מורה מתמטיקה AI
דילוג לתוכן הראשי

שאלון 35572 — קיץ מועד א׳ 2023

22 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

לתרגל מבחן מלא בזמן אמתלשאול את נועה על שאלה

  1. שאלה 1 · גיאומטריה אנליטית

    נתונה האליפסה x²/144 + y²/(144 − 4k²) = 1, כאשר 0 < k < 6. מצאו את שיעורי שני המוקדים שלה.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. 0 < k < 6 גורר 4k² < 144, ולכן 144 > 144 − 4k²
    2. כלומר a² = 144 גדול מ-b², והצירים על ציר ה-x
    3. באליפסה קנונית: a² − b² = c²
    4. c² = 144 − (144 − 4k²) = 4k²
    5. c = 2k
    6. המוקדים: F₁(2k , 0) ו-F₂(−2k , 0)

    תשובה: F₁(2k , 0) ו-F₂(−2k , 0)

  2. שאלה 2 · גיאומטריה אנליטית

    נתונה פרבולה קנונית y² = 2px שמוקדה נמצא בנקודה (2k , 0). מצאו את משוואת המדריך שלה.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. בפרבולה קנונית המוקד נמצא ב-(p/2 , 0) והמדריך הוא x = −p/2
    2. p/2 = 2k → p = 4k
    3. המדריך: x = −p/2 = −2k

    תשובה: x = −2k

  3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

    הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על פרבולה קנונית שמוקדה (2k , 0) ומדריכה x = −2k. נתון AF₁ = 10k. מצאו את משוואת הפרבולה ואת שיעורי A.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. לפי הגדרת הפרבולה, המרחק מהמוקד שווה למרחק מהמדריך
    2. AF₁ = x_A + 2k = 10k → x_A = 8k
    3. p = 4k, ולכן משוואת הפרבולה: y² = 2·4k·x = 8kx
    4. נציב x = 8k: y² = 8k · 8k = 64k²
    5. y = 8k (ברביע הראשון)
    6. A(8k , 8k)

    תשובה: y² = 8kx ו-A(8k , 8k)

  4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

    נתונים A(8k , 8k) ו-F₁(2k , 0), והקטע AF₁ הוא קוטר במעגל. הישר 5x + 12y = 138 משיק למעגל זה. מצאו את k, בהינתן 0 < k < 6.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: M((8k+2k)/2 , (8k+0)/2) = M(5k , 4k)
    2. הרדיוס: R = AF₁/2 = 10k/2 = 5k
    3. משיק פירושו שהמרחק מהמרכז לישר שווה לרדיוס
    4. d = |5·5k + 12·4k − 138| / √(25 + 144) = |25k + 48k − 138|/13
    5. |73k − 138|/13 = 5k
    6. |73k − 138| = 65k
    7. מקרה א׳: 73k − 138 = 65k → 8k = 138 → k = 17.25 (נפסל, מחוץ לתחום)
    8. מקרה ב׳: 138 − 73k = 65k → 138 = 138k → k = 1 ✓

    תשובה: k = 1

  5. שאלה 5 · גיאומטריה אנליטית

    עבור k = 1 האליפסה היא x²/144 + y²/140 = 1, המוקדים הם F₁(2,0) ו-F₂(−2,0), והנקודה A היא (8,8). הנקודה D נמצאת על האליפסה. השוו בין היקף המשולש F₁AF₂ להיקף המשולש F₁DF₂.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. נבדוק אם A על האליפסה: 64/144 + 64/140 ≈ 0.444 + 0.457 = 0.901 < 1
    2. כלומר A נמצאת בתוך האליפסה
    3. עבור D על האליפסה: DF₁ + DF₂ = 2a = 24
    4. המרחק בין המוקדים: 2c = 4
    5. היקף F₁DF₂ = 24 + 4 = 28
    6. עבור A: AF₁ = 10 ; AF₂ = √((8+2)² + 8²) = √164 = 2√41 ≈ 12.81
    7. היקף F₁AF₂ = 10 + 12.81 + 4 = 26.81
    8. 26.81 < 28

    תשובה: היקף F₁AF₂ קטן יותר — 26.81 לעומת 28

  6. שאלה 6 · וקטורים

    בקובייה ABCDA'B'C'D' מסמנים u = AB, v = AD ו-w = AA', כאשר אורך המקצוע הוא a. הביעו את הווקטורים CA', BD ו-BC' באמצעות u, v ו-w.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. CA' = CB + BA + AA'
    2. CB = −AD = −v ; BA = −u ; AA' = w
    3. CA' = −u − v + w
    4. BD = BA + AD = −u + v
    5. BC' = BC + CC' = v + w

    תשובה: CA' = −u − v + w ; BD = −u + v ; BC' = v + w

  7. שאלה 7 · וקטורים

    בקובייה שאורך מקצועה a, נתונים CA' = −u − v + w, BD = −u + v ו-BC' = v + w. הוכיחו כי האלכסון CA' מאונך למישור BC'D.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. בקובייה כל שלושת המקצועות מאונכים זה לזה: u·v = u·w = v·w = 0
    2. u·u = v·v = w·w = a²
    3. CA'·BD = (−u − v + w)·(−u + v) = u² − v² = a² − a² = 0
    4. CA'·BC' = (−u − v + w)·(v + w) = −v² + w² = −a² + a² = 0
    5. CA' מאונך לשני וקטורים בלתי תלויים המונחים במישור BC'D
    6. לכן CA' מאונך למישור כולו

    תשובה: CA' מאונך לשני וקטורים בלתי תלויים במישור, ולכן מאונך למישור

  8. שאלה 8 · וקטורים

    בקובייה ABCDA'B'C'D' הנקודה E היא מפגש התיכונים במשולש BC'D. הביעו את הווקטור CE באמצעות u = AB, v = AD ו-w = AA'.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. מפגש התיכונים מחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד
    2. BE = ⅔ · ½(BD + BC')
    3. BD = −u + v ; BC' = v + w
    4. BE = ⅓(−u + 2v + w)
    5. CE = CB + BE = −v + ⅓(−u + 2v + w)
    6. CE = −⅓u − ⅓v + ⅓w

    תשובה: CE = −⅓u − ⅓v + ⅓w

  9. שאלה 9 · וקטורים

    נתונים CA' = −u − v + w ו-CE = −⅓u − ⅓v + ⅓w. הוכיחו כי הנקודות C, E ו-A' נמצאות על ישר אחד, ומצאו את היחס CE:EA'.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. CE = ⅓(−u − v + w) = ⅓·CA'
    2. שני הווקטורים יוצאים מאותה נקודה C ובעלי אותו כיוון
    3. לכן שלוש הנקודות על ישר אחד
    4. CE הוא שליש מ-CA', ולכן EA' הוא שני שלישים
    5. CE:EA' = 1:2

    תשובה: הן קולינאריות, והיחס CE:EA' = 1:2

  10. שאלה 10 · וקטורים

    בקובייה נתונים D(0,0,0), C(3,4,0) ו-A(4,n,p) כאשר p ≤ 0. מצאו את n ואת p, והוכיחו כי הבסיס ABCD מונח על המישור z = 0.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. CD = √(9 + 16) = 5, ולכן אורך המקצוע הוא 5 וגם AD = 5
    2. בקובייה AD ⊥ CD, ולכן AD·CD = 0
    3. (4 , n , p)·(3 , 4 , 0) = 12 + 4n = 0 → n = −3
    4. |AD| = 5: 16 + 9 + p² = 25 → p² = 0 → p = 0
    5. A(4 , −3 , 0)
    6. ל-D, ל-C ול-A שיעור z אפס, ולכן שלושתן על המישור z = 0
    7. שלוש נקודות קובעות מישור, ולכן כל הבסיס ABCD עליו

    תשובה: A(4 , −3 , 0), והבסיס על z = 0

  11. שאלה 11 · וקטורים

    בקובייה שאורך מקצועה 5, הבסיס ABCD מונח על המישור z = 0 ונתון C(3,4,0). מצאו את שיעורי C', בהינתן שהמישור העליון מקיים z > 0.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. המישור העליון A'B'C'D' מקביל לבסיס ובמרחק 5 ממנו
    2. המקצוע CC' מאונך לבסיס, כלומר מקביל לציר ה-z
    3. w = (0 , 0 , 5)
    4. C' = C + w = (3 , 4 , 0) + (0 , 0 , 5)
    5. C'(3 , 4 , 5)

    תשובה: C'(3 , 4 , 5)

  12. שאלה 12 · וקטורים

    בקובייה נתונים D(0,0,0), C(3,4,0), A(4,−3,0) ו-C'(3,4,5). מצאו הצגה פרמטרית של ישר החיתוך בין המישור BC'D ובין המישור BCC'B'.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. ישר החיתוך של שני המישורים הוא האלכסון BC' של הפאה
    2. נמצא את B: בריבוע ABCD מתקיים DA = CB
    3. A − D = B − C → B = C + (A − D) = (3,4,0) + (4,−3,0)
    4. B(7 , 1 , 0)
    5. וקטור הכיוון: BC' = C' − B = (3−7 , 4−1 , 5−0) = (−4 , 3 , 5)
    6. ההצגה: x = (7 , 1 , 0) + m(−4 , 3 , 5)

    תשובה: x = (7 , 1 , 0) + m(−4 , 3 , 5)

  13. שאלה 13 · וקטורים

    נתון הישר x = (7 , 1 , 0) + m(−4 , 3 , 5). מצאו הצגה פרמטרית של מישור המכיל את הישר ואינו חותך את ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. המישור מכיל את הישר, ולכן ההצגה הפרמטרית שלו כוללת אותו
    2. כדי שלא יחתוך את ציר ה-x, המישור צריך להיות מקביל לו
    3. נוסיף את וקטור הכיוון של ציר ה-x: (1 , 0 , 0)
    4. x = (7 , 1 , 0) + m(−4 , 3 , 5) + n(1 , 0 , 0)
    5. בדיקה: נקודה טיפוסית (7 − 4m + n , 1 + 3m , 5m)
    6. חיתוך עם ציר ה-x דורש y = z = 0
    7. z = 0 גורר m = 0, ואז y = 1 ≠ 0
    8. לכן אין חיתוך ✓

    תשובה: x = (7 , 1 , 0) + m(−4 , 3 , 5) + n(1 , 0 , 0)

  14. שאלה 14 · מספרים מרוכבים

    פתרו את המשוואה z³ = 1/z³, כאשר z מספר מרוכב, ומצאו את הפתרון z₀ הנמצא ברביע הרביעי.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. נכפול ב-z³: z⁶ = 1
    2. 1 = 1·cis 0°, ולכן |z| = 1
    3. 6θ = 0° + 360°k → θ = 60°k
    4. הפתרונות: cis0°, cis60°, cis120°, cis180°, cis240°, cis300°
    5. ברביע הרביעי (270° < arg < 360°): cis 300°
    6. z₀ = cos300° + i·sin300° = ½ − (√3/2)i

    תשובה: z₀ = cis 300° = ½ − (√3/2)i

  15. שאלה 15 · מספרים מרוכבים

    נתון z₀ = cis 300°. הנקודות A, B, C מייצגות את המספרים d·z₀ , d·i·z₀ ו-d·(z₀)⁴ בהתאמה, כאשר d > 0. הראו שכולן על מעגל שרדיוסו d, ומצאו את הארגומנטים שלהן.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. |z₀| = 1, ולכן |d·z₀| = d וכן לשאר — כולן על מעגל שרדיוסו d
    2. A = d·cis 300° → arg = 300°
    3. i = cis 90°, ולכן B = d·cis(300° + 90°) = d·cis 390° = d·cis 30°
    4. C = d·(cis 300°)⁴ = d·cis 1200° = d·cis 120°

    תשובה: כולן על x² + y² = d² ; A: 300° , B: 30° , C: 120°

  16. שאלה 16 · מספרים מרוכבים

    הנקודות A, B, C על מעגל שרדיוסו d ומרכזו בראשית, עם ארגומנטים 300°, 30° ו-120° בהתאמה. שטח המשולש ABC הוא 5d + 6. מצאו את d.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. arg(C) − arg(A) = 120° − 300° = −180°, ולכן AC הוא קוטר באורך 2d
    2. arg(B) − arg(A) = 30° − 300° = −270°, שקול ל-90°
    3. OB מאונך ל-AC והוא רדיוס, כלומר גובה באורך d
    4. S = (AC · OB)/2 = (2d · d)/2 = d²
    5. d² = 5d + 6
    6. d² − 5d − 6 = 0 → (d − 6)(d + 1) = 0
    7. d = 6 (d > 0)

    תשובה: d = 6

  17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (eˣ − 1)ⁿ − 4, המוגדרת לכל x, כאשר n ≥ 2 מספר טבעי. מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית עבור n זוגי ועבור n אי-זוגי.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. כאשר x ← ‎−∞ מתקיים eˣ ← 0, ולכן eˣ − 1 ← −1
    2. עבור n זוגי: (−1)ⁿ = 1, ולכן f(x) ← 1 − 4 = −3
    3. עבור n אי-זוגי: (−1)ⁿ = −1, ולכן f(x) ← −1 − 4 = −5
    4. כאשר x ← ‎+∞ הפונקציה שואפת לאינסוף ואין אסימפטוטה מימין

    תשובה: n זוגי: y = −3 ; n אי-זוגי: y = −5

  18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (eˣ − 1)ⁿ − 4 עם n ≥ 2 טבעי. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן, עבור n זוגי ועבור n אי-זוגי.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. f'(x) = n(eˣ − 1)^(n−1) · eˣ
    2. eˣ חיובי תמיד, ולכן f'(x) = 0 כאשר eˣ = 1, כלומר x = 0
    3. f(0) = (1 − 1)ⁿ − 4 = −4
    4. עבור n זוגי: החזקה n−1 אי-זוגית, ולכן (eˣ−1)^(n−1) מחליף סימן ← מינימום
    5. עבור n אי-זוגי: החזקה n−1 זוגית, הביטוי אינו מחליף סימן ← אין קיצון
    6. במקרה השני מתקבלת נקודת פיתול עם משיק אופקי ב-(0 , −4)

    תשובה: n זוגי: (0 , −4) מינימום ; n אי-זוגי: (0 , −4) נקודת פיתול, אין קיצון

  19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    עבור n = 2 הפונקציה היא f(x) = (eˣ − 1)² − 4. נתונה גם g(x) = 3eˣ − 7. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך בין שני הגרפים.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. (eˣ − 1)² − 4 = 3eˣ − 7
    2. e^(2x) − 2eˣ + 1 − 4 = 3eˣ − 7
    3. e^(2x) − 5eˣ + 4 = 0
    4. נסמן t = eˣ: t² − 5t + 4 = 0
    5. (t − 1)(t − 4) = 0 → t = 1 או t = 4
    6. eˣ = 1 → x = 0 , y = 3 − 7 = −4
    7. eˣ = 4 → x = ln 4 , y = 12 − 7 = 5

    תשובה: (0 , −4) ו-(ln 4 , 5)

  20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = ln x + 1/x, המוגדרת עבור x > 0. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. f'(x) = 1/x − 1/x²
    2. מכנה משותף: f'(x) = (x − 1)/x²
    3. המכנה x² חיובי בכל התחום, ולכן הסימן נקבע על ידי x − 1
    4. x − 1 = 0 → x = 1
    5. f(1) = ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1
    6. לפני x = 1 הנגזרת שלילית ואחריו חיובית ← מינימום ב-(1 , 1)

    תשובה: (1 , 1) מינימום

  21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה g(x) = (x + 1)(1 − ln x) בתחום x > 0. מצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה-x, והראו כי g'(x) = −f(x) כאשר f(x) = ln x + 1/x.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. g(x) = 0: (x + 1) = 0 → x = −1, שאינו בתחום ההגדרה
    2. או 1 − ln x = 0 → ln x = 1 → x = e
    3. נקודת החיתוך: (e , 0)
    4. נגזור לפי כלל המכפלה
    5. g'(x) = 1·(1 − ln x) + (x + 1)·(−1/x)
    6. = 1 − ln x − 1 − 1/x
    7. = −ln x − 1/x = −(ln x + 1/x) = −f(x)

    תשובה: חיתוך ב-(e , 0) ; והשוויון מתקיים

  22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה g(x) = (x + 1)(1 − ln x) בתחום x > 0, המקיימת g'(x) = −f(x) כאשר f(x) = ln x + 1/x שהמינימום שלה הוא (1 , 1). מצאו את תחומי העלייה והירידה של g.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. המינימום של f הוא 1, ולכן f(x) ≥ 1 > 0 בכל התחום
    2. g'(x) = −f(x), ולכן g'(x) ≤ −1 < 0 בכל התחום
    3. הנגזרת שלילית תמיד, ולכן g יורדת בכל x > 0
    4. אין תחום עלייה ואין נקודות קיצון

    תשובה: יורדת בכל התחום x > 0, ואינה עולה כלל

מועדים נוספים בשאלון 35572

וואטסאפ