שאלון 35581 — קיץ מועד ב׳ 2026

13 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   aₙ סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שכל איבריה חיוביים, ומנתה q. bₙ = aₙ + aₙ₊₁ + aₙ₊₂ לכל n טבעי. איזו טענה נכונה: −1 < q < 0, 0 < q < 1, או q > 1? הוכיחו ש-bₙ הנדסית עם מנה q, ובהינתן שסכום bₙ גדול פי 1.96 מסכום aₙ, מצאו את q.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. איברים חיוביים → q > 0; יורדת → q < 1
   2. bₙ₊₁ / bₙ = q(aₙ + aₙ₊₁ + aₙ₊₂)/(aₙ + aₙ₊₁ + aₙ₊₂) = q
   3. bₙ = aₙ(1 + q + q²), לכן Σbₙ = (1 + q + q²)Σaₙ
   4. 1 + q + q² = 1.96 → q² + q − 0.96 = 0 → q = 0.6

   תשובה: 0 < q < 1; q = 0.6

2. שאלה 2 · סדרות

   aₙ סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שכל איבריה חיוביים, ומנתה q. bₙ = aₙ + aₙ₊₁ + aₙ₊₂ לכל n טבעי. q = 0.6, ו-cₙ = bₙ/(4aₙ). סכום k האיברים הראשונים של cₙ הוא 34.79. הוכיחו ש-cₙ קבועה, מצאו את k, ומצאו את סכום k האיברים אחרי החלפת הסימן של כל איבר במקום זוגי.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. cₙ = aₙ(1 + q + q²)/(4aₙ) = 1.96/4 = 0.49 — קבועה
   2. 0.49k = 34.79 → k = 71
   3. אחרי החלפה: +0.49 − 0.49 + ... — 35 זוגות מתבטלים
   4. 71 אי-זוגי: נשאר איבר אחרון +0.49

   תשובה: cₙ = 0.49; k = 71; הסכום אחרי ההחלפה 0.49

3. שאלה 3 · הסתברות

   כדי להתקבל לעבודה עוברים מבחן א', מבחן ב' וריאיון, בזה אחר זה (רק מי שעבר שלב ממשיך). P(עובר מבחן א') = p. ההסתברות שמי שעבר את א' יעבור את ב' היא 2p. ההסתברות להתקבל גדולה פי 3 מההסתברות לעבור את שני המבחנים ולא לעבור את הריאיון. מצאו את ההסתברות שמי שעבר את שני המבחנים יעבור את הריאיון. ובהינתן ש-94% לא מתקבלים, מצאו את p.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן x = P(עובר ריאיון | עבר את שני המבחנים)
   2. P(מתקבל) = P(שני מבחנים)·x, P(נכשל בריאיון) = P(שני מבחנים)·(1 − x)
   3. x = 3(1 − x) → x = 0.75
   4. P(מתקבל) = p · 2p · 0.75 = 1.5p² = 0.06 → p = 0.2

   תשובה: 0.75; p = 0.2

4. שאלה 4 · הסתברות

   כדי להתקבל לעבודה עוברים מבחן א', מבחן ב' וריאיון, בזה אחר זה (רק מי שעבר שלב ממשיך). P(עובר מבחן א') = p. ההסתברות שמי שעבר את א' יעבור את ב' היא 2p. ההסתברות להתקבל גדולה פי 3 מההסתברות לעבור את שני המבחנים ולא לעבור את הריאיון. p = 0.2, ו-94% לא מתקבלים. מועמד לא התקבל — מה ההסתברות שעבר את מבחן א'? ובוחרים 5 מבין אלה שלא התקבלו — מה ההסתברות שלפחות שניים עברו את מבחן א'?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(עבר א' ולא התקבל) = 0.2 − 0.06 = 0.14
   2. P(עבר א' | לא התקבל) = 0.14/0.94 = 7/47
   3. בינומית n = 5, p = 7/47
   4. P(X ≥ 2) = 1 − (40/47)⁵ − 5·(7/47)·(40/47)⁴ ≈ 0.1628

   תשובה: 7/47; ≈ 0.1628

5. שאלה 5 · טריגונומטריה

   משולש שווה שוקיים ABC (AB = AC), זווית הבסיס α (30° < α < 90°). E על הבסיס BC כך ש-BE = 3·EC, ונסמן EC = k. ED ⊥ AC (D על AC), EM ⊥ AB (M על AB). הביעו את DE ו-ME באמצעות k ו-α. סכום שטחי המשולשים CED ו-BEM הוא 1.6k² — מצאו את α.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. במשולש CED (ישר זווית ב-D): DE = EC·sin∢C = k·sinα
   2. במשולש BEM: ME = BE·sin∢B = 3k·sinα
   3. שטחים: ½k²sinα·cosα + ½·9k²sinα·cosα = 5k²sinα·cosα = 2.5k²sin2α
   4. 2.5sin2α = 1.6 → sin2α = 0.64 → 2α ≈ 140.21° (כי 30° < α < 90°)
   5. α ≈ 70.105°

   תשובה: DE = k·sinα; ME = 3k·sinα; α ≈ 70.105°

6. שאלה 6 · טריגונומטריה

   משולש שווה שוקיים ABC (AB = AC), זווית הבסיס α (30° < α < 90°). E על הבסיס BC כך ש-BE = 3·EC, ונסמן EC = k. ED ⊥ AC (D על AC), EM ⊥ AB (M על AB). α ≈ 70.105°. רדיוס המעגל החוסם את המשולש AED הוא 29. מצאו את k.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. ∢ADE = 90°, לכן AE קוטר: AE = 58
   2. BC = 4k; H אמצע BC: BH = 2k, HE = 3k − 2k = k
   3. AH = 2k·tanα; AE² = (2k·tanα)² + k²
   4. k² = 58²/(4tan²α + 1) ≈ 106.6 → k ≈ 10.32 (עיגול: 10.33)

   תשובה: k ≈ 10.32

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = 6(x − 1)² / (x² + a), a > 0. מצאו תחום, אסימפטוטות, נקודות קיצון (באמצעות a), ואת a בהינתן ששיעור ה-y של המקסימום הוא 7.5.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. x² + a > 0 תמיד — מוגדרת לכל x
   2. x → ±∞: f → 6 — אסימפטוטה y = 6
   3. f′ = 12(x − 1)(x + a)/(x² + a)²
   4. x = 1: f = 0 — מינימום; x = −a: f = 6(a + 1)²/(a² + a) = 6(a + 1)/a — מקסימום
   5. 6(a + 1)/a = 7.5 → a = 4

   תשובה: כל x; y = 6; מקסימום (−a, 6(a+1)/a), מינימום (1, 0); a = 4

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   f(x) = 6(x − 1)²/(x² + 4), עם מקסימום (−4, 7.5) ומינימום (1, 0), ו-g(x) = −f′(x)/(f(x))². מצאו את תחום g, את תחומי החיוביות והשליליות, ואת השטח בין g לציר ה-x ב-−4 ≤ x ≤ 0.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f(1) = 0 — g לא מוגדרת ב-x = 1
   2. g = −f′/f², והסימן הפוך לסימן f′
   3. f′ < 0 ב-(−4, 1) → g > 0; f′ > 0 ב-x < −4 ו-x > 1 → g < 0
   4. g = (1/f)′: S = 1/f(0) − 1/f(−4) = 1/1.5 − 1/7.5 = 8/15

   תשובה: x ≠ 1; חיובית ב-−4 < x < 1, שלילית ב-x < −4 ו-x > 1; 8/15

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה f(x) = sin²x·cos(2x) בתחום −π/4 ≤ x ≤ π/4. הוכיחו שהיא זוגית, ומצאו את נקודות הקיצון וסוגן.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. sin²(−x) = sin²x, cos(−2x) = cos2x — זוגית
   2. f′ = sin2x·cos2x − 2sin²x·sin2x = sin2x(cos2x − 2sin²x) = sin2x(1 − 4sin²x)
   3. f′ = 0: x = 0, או sin x = ±½ → x = ±π/6
   4. f(±π/6) = ¼ · ½ = 1/8 — מקסימום; f(0) = f(±π/4) = 0 — מינימום (f ≥ 0 בתחום)

   תשובה: זוגית; מינימום (0, 0), (±π/4, 0); מקסימום (±π/6, 1/8)

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונים f(x) = (4x − 2)³ והישר y = 3x + b, b > 0. A על גרף f, משמאל לנקודת החיתוך עם הישר, ו-B על הישר כך ש-AB ∥ ציר ה-x. t שיעור ה-x של A, ו-0 ≤ t ≤ 0.7. הביעו את x_B, ומצאו את t שבעבורו AB מינימלי ואת t שבעבורו AB מקסימלי.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. 3x_B + b = (4t − 2)³ → x_B = ((4t − 2)³ − b)/3
    2. A משמאל לחיתוך: AB = t − x_B
    3. (AB)′ = 1 − 4(4t − 2)² = 0 → 4t − 2 = ±½ → t = 3/8 או 5/8
    4. (AB)″ = −32(4t − 2): ב-t = 3/8 חיובית — מינימום
    5. השוואת קצוות: AB(0) = (8 + b)/3 — הגדול ביותר → מקסימום ב-t = 0

    תשובה: x_B = ((4t − 2)³ − b)/3; מינימום ב-t = 3/8; מקסימום ב-t = 0

11. שאלה 11 · בעיות מילוליות

    ביום ראשון יצאו מעיר A לעיר B שתי מכוניות באותו כביש: מכונית א' ב-8:00 במהירות v קמ"ש, ומכונית ב' ב-8:27 במהירות mv קמ"ש, ושתיהן הגיעו ל-B באותה שעה. איזה ביטוי מייצג את אורך הכביש: I. 0.45mv/(m − 1) II. 1.45mv/(m + 1) III. 0.55mv/(m − 1)? נמקו.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. נסמן t — זמן הנסיעה של מכונית א'
    2. מכונית ב' נסעה t − 0.45 שעות (27 דקות = 0.45 שעה)
    3. vt = mv(t − 0.45) → t = 0.45m/(m − 1)
    4. אורך הכביש: vt = 0.45mv/(m − 1)

    תשובה: I: 0.45mv/(m − 1)

12. שאלה 12 · בעיות מילוליות

    ביום ראשון יצאו מעיר A לעיר B שתי מכוניות באותו כביש: מכונית א' ב-8:00 במהירות v קמ"ש, ומכונית ב' ב-8:27 במהירות mv קמ"ש, ושתיהן הגיעו ל-B באותה שעה. ביום שני ב-8:00 יצאה מכונית א' מ-B ל-A ומכונית ב' מ-A ל-B, באותן מהירויות. אחרי 45 דקות המרחק ביניהן היה 36 ק"מ, והן נפגשו ב-9:00. מצאו את m ואת אורך הכביש.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפגשו אחרי שעה: אורך הכביש = v + mv
    2. ברבע השעה האחרונה סגרו 36 ק"מ: 0.25(v + mv) = 36 → v(1 + m) = 144
    3. 144 = 0.45mv/(m − 1) ו-v = 144/(1 + m) → m² − 1 = 0.45m
    4. m² − 0.45m − 1 = 0 → m = 1.25 (v = 64, mv = 80)

    תשובה: m = 1.25; 144 ק"מ

13. שאלה 13 · בעיות מילוליות

    ביום ראשון יצאו מעיר A לעיר B שתי מכוניות באותו כביש: מכונית א' ב-8:00 במהירות v קמ"ש, ומכונית ב' ב-8:27 במהירות mv קמ"ש, ושתיהן הגיעו ל-B באותה שעה. ביום שני: v = 64, mv = 80, אורך הכביש 144 ק"מ, והמכוניות נפגשו ב-9:00. מייד אחרי הפגישה מכונית א' עצרה לשעה וחצי ואז המשיכה ל-A; מכונית ב' המשיכה ל-B וחזרה מייד ל-A. מתי נפגשו בפעם השנייה?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. ב-9:00 שתיהן 80 ק"מ מ-A
    2. מכונית ב' מגיעה ל-B אחרי 64/80 שעה — ב-9:48 — ומסתובבת
    3. מכונית א' יוצאת ב-10:30; מיקומה מ-A: 80 − 64(t − 10.5)
    4. מכונית ב': 144 − 80(t − 9.8)
    5. 80 − 64(t − 10.5) = 144 − 80(t − 9.8) → 16t = 176 → t = 11 — 11:00 (48 ק"מ מ-A)

    תשובה: ב-11:00