שאלון 35581 — חורף 2026

14 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · בעיות מילוליות

   חנן וניר הלכו מיישוב א' ליישוב ב' באותו מסלול. חנן יצא ב-8:00 והלך במהירות v קמ"ש. ניר יצא ב-8:30 והלך במהירות v + 2 קמ"ש. הם נפגשו בדרך, וניר הגיע ליישוב ב' שעה ו-40 דקות אחרי הפגישה. הראו שהמרחק בין היישובים הוא v²/4 + 13v/6 + 10/3. חנן הגיע ליישוב ב' ב-12:00, והמרחק גדול מ-15 ק"מ — מצאו את v.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן ב-t את זמן הפגישה (שעות מ-8:00): vt = (v + 2)(t − 0.5) → t = v/4 + 0.5
   2. מקום הפגישה: vt = v²/4 + v/2
   3. המרחק: v²/4 + v/2 + (v + 2)·(5/3) = v²/4 + 13v/6 + 10/3
   4. חנן הלך 4 שעות: v²/4 + 13v/6 + 10/3 = 4v → 3v² − 22v + 40 = 0
   5. v = 4 או v = 10/3; המרחק 4v > 15 → v > 3.75 → v = 4

   תשובה: v = 4 קמ"ש (מרחק 16 ק"מ)

2. שאלה 2 · בעיות מילוליות

   חנן וניר הלכו מיישוב א' ליישוב ב' באותו מסלול. חנן יצא ב-8:00 והלך במהירות v קמ"ש. ניר יצא ב-8:30 והלך במהירות v + 2 קמ"ש. הם נפגשו בדרך, וניר הגיע ליישוב ב' שעה ו-40 דקות אחרי הפגישה. v = 4 והמרחק 16 ק"מ. ניר יצא מיד חזרה לכיוון יישוב א' באותה המהירות. מה היה מרחקו מיישוב א' כשחנן הגיע ליישוב ב' (ב-12:00)?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. הפגישה: t = 4/4 + 0.5 = 1.5 שעות (9:30)
   2. ניר הגיע לב' אחרי 5/3 שעה נוספות: ב-11:10
   3. מ-11:10 עד 12:00 (5/6 שעה) הלך 6 · 5/6 = 5 ק"מ חזרה
   4. המרחק מא': 16 − 5 = 11 ק"מ

   תשובה: 11 ק"מ

3. שאלה 3 · סדרות

   a_n סדרה הנדסית אין-סופית עם מנה q ≠ 1 ואיברים שונים מ-0, ו-b_n = n · (a_(n+2) − a_(n+1)) / a_n + a₁ לכל n טבעי. הוכיחו ש-b_n חשבונית עם הפרש q² − q. ובהינתן ש-b_n יורדת ו-a₁ > 0 — האם a_n עולה, יורדת או אף אחד מהם?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. (a_(n+2) − a_(n+1))/a_n = q² − q (קבוע)
   2. b_n = (q² − q)·n + a₁ — ביטוי לינארי ב-n, לכן חשבונית עם הפרש q² − q
   3. b_n יורדת → q² − q < 0 → 0 < q < 1
   4. a₁ > 0 ו-0 < q < 1 → כל איבר קטן מקודמו: a_n יורדת

   תשובה: הפרש q² − q; a_n יורדת

4. שאלה 4 · סדרות

   a_n סדרה הנדסית אין-סופית עם מנה q ≠ 1 ואיברים שונים מ-0, ו-b_n = n · (a_(n+2) − a_(n+1)) / a_n + a₁ לכל n טבעי. 0 < q < 1, a₁ > 0, וסכום הסדרה a_n הוא 128. הביעו את a₁ ואת b₁ באמצעות q, ובהינתן שסכום 7 האיברים הראשונים של b_n הוא 441, מצאו את q.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. a₁/(1 − q) = 128 → a₁ = 128(1 − q)
   2. b₁ = (q² − q) + a₁ = q² − 129q + 128
   3. S₇ = 7/2 · (2b₁ + 6d) = 7(b₁ + 3d) = 441 → b₁ + 3d = 63
   4. q² − 129q + 128 + 3q² − 3q = 63 → 4q² − 132q + 65 = 0
   5. q = ½ או q = 32.5; מאחר ש-0 < q < 1: q = ½

   תשובה: a₁ = 128(1 − q); b₁ = q² − 129q + 128; q = ½

5. שאלה 5 · הסתברות

   בשכבת י"א: חצי מבעלי רישיון הנהיגה הם מדריכים בתנועת נוער. אחוז המדריכים מבין בעלי הרישיון שווה לאחוז חסרי הרישיון מבין המדריכים. ההסתברות שתלמיד אקראי הוא מדריך או בעל רישיון היא 0.45. מצאו את אחוז המדריכים, ואת ההסתברות שתלמיד ללא רישיון הוא מדריך.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(מ | ר) = 0.5, והנתון: P(מ | ר) = P(ר̄ | מ) → P(ר | מ) = 0.5
   2. P(מ ∩ ר) = 0.5·P(ר) = 0.5·P(מ) → P(מ) = P(ר) = p
   3. P(מ ∪ ר) = p + p − 0.5p = 1.5p = 0.45 → p = 0.3 = 30%
   4. P(מ ∩ ר̄) = 0.3 − 0.15 = 0.15; P(ר̄) = 0.7
   5. P(מ | ר̄) = 0.15/0.7 = 3/14

   תשובה: 30%; 3/14

6. שאלה 6 · הסתברות

   ההסתברות שתלמיד ללא רישיון הוא מדריך היא 3/14. בוחרים באקראי 5 תלמידים ללא רישיון. מהי ההסתברות שנבחר יותר ממדריך אחד? וידוע שנבחר יותר ממדריך אחד — מהי ההסתברות שמספר המדריכים זוגי?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. בינומית: n = 5, p = 3/14
   2. P(X > 1) = 1 − P(0) − P(1) = 1 − (11/14)⁵ − 5·(3/14)·(11/14)⁴ ≈ 0.292
   3. "זוגי" בתוך X > 1: X = 2 או X = 4
   4. P(2) ≈ 0.2227, P(4) ≈ 0.0083
   5. P(זוגי | X > 1) = (0.2227 + 0.0083)/0.292 ≈ 0.791

   תשובה: ≈ 0.292; ≈ 0.791

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = √(5x² − kx) / x³, k > 0. מצאו את תחום ההגדרה. f(x) = 0 רק בנקודה אחת שבה x = 1.6 (נקודת החיתוך של f עם −f) — מצאו את k.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. 5x² − kx ≥ 0 ו-x ≠ 0 → x(5x − k) ≥ 0
   2. x < 0 או x ≥ k/5
   3. f = −f ⇔ f = 0 ⇔ 5x² = kx → x = k/5
   4. k/5 = 1.6 → k = 8

   תשובה: x < 0 או x ≥ k/5; k = 8

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = √(5x² − 8x) / x³, בתחום x < 0 או x ≥ 1.6. מצאו אסימפטוטות ונקודות קיצון.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. x → 0⁻: f → ∞ (מונה → 0 לאט יותר) — אסימפטוטה x = 0; x → ±∞: f → 0 — y = 0
   2. f′(x) = (−20x² + 40x) / (2√(5x² − 8x) · x⁴)
   3. f′ = 0 → x = 2 (x = 0 לא בתחום)
   4. f(2) = √4/8 = ¼ — מקסימום; (1.6, 0) — מינימום בקצה התחום
   5. ב-x < 0: f′ < 0, אין קיצון

   תשובה: x = 0, y = 0; מקסימום (2, ¼), מינימום (1.6, 0)

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   f(x) = √(5x² − 8x)/x³ עם מקסימום (2, ¼), ו-g(x) = (f(x))². (1) a > 2: האם ∫ₐ^(a+1) g dx גדול, קטן או שווה ל-∫ₐ^(a+1) f dx? (2) חשבו את השטח מתחת ל-g בין x = 2 ל-x = 6.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. ב-x > 2: 0 < f(x) ≤ ¼ < 1, ולכן g = f² < f
   2. האינטגרל של g קטן מזה של f
   3. g(x) = (5x² − 8x)/x⁶ = 5x⁻⁴ − 8x⁻⁵
   4. ∫₂⁶ g dx = [−5/(3x³) + 2/x⁴]₂⁶ = 25/324 ≈ 0.0772

   תשובה: קטן; 25/324 ≈ 0.0772

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = sin²x + cos x − 1 בתחום −π ≤ x ≤ π. הוכיחו שהפונקצייה זוגית, ומצאו נקודות חיתוך עם ציר ה-x ונקודות קיצון.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. sin²(−x) = sin²x, cos(−x) = cos x → f(−x) = f(x)
    2. f = 1 − cos²x + cos x − 1 = cos x(1 − cos x)
    3. f = 0 → cos x = 0 או cos x = 1 → x = ±π/2, 0
    4. f′ = −sin x(1 − 2cos x) = 0 → x = 0, ±π, ±π/3
    5. f(±π/3) = ¼ מקסימום; f(0) = 0 מינימום; f(±π) = −2 מינימום (קצה)

    תשובה: זוגית; (0,0), (±π/2, 0); מינימום (0,0), (±π, −2); מקסימום (±π/3, ¼)

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = sin²x + cos x − 1 בתחום −π ≤ x ≤ π. (f(x) = cos x(1 − cos x), מקסימום ¼ ב-±π/3, מינימום −2 ב-±π). g(x) = 1/(f(x) + b) עם בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות. כתבו ערך חיובי וערך שלילי אפשריים של b.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. אסימפטוטות אנכיות בדיוק כש-f(x) = −b
    2. b = −¼: f = ¼ רק ב-x = ±π/3 (המקסימום) — שתי אסימפטוטות
    3. b = 1: f = −1 → cos²x − cos x − 1 = 0 → cos x = (1 − √5)/2 — שני פתרונות בתחום

    תשובה: למשל b = 1 ו-b = −¼

12. שאלה 12 · חשבון דיפרנציאלי

    g(x) = 1/(f(x) − ¼), כש-f(x) = sin²x + cos x − 1 בתחום −π ≤ x ≤ π. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות הקיצון של g.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(x) = ¼ רק ב-x = ±π/3 → התחום: −π ≤ x ≤ π, x ≠ ±π/3
    2. g′ = −f′/(f − ¼)², מתאפסת כש-f′ = 0: x = 0, ±π
    3. f ≤ ¼, לכן f − ¼ ≤ 0 ו-g שלילית
    4. x = 0: g = 1/(−¼) = −4; x = ±π: g = 1/(−2.25) = −4/9
    5. בשתיהן f במינימום → f − ¼ הכי שלילי → g במקסימום

    תשובה: x ≠ ±π/3; מקסימום (0, −4), (±π, −4/9)

13. שאלה 13 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = kx³ − 3x² + 8kx, k ≠ 0. A היא נקודת הפיתול של f. הביעו את A באמצעות k, ומצאו את תחום הערכים של k שבו A ברביע הראשון.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. f″(x) = 6kx − 6 = 0 → x = 1/k
    2. f(1/k) = 1/k² − 3/k² + 8 = 8 − 2/k²
    3. x > 0 → k > 0; y > 0 → k² > ¼
    4. k > ½

    תשובה: A(1/k, 8 − 2/k²); k > ½

14. שאלה 14 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = kx³ − 3x² + 8kx, k ≠ 0. A היא נקודת הפיתול של f. A(1/k, 8 − 2/k²), k > ½. B עקב האנך מ-A לציר ה-x ו-C עקב האנך לציר ה-y. ריבוע I בצלע AB וריבוע II בצלע AC. מצאו את k שבעבורו סכום השטחים מינימלי.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. AB = 8 − 2/k², AC = 1/k
    2. S = (8 − 2/k²)² + 1/k²; נסמן u = 1/k² (0 < u < 4)
    3. S(u) = 4u² − 31u + 64 — פרבולה, מינימום ב-u = 31/8
    4. 31/8 < 4 ✓ → k² = 8/31 → k = √(8/31)

    תשובה: k = √(8/31)