מורה מתמטיקה AI
דילוג לתוכן הראשי

שאלון 35572 — קיץ מועד א׳ 2026

12 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

לתרגל מבחן מלא בזמן אמתלשאול את נועה על שאלה

  1. שאלה 1 · אלגברה

    נתונה המשוואה z³ = -216. z הוא משתנה מרוכב. מצאו את כל פתרונות המשוואה.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. נסדר בתצוגה קוטבית: z³ = 216·cis(180°), משום שהמספר המרוכב -216 נמצא על החלק השלילי של הציר הממשי
    2. נפתור את המשוואה: z_{1,2,3} = (216)^(1/3) · cis((180° + 360°k)/3)
    3. z_{1,2,3} = 6 · cis(60° + 120°k)
    4. עבור k=0: z1 = 6·cis(60°), עבור k=1: z2 = 6·cis(180°), עבור k=2: z3 = 6·cis(240°)

    תשובה: z1 = 6·cis(60°), z2 = 6·cis(180°), z3 = 6·cis(240°)

  2. שאלה 2 · אלגברה

    נתונים שני מספרים מרוכבים: w1 = r·(cos α + i·sin α), w2 = 2r·(cos 4α + i·sin 4α), כאשר 50° < α < 130°. שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים w1 ו-w2 נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים O במישור גאוס. מצאו את שני הערכים האפשריים של α.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. שתי נקודות על ישר דרך ראשית הצירים אומר שהפרש הזוויות ביניהן הוא 180° (אם ברביעים שונים) או 0° (אם באותו רביע)
    2. אפשרות ראשונה - ברביעים שונים: 4α - α = 180° + 360°k
    3. 3α = 180° + 360°k, לכן α = 60° + 120°k
    4. בתחום 50° < α < 130°: α1 = 60°
    5. אפשרות שנייה - באותו רביע: 4α = α + 360°k
    6. 3α = 360°k, לכן α = 120°k
    7. בתחום 50° < α < 130°: α2 = 120°

    תשובה: α1 = 60°, α2 = 120°

  3. שאלה 3 · אלגברה

    נתון כי w1 = r·(cos α + i·sin α) הוא אחד מן הפתרונות שמצאתם בסעיף א (פתרונות z³ = -216). מצאו את הערך של α ואת הערך של r.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. הפתרונות שנמצאו בסעיף א הם: z1 = 6·cis(60°), z2 = 6·cis(180°), z3 = 6·cis(240°)
    2. הפתרון היחיד המתאים לתחום 50° < α < 130° הוא z1 = 6·cis(60°)
    3. לכן α = 60° ו-r = 6

    תשובה: r = 6, α = 60°

  4. שאלה 4 · אלגברה

    נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: w3 = 6i, w4 = 12/i. ABCD הוא מרובע קמור. הקודקוד A מיוצג על ידי המספר w1, הקודקוד B מיוצג על ידי המספר w3, הקודקוד C מיוצג על ידי המספר w2, והקודקוד D מיוצג על ידי המספר w4. הראו כי שטח המרובע ABCD הוא 81.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. w3 = 6i = 6·cis(90°), w4 = 12/i = 12·cis(0°)/cis(90°) = 12·cis(-90°)
    2. w1 = 6·cis(60°), w2 = 12·cis(240°) (מסעיף ג, עם r=6, α=60° לכן w2 = 2r·cis(4α) = 12·cis(240°))
    3. שני המספרים w3 ו-w4 נמצאים על הציר המדומה
    4. אורך הבסיס המשותף על הציר המדומה: w3 - w4 = 6 - (-12) = 18
    5. הקואורדינטה הממשית של A: xA = 6·cos(60°) = 3
    6. הקואורדינטה הממשית של C: xC = 12·cos(240°) = -6
    7. שטח משולש ABD: S_ABD = (18·xA)/2 = (18·3)/2 = 27
    8. שטח משולש CBD: S_CBD = (18·(-xC))/2 = (18·6)/2 = 54
    9. שטח ABCD = S_ABD + S_CBD = 27 + 54 = 81

    תשובה: שטח ABCD = 81

  5. שאלה 5 · אלגברה

    u הוא מספר מרוכב. הנקודה E, שמיוצגת על ידי המספר u, נמצאת ברביע הראשון על חוצה הזווית BOA. נתון כי |u| > 1 ו- u_bar + (1/u) = 10.1·(cos 285° + i·sin 285°). מצאו את המספר המרוכב u.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. u נמצא על חוצה הזווית BOA: זווית B היא 90° (w3=6i) וזווית A היא 60° (w1), לכן חוצה הזווית היא ב-75°
    2. הזווית המתארת את u היא 75°, כלומר u = R·cis(75°)
    3. עבור u = R·cis(75°): u_bar = R·cis(-75°) ו-(1/u) = (1/R)·cis(-75°)
    4. u_bar + (1/u) = (R + 1/R)·cis(-75°)
    5. נתון כי u_bar + (1/u) = 10.1·cis(285°) = 10.1·cis(-75°)
    6. לכן R + 1/R = 10.1
    7. R² - 10.1R + 1 = 0
    8. פתרונות: R1 = 10, R2 = 0.1
    9. מכיוון ש-|u| > 1, התשובה המתאימה היא R = 10
    10. לכן u = 10·cis(75°)

    תשובה: u = 10·cis(75°)

  6. שאלה 6 · וקטורים

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA'B'C'D'. נסמן: AD = u, AB = v, AA' = w. הנקודה E היא אמצע המקצוע BB'. הביעו את EA ו־EC באמצעות u, v ו־w.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. EA = EB + BA = -(1/2)w - v
    2. EC = EB + BC = -(1/2)w + u

    תשובה: EA = -(1/2)w - v, EC = -(1/2)w + u

  7. שאלה 7 · וקטורים

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA'B'C'D'. נסמן: AD = u, AB = v, AA' = w. הנקודה E היא אמצע המקצוע BB'. הנקודה M מקיימת BM = (1/6)u - (2/3)v + (1/12)w. הביעו את EM באמצעות u, v ו־w.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. EM = EB + BM
    2. EM = -(1/2)w + ((1/6)u - (2/3)v + (1/12)w)
    3. EM = (1/6)u - (2/3)v - (5/12)w

    תשובה: EM = (1/6)u - (2/3)v - (5/12)w

  8. שאלה 8 · וקטורים

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA'B'C'D'. נסמן: AD = u, AB = v, AA' = w. הנקודה E היא אמצע המקצוע BB'. נתון: EM = a·EA + b·EC, כאשר a ו־b הם פרמטרים. (1) מצאו את הערך של a ואת הערך של b. (2) האם הנקודה M נמצאת במישור AEC? נמקו את תשובתכם.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. נציב את EA = -(1/2)w - v ואת EC = -(1/2)w + u במשוואה EM = a·EA + b·EC
    2. EM = a·(-(1/2)w - v) + b·(-(1/2)w + u) = b·u - a·v - ((a+b)/2)·w
    3. נשווה מקדמים לערכים שמצאנו: b = 1/6, a = 2/3
    4. בדיקה: מקדם w: -(a+b)/2 = -(2/3+1/6)/2 = -(5/6)/2 = -5/12 ✓
    5. מכיוון ש-EM הוא קומבינציה לינארית של EA ו-EC הפורסים את המישור AEC, הנקודה M נמצאת במישור AEC

    תשובה: a = 2/3, b = 1/6; כן, M נמצאת במישור AEC

  9. שאלה 9 · וקטורים

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA'B'C'D'. נסמן: AD = u, AB = v, AA' = w. הנקודה E היא אמצע המקצוע BB'. הנקודה M מקיימת BM = (1/6)u - (2/3)v + (1/12)w. נתון כי |w| = 8 והווקטור BM מאונך למישור AEC. מצאו את הערך של |u| ואת הערך של |v|.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. BM מאונך למישור AEC ולכן BM·EA = 0 ו-BM·EC = 0
    2. מכיוון ש-u, v, w הם מקצועות בתיבה: u·v = u·w = v·w = 0
    3. פותחים את המכפלה הסקלרית BM·EC = ((1/6)u - (2/3)v + (1/12)w)·(-(1/2)w + u) = 0
    4. נשארות רק המכפלות בין וקטור לעצמו: -(1/24)w² + (1/6)u² = 0
    5. פותחים את BM·EA = ((1/6)u - (2/3)v + (1/12)w)·(-(1/2)w - v) = 0
    6. נשארות: -(1/24)w² + (2/3)v² = 0
    7. מציבים |w| = 8, כלומר w² = 64
    8. ממשוואה ראשונה: (1/6)u² = 64/24 = 8/3, לכן u² = 16, |u| = 4
    9. ממשוואה שנייה: (2/3)v² = 8/3, לכן v² = 4, |v| = 2

    תשובה: |u| = 4, |v| = 2

  10. שאלה 10 · אלגברה

    נתון כי w1 הוא אחד מן הפתרונות שמצאתם בסעיף א (פתרונות המשוואה z³ = -216), עם w1 = r·(cos α + i·sin α) ו-50° < α < 130°. מצאו את הערך של α ואת הערך של r.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. הפתרונות מסעיף א הם: z1 = 6·cis(60°), z2 = 6·cis(180°), z3 = 6·cis(240°)
    2. הפתרון היחיד שזוויתו נמצאת בתחום 50° < α < 130° הוא z1 = 6·cis(60°)
    3. לכן α = 60° ו-r = 6

    תשובה: r = 6, α = 60°

  11. שאלה 11 · אלגברה

    נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: w3 = 6i, w4 = 12/i. ABCD הוא מרובע קמור. הקודקוד A מיוצג על ידי המספר w1 (שהוא 6·cis(60°)), הקודקוד B מיוצג על ידי המספר w3, הקודקוד C מיוצג על ידי המספר w2 (שהוא 12·cis(240°)), והקודקוד D מיוצג על ידי המספר w4. הראו כי שטח המרובע ABCD הוא 81.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. w3 = 6i = 6·cis(90°), w4 = 12/i = 12cis(0°)/cis(90°) = 12·cis(-90°)
    2. שני המספרים w3 ו-w4 נמצאים על הציר המדומה
    3. הבסיס של שני המשולשים ABD ו-CBD על הציר המדומה הוא: w3 - w4 = 6 - (-12) = 18
    4. נמצא את הקואורדינטה xA של הקודקוד A: xA = 6·cos(60°) = 3
    5. נמצא את הקואורדינטה xC של הקודקוד C: xC = 12·cos(240°) = -6
    6. שטח משולש ABD: S_ABD = (18·xA)/2 = (18·3)/2 = 27
    7. שטח משולש CBD: S_CBD = (18·(-xC))/2 = (18·6)/2 = 54
    8. שטח ABCD = S_ABD + S_CBD = 27 + 54 = 81

    תשובה: שטח ABCD = 81

  12. שאלה 12 · אלגברה

    u הוא מספר מרוכב. הנקודה E, שמיוצגת על ידי המספר u, נמצאת ברביע הראשון על חוצה הזווית BOA (כאשר B מיוצג על ידי w3 = 6i ו-A מיוצג על ידי w1 = 6·cis(60°)). נתון כי |u| > 1 ו-u_bar + 1/u = 10.1·(cos 285° + i·sin 285°). מצאו את המספר המרוכב u.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. הנקודה E נמצאת על חוצה הזווית BOA, כלומר על הישר החוצה את הזווית בין הכיוון של A (60°) לכיוון של B (90°)
    2. הזווית המתארת את u היא 75° (חציית הזווית בין 60° ל-90°)
    3. כתבים u = R·cis(75°), אזי u_bar = R·cis(-75°) ו-1/u = (1/R)·cis(-75°)
    4. u_bar + 1/u = (R + 1/R)·cis(-75°)
    5. נתון ש-u_bar + 1/u = 10.1·cis(285°) = 10.1·cis(-75°), לכן R + 1/R = 10.1
    6. פותרים: R² - 10.1R + 1 = 0, ומתקבלים R1 = 10, R2 = 0.1
    7. מכיוון ש-|u| > 1, התשובה המתאימה היא R = 10
    8. לכן u = 10·cis(75°)

    תשובה: u = 10·cis(75°)

מועדים נוספים בשאלון 35572

וואטסאפ