שאלון 35572 — קיץ מועד ב׳ 2023

11 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גיאומטריה אנליטית

   נתונות הנקודות A(0 , 24) ו-B(18 , 0). מצאו את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות הנקודות C המקיימות AC² + BC² = 1,250.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן C(x , y) ונשתמש בנוסחת המרחק
   2. AC² = x² + (y − 24)² ו-BC² = (x − 18)² + y²
   3. x² + y² − 48y + 576 + x² − 36x + 324 + y² = 1,250
   4. 2x² − 36x + 2y² − 48y + 900 = 1,250
   5. נחלק ב-2: x² − 18x + y² − 24y − 175 = 0
   6. נשלים לריבוע: (x − 9)² − 81 + (y − 12)² − 144 − 175 = 0
   7. (x − 9)² + (y − 12)² = 400
   8. זהו מעגל שמרכזו (9 , 12) ורדיוסו 20

   תשובה: מעגל שמשוואתו (x − 9)² + (y − 12)² = 400

2. שאלה 2 · גיאומטריה אנליטית

   את המעגל (x − 9)² + (y − 12)² = 400 מזיזים 9 יחידות שמאלה ו-12 יחידות למטה. המעגל החדש חותך את ציר ה-y בנקודות E ו-G (E מעל G). מצאו את משוואת המעגל החדש ואת שיעורי E ו-G.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הזזה 9 שמאלה מחסירה 9 משיעור ה-x של המרכז: 9 − 9 = 0
   2. הזזה 12 למטה מחסירה 12 משיעור ה-y של המרכז: 12 − 12 = 0
   3. המרכז החדש הוא הראשית והרדיוס לא השתנה
   4. משוואת המעגל החדש: x² + y² = 400
   5. חיתוך עם ציר ה-y: נציב x = 0 ונקבל y² = 400
   6. y = ±20, ולכן E(0 , 20) ו-G(0 , −20)

   תשובה: x² + y² = 400, והנקודות E(0 , 20) ו-G(0 , −20)

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   הנקודות E(0 , 20) ו-G(0 , −20) נמצאות על אליפסה קנונית שמוקדיה F₁ ו-F₂ על ציר ה-x. נתון כי המרחק בין הישרים EF₁ ו-GF₂ הוא 24. מצאו את שיעורי F₁ ואת משוואת האליפסה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המוקדים סימטריים ביחס לראשית: F₁(−c , 0) ו-F₂(c , 0)
   2. הישר EF₁ עובר דרך (0 , 20) ו-(−c , 0), והישר GF₂ מקביל לו (סימטרי ביחס לראשית)
   3. משוואת EF₁: 20x − cy + 20c = 0
   4. המרחק מן הנקודה G(0 , −20) אל הישר הזה שווה 24
   5. |20·0 − c(−20) + 20c| / √(400 + c²) = 24
   6. 40c = 24√(400 + c²) ומכאן 1,600c² = 576(400 + c²)
   7. 1,024c² = 230,400 ומכאן c² = 225 ו-c = 15, כלומר F₁(−15 , 0)
   8. האליפסה עוברת דרך (0 , 20), ולכן חצי הציר על ציר ה-y הוא b = 20
   9. המוקדים על ציר ה-x, ולכן a² = b² + c² = 400 + 225 = 625
   10. x²/625 + y²/400 = 1

   תשובה: F₁(−15 , 0), והאליפסה x²/625 + y²/400 = 1

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   משוואת הישר EF₁ היא 4x − 3y + 60 = 0. מצאו משוואות של שני מעגלים המשיקים לישר זה, לציר ה-x ולציר ה-y, כאשר כל אחד מהם נמצא ברביע אחר.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מעגל המשיק לשני הצירים מקיים |מרכז_x| = |מרכז_y| = r
   2. ברביע הראשון המרכז הוא (r , r)
   3. המרחק לישר: |4r − 3r + 60|/5 = r ומכאן r + 60 = 5r
   4. 4r = 60 ולכן r = 15, והמעגל (x − 15)² + (y − 15)² = 225
   5. ברביע השני המרכז הוא (−r , r)
   6. |−4r − 3r + 60|/5 = r ומכאן |60 − 7r| = 5r
   7. 60 − 7r = 5r נותן r = 5, והמעגל (x + 5)² + (y − 5)² = 25
   8. (הפתרון השני, 7r − 60 = 5r, נותן r = 30 — מעגל נוסף ברביע השני)

   תשובה: (x − 15)² + (y − 15)² = 225 ברביע הראשון, ו-(x + 5)² + (y − 5)² = 25 ברביע השני

5. שאלה 5 · וקטורים

   בפירמידה ABCD המקצוע DC מאונך למישור ABC. הנקודה E היא אמצע AD, והנקודה F מקיימת DF = k·DB + 2k·DC. מסמנים u = AB, v = AC, w = CD. הביעו את EF באמצעות u, v, w ו-k.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. AD = AC + CD = v + w, ולכן AE = ½(v + w)
   2. DB = AB − AD = u − v − w
   3. DC = −CD = −w
   4. DF = k(u − v − w) + 2k(−w) = k·u − k·v − 3k·w
   5. AF = AD + DF = (v + w) + k·u − k·v − 3k·w
   6. = k·u + (1 − k)v + (1 − 3k)w
   7. EF = AF − AE = k·u + (1 − k − ½)v + (1 − 3k − ½)w
   8. = k·u + (½ − k)v + (½ − 3k)w

   תשובה: EF = k·u + (½ − k)·v + (½ − 3k)·w

6. שאלה 6 · וקטורים

   בפירמידה ABCD מתקיים EF = k·u + (½ − k)·v + (½ − 3k)·w, כאשר u = AB ו-v = AC נמצאים במישור ABC ו-w = CD מאונך למישור זה. נתון כי EF מקביל למישור ABC. מצאו את הערך של k.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. u ו-v פורשים את המישור ABC, ואילו w מאונך לו
   2. וקטור מקביל למישור חייב להיות צירוף לינארי של u ו-v בלבד
   3. לכן המקדם של w חייב להתאפס
   4. ½ − 3k = 0
   5. 3k = ½
   6. k = 1/6

   תשובה: k = 1/6

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = (eˣ − 4)/eˣ. מצאו את תחום ההגדרה שלה, את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים, ואת שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. eˣ חיובי לכל x ואינו מתאפס, ולכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים ואין אסימפטוטה אנכית
   2. נפשט: f(x) = 1 − 4e^(−x)
   3. כאשר x → ∞ מתקיים e^(−x) → 0, ולכן f(x) → 1
   4. אסימפטוטה אופקית: y = 1
   5. חיתוך עם ציר ה-x: eˣ − 4 = 0 ומכאן x = ln4 ≈ 1.386
   6. חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = (1 − 4)/1 = −3

   תשובה: תחום ההגדרה כל x, אסימפטוטה אופקית y = 1, חיתוך עם ציר ה-x ב-(ln4 , 0) ועם ציר ה-y ב-(0 , −3)

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = 1 − 4e^(−x). מצאו את תחומי העלייה והירידה שלה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נגזור: f′(x) = 0 − 4 · e^(−x) · (−1)
   2. f′(x) = 4e^(−x)
   3. פונקצייה מעריכית חיובית תמיד, ולכן 4e^(−x) > 0 לכל x
   4. הנגזרת חיובית בכל התחום, ומכאן שהפונקצייה עולה תמיד
   5. אין נקודות קיצון ואין תחומי ירידה

   תשובה: עולה בכל תחום הגדרתה, ואין לה תחומי ירידה

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה f(x) = (eˣ − 4)/eˣ ונתונה g(x) = 1/f(x). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של g(x).

   פתרון שלב אחר שלב

   1. g(x) = eˣ/(eˣ − 4)
   2. אסימפטוטה אנכית מתקבלת היכן שהמכנה מתאפס: eˣ − 4 = 0
   3. x = ln4 ≈ 1.386
   4. כאשר x → ∞ מתקיים eˣ/(eˣ − 4) → 1 (חלוקת מונה ומכנה ב-eˣ)
   5. אסימפטוטה אופקית: y = 1

   תשובה: אסימפטוטה אנכית x = ln4, ואסימפטוטה אופקית y = 1

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה g(x) = eˣ/(eˣ − 4) שהאסימפטוטה האופקית שלה היא y = 1. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g, על ידי האסימפטוטה האופקית ועל ידי הישרים x = ln5 ו-x = ln8.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ההפרש בין הפונקצייה לאסימפטוטה: g(x) − 1 = eˣ/(eˣ−4) − 1 = 4/(eˣ − 4)
    2. נמצא פונקציה קדומה. נבחין כי הנגזרת של ln((eˣ−4)/eˣ) היא בדיוק 4/(eˣ−4)
    3. לכן השטח הוא [ln((eˣ − 4)/eˣ)] בין ln5 ל-ln8
    4. בגבול העליון: ln((8 − 4)/8) = ln(1/2)
    5. בגבול התחתון: ln((5 − 4)/5) = ln(1/5)
    6. השטח = ln(1/2) − ln(1/5) = ln(5/2)
    7. = ln2.5 ≈ 0.916

    תשובה: ln2.5 ≈ 0.916

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות f(x) = (eˣ − 4)/eˣ ו-g(x) = 1/f(x). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של שני הגרפים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בנקודת החיתוך f(x) = g(x), כלומר f(x) = 1/f(x)
    2. נכפיל: [f(x)]² = 1 ומכאן f(x) = 1 או f(x) = −1
    3. f(x) = 1 אינו אפשרי — y = 1 היא אסימפטוטה ואינה מתקבלת
    4. f(x) = −1: 1 − 4e^(−x) = −1
    5. 4e^(−x) = 2 ומכאן e^(−x) = 0.5
    6. x = ln2 ≈ 0.693
    7. בדיקה: f(ln2) = (2 − 4)/2 = −1 ✓
    8. נקודת החיתוך: (ln2 , −1)

    תשובה: (ln2 , −1)