שאלון 35572 — חורף 2024

20 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גיאומטריה אנליטית

   נתונה הנקודה A(a , 0) כאשר a ≠ 0 פרמטר. הנקודה B נמצאת על הישר x = −a, והקטע BC מקביל לציר ה-x. הנקודה M היא אמצע הצלע BC, והזווית BAC היא 90°. מצאו את משוואת המקום הגיאומטרי של הנקודה M.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן M(s , t). מאחר ש-BC מקביל לציר ה-x, לכל שלוש הנקודות אותו שיעור y
   2. B נמצאת על x = −a, כלומר B(−a , t)
   3. M אמצע BC, ולכן s = (x_C + (−a))/2 → x_C = 2s + a, כלומר C(2s+a , t)
   4. הזווית ב-A ישרה, ולכן מכפלת השיפועים של AB ו-AC היא ‎−1
   5. m(AB) = t/(−a − a) = t/(−2a) ; m(AC) = t/(2s + a − a) = t/(2s)
   6. [t/(−2a)] · [t/(2s)] = −1
   7. t² = 4as
   8. המקום הגיאומטרי: y² = 4ax

   תשובה: y² = 4ax

2. שאלה 2 · גיאומטריה אנליטית

   נתונה הפרבולה y² = 4ax. מצאו את המוקד ואת המדריך שלה, והסבירו מדוע מתקבלות שתי פרבולות אפשריות.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. פרבולה קנונית: y² = 2px, שמוקדה (p/2 , 0) ומדריכה x = −p/2
   2. כאן 2p = 4a, כלומר p = 2a
   3. המוקד: (p/2 , 0) = (a , 0)
   4. המדריך: x = −a
   5. אין מידע על סימן a: עבור a > 0 הפרבולה נפתחת ימינה
   6. עבור a < 0 היא נפתחת שמאלה — ולכן שתי אפשרויות

   תשובה: מוקד (a , 0) ומדריך x = −a ; שתי פרבולות כי סימן a אינו נתון

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   הנקודה M(s , t) נמצאת על הפרבולה y² = 4ax, כלומר M(t²/(4a) , t). הוכיחו כי המשיק לפרבולה בנקודה M מקביל לישר AC, כאשר A(a , 0) ו-C(2s + a , t).

   פתרון שלב אחר שלב

   1. משוואת המשיק לפרבולה y² = 2px בנקודה (x₀ , y₀): y·y₀ = p(x + x₀)
   2. כאן p = 2a, ולכן שיפוע המשיק הוא p/y₀ = 2a/t
   3. שיפוע AC: (t − 0)/((2s + a) − a) = t/(2s)
   4. M על הפרבולה, לכן t² = 4as → s = t²/(4a)
   5. t/(2s) = t/(2 · t²/(4a)) = t/(t²/(2a)) = 2a/t
   6. שני השיפועים שווים, ולכן הישרים מקבילים

   תשובה: שני השיפועים שווים ל-2a/t

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   הקודקוד B נמצא על הישר x = −2, ולכן a = 2 והפרבולה היא y² = 8x. הנקודה M נמצאת על הפרבולה ברביע הראשון, ומרחקה מן המוקד A(2 , 0) הוא 10. מצאו את שיעורי M.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. לפי הגדרת הפרבולה, המרחק מהמוקד שווה למרחק מהמדריך x = −2
   2. AM = x_M − (−2) = x_M + 2
   3. 10 = x_M + 2 → x_M = 8
   4. נציב בפרבולה: y² = 8 · 8 = 64
   5. y = 8 (ברביע הראשון)
   6. M(8 , 8)

   תשובה: M(8 , 8)

5. שאלה 5 · גיאומטריה אנליטית

   נתונים A(2 , 0) ו-M(8 , 8), כאשר M אמצע הצלע BC ו-B נמצאת על הישר x = −2. מצאו את שיעורי B ו-C.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. BC מקביל לציר ה-x, ולכן ל-B ול-C אותו שיעור y כמו ל-M: y = 8
   2. B על הישר x = −2, ולכן B(−2 , 8)
   3. M אמצע BC: 8 = (−2 + x_C)/2
   4. 16 = −2 + x_C → x_C = 18
   5. C(18 , 8)

   תשובה: B(−2 , 8) ו-C(18 , 8)

6. שאלה 6 · גיאומטריה אנליטית

   נתונים A(2 , 0) ו-B(−2 , 8). דרך A מעבירים מעגל המשיק לצלע AB, כך ש-AB מונח על הישר שעליו נמצא קוטר המעגל, והמשיק השני יוצא מן הנקודה M(8 , 8). ידוע שמרכז המעגל מחלק את AB ביחס 1:3. מצאו את שיעורי מרכז המעגל.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מרכז המעגל מחלק את AB ביחס 1:3, קרוב ל-A
   2. לפי נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון
   3. x: (3 · 2 + 1 · (−2))/4 = (6 − 2)/4 = 1
   4. y: (3 · 0 + 1 · 8)/4 = 8/4 = 2
   5. מרכז המעגל: (1 , 2)

   תשובה: (1 , 2)

7. שאלה 7 · וקטורים

   נתון הישר x = (−1 , 5 , −11) + t(−1 , −5m , −2) והמישור 3x + my + (m + 6)z + 4 = 0. הוכיחו כי לכל ערך של m הישר אינו מקביל למישור.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ישר מקביל למישור אם וקטור הכיוון שלו מאונך לנורמל של המישור
   2. וקטור הכיוון: (−1 , −5m , −2) ; הנורמל: (3 , m , m + 6)
   3. המכפלה הסקלרית: −3 − 5m² − 2m − 12 = −5m² − 2m − 15
   4. נבדוק אם הביטוי יכול להתאפס: 5m² + 2m + 15 = 0
   5. הדיסקרימיננטה: 4 − 4·5·15 = 4 − 300 = −296 < 0
   6. אין פתרון ממשי, ולכן המכפלה לעולם אינה אפס
   7. התנאי להקבלה אינו מתקיים לאף m

   תשובה: המכפלה הסקלרית לעולם אינה מתאפסת

8. שאלה 8 · וקטורים

   נתון כי הישר x = (−1 , 5 , −11) + t(−1 , −5m , −2) ניצב למישור 3x + my + (m + 6)z + 4 = 0. מצאו את m.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ישר ניצב למישור אם וקטור הכיוון שלו מקביל לנורמל של המישור
   2. כלומר הנורמל הוא כפולה בקבוע של וקטור הכיוון: (3 , m , m+6) = p·(−1 , −5m , −2)
   3. מהרכיב הראשון: 3 = −p → p = −3
   4. מהרכיב השלישי: m + 6 = −2p = 6 → m = 0
   5. בדיקת הרכיב השני: m = −5m·p → 0 = 0 ✓
   6. אימות: וקטור הכיוון (−1 , 0 , −2) והנורמל (3 , 0 , 6) = −3·(−1 , 0 , −2) ✓
   7. m = 0

   תשובה: m = 0

9. שאלה 9 · וקטורים

   נתון הישר x = (−1 , 5 , −11) + t(3 , −5 , 1) והמישור 3x − 5y + z + 4 = 0. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך שלהם.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נקודה טיפוסית על הישר: (−1 + 3t , 5 − 5t , −11 + t)
   2. נציב במשוואת המישור
   3. 3(−1 + 3t) − 5(5 − 5t) + (−11 + t) + 4 = 0
   4. −3 + 9t − 25 + 25t − 11 + t + 4 = 0
   5. 35t − 35 = 0 → t = 1
   6. נציב t = 1 בהצגה הפרמטרית: (2 , 0 , −10)

   תשובה: A(2 , 0 , −10)

10. שאלה 10 · וקטורים

    נתון הישר x = (−1 , 5 , −11) + t(3 , −5 , 1). בדקו את הטענה: קיים מישור אחד בלבד המכיל את הישר ועובר דרך הנקודה (5 , −5 , −9).

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ישר ונקודה שאינה עליו פורסים מישור יחיד
    2. נבדוק אם הנקודה על הישר: −1 + 3t = 5 → t = 2
    3. 5 − 5t = 5 − 10 = −5 ✓
    4. −11 + t = −11 + 2 = −9 ✓
    5. שלוש המשוואות מתקיימות עבור t = 2, ולכן הנקודה נמצאת על הישר
    6. לכן יש אינסוף מישורים המכילים את הישר ואת הנקודה, והטענה שגויה

    תשובה: הטענה אינה נכונה — יש אינסוף מישורים כאלה

11. שאלה 11 · מספרים מרוכבים

    נתון המספר המרוכב z = x + yi. הראו כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המקיימות |z − 6 − 8i| = |3 + 4i| הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ורדיוסו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. אגף ימין: |3 + 4i| = √(9 + 16) = 5
    2. אגף שמאל: z − 6 − 8i = (x − 6) + (y − 8)i
    3. |z − 6 − 8i| = √((x−6)² + (y−8)²)
    4. √((x−6)² + (y−8)²) = 5
    5. בהעלאה בריבוע: (x − 6)² + (y − 8)² = 25
    6. זהו מעגל שמרכזו M(6 , 8) ורדיוסו 5

    תשובה: מעגל (x − 6)² + (y − 8)² = 25 , מרכזו (6 , 8) ורדיוסו 5

12. שאלה 12 · מספרים מרוכבים

    הנקודה M(6 , 8) היא מרכז מעגל ומייצגת את המספר המרוכב z_M. הנקודה A ברביע הראשון מייצגת את z_A, כאשר arg(z_A) = arg(z_M) ו-|z_M| = 2|z_A|. מצאו את שיעורי A.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ארגומנטים שווים פירושם ששתי הנקודות על אותה קרן מהראשית
    2. |z_M| = 2|z_A| פירושו ש-A נמצאת בדיוק באמצע הקטע OM
    3. A = ((0 + 6)/2 , (0 + 8)/2) = (3 , 4)
    4. אימות: |z_M| = √(36+64) = 10 ; |z_A| = √(9+16) = 5 ✓

    תשובה: A(3 , 4)

13. שאלה 13 · מספרים מרוכבים

    בסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים z₁, z₂, ... נתון z₁ = 3 + 4i ו-z₅ = 6 + 8i. מצאו את כל האפשרויות למנת הסדרה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. z₅ = z₁ · q⁴
    2. q⁴ = (6 + 8i)/(3 + 4i) = 2(3 + 4i)/(3 + 4i) = 2
    3. q⁴ = 2 = 2·cis 0°
    4. |q| = ⁴√2 והארגומנט: 4θ = 0° + 360°k → θ = 90°k
    5. ארבע אפשרויות: ⁴√2·cis0° , ⁴√2·cis90° , ⁴√2·cis180° , ⁴√2·cis270°
    6. כלומר ⁴√2 , ⁴√2·i , −⁴√2 , −⁴√2·i

    תשובה: q = ⁴√2 · cis(90°k) עבור k = 0,1,2,3 — כלומר ⁴√2 , ⁴√2·i , −⁴√2 , −⁴√2·i

14. שאלה 14 · מספרים מרוכבים

    בסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים z₁ = 3 + 4i, וכל מנה אפשרית מקיימת |q| = ⁴√2. חשבו את הסכום z₁·z̄₁ + z₂·z̄₂ + ... + z₁₀·z̄₁₀.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. לכל מספר מרוכב z·z̄ = |z|²
    2. האיבר הראשון: |z₁|² = 3² + 4² = 25
    3. היחס בין איברים עוקבים: |z₍ₙ₊₁₎|²/|zₙ|² = |q|² = (⁴√2)² = √2
    4. זו סדרה הנדסית עם 10 איברים, איבר ראשון 25 ומנה √2
    5. S = 25((√2)¹⁰ − 1)/(√2 − 1)
    6. (√2)¹⁰ = 2⁵ = 32
    7. S = 25 · 31/(√2 − 1) = 775/(√2 − 1)
    8. נכפול במצומד: S = 775(√2 + 1) ≈ 1,871.02

    תשובה: 775(√2 + 1) ≈ 1,871.02

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות הפונקציות f(x) = (a − x²)/eˣ ו-g(x) = (x + 1)²/eˣ, כאשר a פרמטר. מצאו את a שעבורו מתקיים f(x) = g'(x) לכל x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור את g לפי כלל המנה
    2. g'(x) = [2(x+1)·eˣ − (x+1)²·eˣ] / (eˣ)²
    3. נוציא (x+1)·eˣ כגורם משותף
    4. g'(x) = (x+1)[2 − (x+1)] / eˣ
    5. g'(x) = (x+1)(1 − x)/eˣ = (1 − x²)/eˣ
    6. נשווה ל-f(x) = (a − x²)/eˣ
    7. a = 1

    תשובה: a = 1

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות f(x) = (1 − x²)/eˣ ו-g(x) = (x + 1)²/eˣ. מצאו את נקודות החיתוך של כל אחת מהן עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. eˣ חיובי תמיד ולעולם אינו מתאפס, ולכן רק המונה קובע
    2. עבור f: 1 − x² = 0 → x = ±1 → (1 , 0) ו-(−1 , 0)
    3. f(0) = (1 − 0)/1 = 1 → (0 , 1)
    4. עבור g: (x + 1)² = 0 → x = −1 → (−1 , 0)
    5. g(0) = (0 + 1)²/1 = 1 → (0 , 1)

    תשובה: f: (1,0) , (−1,0) , (0,1) ; g: (−1,0) , (0,1)

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה g(x) = (x + 1)²/eˣ שנגזרתה היא f(x) = (1 − x²)/eˣ. מצאו את נקודות הקיצון של g וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. g'(x) = (1 − x²)/eˣ
    2. המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן נקבע על ידי 1 − x²
    3. 1 − x² = 0 → x = ±1
    4. 1 − x² היא פרבולה הפוכה: שלילית מחוץ ל-[−1,1] וחיובית בפנים
    5. ב-x = −1 המעבר משלילי לחיובי ← מינימום
    6. ב-x = 1 המעבר מחיובי לשלילי ← מקסימום
    7. g(−1) = 0 ; g(1) = 4/e ≈ 1.47

    תשובה: (−1 , 0) מינימום ו-(1 , 4/e) מקסימום

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (1 − x²)/eˣ, שהיא הנגזרת של g(x) = (x + 1)²/eˣ. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f וציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f מתאפסת ב-x = −1 וב-x = 1, ובתחום שביניהם היא חיובית
    2. הפונקציה הקדומה של f היא g, כי f = g'
    3. S = ∫ מ-−1 עד 1 של f(x)dx = g(1) − g(−1)
    4. g(1) = (1 + 1)²/e = 4/e
    5. g(−1) = 0/e^(−1) = 0
    6. S = 4/e − 0 = 4/e ≈ 1.47

    תשובה: 4/e ≈ 1.47

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה g(x) = (ln x − x)/(ln x + x), המוגדרת עבור x > 0. הנקודה A היא חיתוך גרף ln x עם הישר y = −x, ושיעור ה-x שלה הוא a. מצאו את תחום ההגדרה של g ואת האסימפטוטה האופקית שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי: x > 0
    2. המכנה שונה מאפס: ln x + x ≠ 0, כלומר ln x ≠ −x
    3. זו בדיוק הנקודה A, ולכן x ≠ a
    4. כאשר x ← ∞ הביטוי x גדל מהר בהרבה מ-ln x
    5. המנה שואפת ל-(−x)/x = −1
    6. לכן y = −1 אסימפטוטה אופקית מימין

    תשובה: תחום: x > 0 ו-x ≠ a ; אסימפטוטה y = −1

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה g(x) = (ln x − x)/(ln x + x) בתחום x > 0, x ≠ a. מצאו את נקודת הקיצון שלה וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה
    2. g'(x) = [(1/x − 1)(ln x + x) − (1/x + 1)(ln x − x)] / (ln x + x)²
    3. נכפול מונה ומכנה ב-x ונפשט
    4. המונה מצטמצם ל-2x(1 − ln x)
    5. g'(x) = 2(1 − ln x) / (ln x + x)²
    6. המכנה חיובי, לכן הסימן נקבע על ידי 1 − ln x
    7. 1 − ln x = 0 → x = e
    8. לפני e מתקיים ln x < 1 ← הנגזרת חיובית; אחריו שלילית ← מקסימום
    9. g(e) = (1 − e)/(1 + e) — ובערך מוחלט (e−1)/(e+1) בסימן המתאים

    תשובה: (e , (e−1)/(e+1)) מקסימום