a/12)
   4. נקודה משותפת אחת: 0.5 − a/12 = 0 → a = 6

   תשובה: x = 3, y = 0; מינימום (−3, −a/12); a = 6

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = ax/(x − 3)², x ≠ 3, כאשר a > 0. a = 6, g(x) = f(x) + 0.5 (g ≥ 0, g(−3) = 0), ו-h(x) = g(x)·g′(x). מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של h, ואת השטח בין h לציר ה-x ב-−9 ≤ x ≤ 0.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. g ≥ 0, לכן הסימן של h הוא הסימן של g′
   2. g′ > 0 ב-−3 < x < 3
   3. h = g·g′ = (g²/2)′
   4. g(−9) = 0.125, g(−3) = 0, g(0) = 0.5
   5. S = 0.125²/2 + 0.5²/2 = 17/128

   תשובה: חיובית ב-−3 < x < 3, שלילית ב-x < −3 וב-x > 3; 17/128

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונים הפונקצייה f(x) = 2√(x² − 1) והישר y = 3x − 3. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הישר. A(t, f(t)) על הגרף בין נקודות החיתוך; B על הישר מתחת ל-A (אותו x), ו-C על הישר באותו גובה כמו A. הביעו את AB ואת AC.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. x² − 1 ≥ 0
    2. 4x² − 4 = (3x − 3)² → 5x² − 18x + 13 = 0 → x = 1, 2.6
    3. AB = f(t) − (3t − 3)
    4. C: 3x − 3 = 2√(t² − 1) → x_C = 1 + ⅔√(t² − 1); AC = x_C − t

    תשובה: x ≤ −1 או x ≥ 1; (1, 0), (2.6, 4.8); AB = 2√(t² − 1) − 3t + 3; AC = 1 + ⅔√(t² − 1) − t

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונים הפונקצייה f(x) = 2√(x² − 1) והישר y = 3x − 3. AB + AC = (8/3)√(t² − 1) − 4t + 4 עבור 1 < t < 2.6. מצאו את t שבעבורו הסכום מקסימלי.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזרת: (8/3)·t/√(t² − 1) − 4 = 0
    2. 8t = 12√(t² − 1) → 64t² = 144t² − 144
    3. t² = 1.8 → t = 3/√5 ≈ 1.3416 — מקסימום

    תשובה: t = 3/√5 ≈ 1.3416

12. שאלה 12 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = (cos x + 1)·(b·cos x − 1), המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π. b הוא פרמטר, ונתון 0 < b < 1. א. האם הפונקצייה f(x) היא זוגית או אי-זוגית? נמקו את תשובתכם. ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה-x. נתון כי לפונקצייה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = π/3. ג. מצאו את הערך של b. הציבו b = ½ בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ד–ה. ד. (1) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן. (2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x). נתונה הפונקצייה h(x) = f(x) + |f(x)|, המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π. הנקודה A היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקצייה h(x). ה. האם שיעור ה-y של הנקודה A הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. א. cos(−x) = cos x, ולכן f(−x) = f(x) — הפונקצייה זוגית.
    2. ב. f(x) = 0 ⇔ cos x = −1 או cos x = 1/b.
    3. 0 < b < 1 ⇒ 1/b > 1, ולמשוואה cos x = 1/b אין פתרון. cos x = −1 בתחום ⇔ x = ±π. נקודות החיתוך: (−π, 0) ו-(π, 0).
    4. ג. f'(x) = −sin x·(b·cos x − 1) + (cos x + 1)·(−b·sin x) = −sin x·(2b·cos x + b − 1).
    5. ב-x = π/3: sin(π/3) ≠ 0, ולכן 2b·½ + b − 1 = 0 ⇒ 2b = 1 ⇒ b = ½.
    6. ד(1). עם b = ½: f'(x) = −sin x·(cos x − ½). נקודות חשודות: sin x = 0 ⇒ x = 0, ±π; cos x = ½ ⇒ x = ±π/3.
    7. f(0) = 2·(−½) = −1; f(±π/3) = 1.5·(−0.75) = −1.125; f(±π) = 0.
    8. בין 0 ל-π/3: sin x > 0 ו-cos x > ½ ⇒ f' < 0 (יורדת). בין π/3 ל-π: cos x < ½ ⇒ f' > 0 (עולה). מן הזוגיות — תמונת ראי בצד השלילי.
    9. לכן (±π/3, −1.125) נקודות מינימום, (0, −1) מקסימום, ו-(±π, 0) מקסימום (נקודות קצה).
    10. ד(2). הגרף סימטרי לציר ה-y: מ-(−π, 0) יורד למינימום (−π/3, −1.125), עולה למקסימום (0, −1), יורד ל-(π/3, −1.125) ועולה ל-(π, 0).
    11. ה. cos x + 1 ≥ 0 ו-½cos x − 1 < 0 לכל x, ולכן f(x) ≤ 0 בכל התחום.
    12. כאשר f ≤ 0: |f| = −f, ולכן h(x) = f(x) − f(x) = 0 לכל x.
    13. שיעור ה-y של הנקודה A שווה אפס.

    תשובה: א. זוגית; ב. (−π, 0), (π, 0); ג. b = ½; ד. מינימום (±π/3, −1.125), מקסימום (0, −1) ו-(±π, 0); ה. שווה אפס — h(x) = 0 לכל x