שאלון 35572 — מועד מיוחד 2023

20 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גיאומטריה אנליטית

   נתונים שני ישרים: ℓ₁: −3x + 4y − 20 = 0 ו-ℓ₂: x = −4. מצאו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחק שווה משני הישרים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן P(s , t) נקודה על המקום הגיאומטרי
   2. המרחק מ-ℓ₂: |s + 4|
   3. המרחק מ-ℓ₁: |−3s + 4t − 20|/√(9 + 16) = |−3s + 4t − 20|/5
   4. נשווה: 5|s + 4| = |−3s + 4t − 20|
   5. מקרה א׳: 5(s + 4) = −3s + 4t − 20 → 8s − 4t + 40 = 0 → y = 2x + 10
   6. מקרה ב׳: 5(s + 4) = −(−3s + 4t − 20) → 2s + 4t = 0 → y = −½x
   7. שיפועיהם 2 ו-‎−½, ומכפלתם ‎−1 — שני חוצי הזוויות מאונכים כצפוי

   תשובה: שני חוצי הזוויות: y = 2x + 10 ו-y = −½x

2. שאלה 2 · גיאומטריה אנליטית

   מעגל שמרכזו M משיק לשני הישרים ℓ₁: −3x + 4y − 20 = 0 ו-ℓ₂: x = −4. נתון ש-M ברביע הראשון ושנקודת ההשקה עם ℓ₁ היא A(4 , 8). מצאו את שיעורי M.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. M נמצאת במרחק שווה משני הישרים, כלומר על אחד מחוצי הזוויות
   2. ברביע הראשון עובר רק y = 2x + 10, ולכן M(m , 2m + 10)
   3. המרחק מ-ℓ₂ שווה למרחק מ-A: (m + 4)² = (m − 4)² + (2m + 10 − 8)²
   4. m² + 8m + 16 = m² − 8m + 16 + 4m² + 8m + 4
   5. 8m = −8m + 4m² + 8m + 4
   6. 4m² − 8m + 4 = 0 → m² − 2m + 1 = 0 → (m − 1)² = 0
   7. m = 1 → M(1 , 12)

   תשובה: M(1 , 12)

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   הישר x = −4 הוא מדריך של פרבולה קנונית. מצאו את משוואת הפרבולה, ובדקו אם הישר −3x + 4y − 20 = 0 משיק לה בנקודה A(4 , 8).

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מדריך x = −p/2 = −4 → p = 8
   2. משוואת הפרבולה: y² = 2px = 16x
   3. בדיקה ש-A על הפרבולה: 8² = 64 = 16 · 4 ✓
   4. שיפוע המשיק לפרבולה בנקודה (x₀,y₀): m = p/y₀ = 8/8 = 1
   5. שיפוע הישר הנתון: 3/4
   6. 1 ≠ 3/4, ולכן הישר אינו משיק לפרבולה ב-A

   תשובה: הפרבולה y² = 16x ; הישר אינו משיק לה ב-A

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   הפרבולה y² = 16x סימטרית לציר ה-x. מעגל משיק לה בשתי נקודות, ואחת מהן היא A(4 , 8), שבה שיפוע המשיק המשותף הוא 1. מצאו את משוואת המעגל.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. השקה בשתי נקודות סימטריות מחייבת שמרכז המעגל יהיה על ציר הסימטריה, כלומר על ציר ה-x
   2. נסמן N(n , 0)
   3. הרדיוס AN מאונך למשיק, ולכן שיפועו ‎−1
   4. (8 − 0)/(4 − n) = −1 → 8 = n − 4 → n = 12
   5. N(12 , 0)
   6. R² = (4 − 12)² + (8 − 0)² = 64 + 64 = 128
   7. (x − 12)² + y² = 128

   תשובה: (x − 12)² + y² = 128

5. שאלה 5 · וקטורים

   בתיבה ABCDA'B'C'D' מסמנים u = AB, v = AD ו-w = AA'. הביעו את הווקטור BD' באמצעותם.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. BD' = BA + AD + DD'
   2. BA = −u
   3. AD = v
   4. DD' = AA' = w (מקצועות מקבילים ושווים בתיבה)
   5. BD' = −u + v + w

   תשובה: BD' = −u + v + w

6. שאלה 6 · וקטורים

   בתיבה, הנקודה E על DD' מקיימת DE:ED' = 3:2, והנקודה F על BD' מקיימת BF = t·BD'. נתון כי FE מקביל למישור הבסיס ABCD. מצאו את t.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. DE:ED' = 3:2 גורר DE = (3/5)·DD' = (3/5)w
   2. FE = FB + BD + DE
   3. רכיב w ב-FE: −t·w + (3/5)w = (3/5 − t)w
   4. מישור הבסיס נפרש על ידי u ו-v בלבד
   5. כדי ש-FE יהיה מקביל לו, רכיב w חייב להתאפס
   6. 3/5 − t = 0 → t = 3/5
   7. לחלופין לפי משפט תאלס במשולש BDD': FD'/BD' = ED'/DD' = 2/5, ולכן t = 3/5

   תשובה: t = 3/5

7. שאלה 7 · וקטורים

   בתיבה נתון C(0,0,0) בראשית, B על הקרן החיובית של ציר ה-x, D על הקרן החיובית של ציר ה-y, ו-F(4,9,12) מקיימת BF:FD' = 3:2. מצאו את שיעורי B ו-D'.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן B(x , 0 , 0) ו-D'(0 , y , z)
   2. לפי חלוקת קטע ביחס 3:2, המשקל הגדול שייך לנקודה הרחוקה
   3. x: (2x + 3·0)/5 = 4 → 2x = 20 → x = 10
   4. y: (2·0 + 3y)/5 = 9 → 3y = 45 → y = 15
   5. z: (2·0 + 3z)/5 = 12 → 3z = 60 → z = 20
   6. B(10 , 0 , 0) ו-D'(0 , 15 , 20)

   תשובה: B(10 , 0 , 0) ו-D'(0 , 15 , 20)

8. שאלה 8 · וקטורים

   נתונים B(10,0,0) ו-F(4,9,12). מן הנקודה F מעבירים ישר המאונך למישור EFBD, וידוע שווקטור הכיוון שלו הוא מהצורה (m , n , 0). מצאו את היחס בין m ל-n.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. BF = F − B = (4 − 10 , 9 − 0 , 12 − 0) = (−6 , 9 , 12)
   2. BF מונח במישור EFBD, ולכן האנך מאונך לו
   3. (m , n , 0)·(−6 , 9 , 12) = 0
   4. −6m + 9n + 0 = 0
   5. 6m = 9n → m = 1.5n

   תשובה: m = 1.5n

9. שאלה 9 · וקטורים

   מן הנקודה F(4,9,12) מעבירים ישר בכיוון (1.5 , 1 , 0). הישר חותך את המישור x = 0 בנקודה P. מצאו את שיעורי P.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הצגה פרמטרית: (4 + 1.5n , 9 + n , 12)
   2. המישור x = 0: 4 + 1.5n = 0 → n = −8/3
   3. y = 9 + (−8/3) = 27/3 − 8/3 = 19/3 = 6⅓
   4. z = 12 (הרכיב אינו משתנה, כי וקטור הכיוון אופקי)
   5. P(0 , 6⅓ , 12)

   תשובה: P(0 , 6⅓ , 12)

10. שאלה 10 · מספרים מרוכבים

    פתרו את המשוואה z⁶ = 1 במספרים המרוכבים, וכתבו את כל הפתרונות בהצגה קוטבית.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 1 = 1·cis 0°, ולכן |z| = 1
    2. כל הפתרונות על מעגל היחידה x² + y² = 1
    3. 6θ = 0° + 360°k → θ = 60°k
    4. ששת הפתרונות: cis0°, cis60°, cis120°, cis180°, cis240°, cis300°
    5. הם קודקודי משושה משוכלל החסום במעגל היחידה

    תשובה: cis0°, cis60°, cis120°, cis180°, cis240°, cis300°

11. שאלה 11 · מספרים מרוכבים

    המקום הגיאומטרי y = −1/(2x) חותך את מעגל היחידה x² + y² = 1. מצאו את נקודת החיתוך שברביע הרביעי.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב: x² + 1/(4x²) = 1
    2. נכפול ב-4x²: 4x⁴ + 1 = 4x²
    3. 4x⁴ − 4x² + 1 = 0
    4. נזהה ריבוע שלם: (2x² − 1)² = 0
    5. 2x² = 1 → x² = ½ → x = ±√2/2
    6. ברביע הרביעי x חיובי ו-y שלילי: x = √2/2
    7. y = −1/(2·√2/2) = −1/√2 = −√2/2
    8. A(√2/2 , −√2/2)

    תשובה: A(√2/2 , −√2/2)

12. שאלה 12 · מספרים מרוכבים

    הנקודה A(√2/2 , −√2/2) על מעגל היחידה היא קודקוד של משושה משוכלל חסום. כתבו את ששת המספרים המרוכבים המייצגים את קודקודיו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. |z_A| = √(½ + ½) = 1
    2. tan θ = (−√2/2)/(√2/2) = −1, וברביע הרביעי θ = −45°
    3. z_A = cis(−45°)
    4. במשושה משוכלל הזווית המרכזית בין קודקודים היא 360°/6 = 60°
    5. הקודקודים: cis(−45°), cis15°, cis75°, cis135°, cis195°, cis255°

    תשובה: cis(−45°), cis15°, cis75°, cis135°, cis195°, cis255°

13. שאלה 13 · מספרים מרוכבים

    נתונים שני משושים משוכללים חסומים במעגל היחידה: משושה I שקודקודיו cis(60°k) ומשושה II שקודקודיו cis(−45° + 60°k). מצאו מספר מרוכב w = r·cis α עם 0° < α < 60° שהכפלה בו מעבירה קודקוד של I לקודקוד של II.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שני המשושים חסומים באותו מעגל שרדיוסו 1, ולכן r = 1
    2. הכפלה במספר בגודל 1 היא סיבוב בלבד
    3. נבדוק את ההפרש בין ארגומנט של קודקוד ב-I לקודקוד ב-II
    4. cis0° · cis15° = cis15°, שהוא קודקוד של II ✓
    5. 15° נמצא בתחום הנדרש
    6. w = cis 15°

    תשובה: w = cis 15°

14. שאלה 14 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 4·e^(−x²/4). מצאו את שיעורי ה-x של נקודות הפיתול שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f'(x) = 4·e^(−x²/4)·(−x/2) = −2x·e^(−x²/4)
    2. נגזור שוב לפי כלל המכפלה
    3. f''(x) = −2·e^(−x²/4) + (−2x)·e^(−x²/4)·(−x/2)
    4. f''(x) = e^(−x²/4)·(−2 + x²)
    5. e^(−x²/4) חיובי תמיד, ולכן x² − 2 = 0
    6. x = ±√2
    7. x² − 2 היא פרבולה שמחליפה סימן בשתי הנקודות ← שתיהן נקודות פיתול

    תשובה: x = √2 ו-x = −√2

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f'(x) = −2x·e^(−x²/4) ונתון f(0) = 4. מצאו את f(x).

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(x) = ∫ −2x·e^(−x²/4) dx
    2. נזהה נגזרת פנימית: הנגזרת של ‎−x²/4 היא ‎−x/2
    3. נכתוב: −2x = 4·(−x/2)
    4. f(x) = 4∫ (−x/2)·e^(−x²/4) dx = 4·e^(−x²/4) + c
    5. נציב f(0) = 4: 4·e⁰ + c = 4 → 4 + c = 4 → c = 0
    6. f(x) = 4·e^(−x²/4)

    תשובה: f(x) = 4·e^(−x²/4)

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 4·e^(−x²/4). הראו שהפונקציה זוגית, ומצאו את האסימפטוטה האופקית ואת נקודת הקיצון.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(−x) = 4·e^(−(−x)²/4) = 4·e^(−x²/4) = f(x), ולכן זוגית
    2. כאשר x ← ±∞ מתקיים ‎−x²/4 ← −∞, ולכן e^(−x²/4) ← 0
    3. y = 0 אסימפטוטה אופקית בשני הכיוונים
    4. f'(x) = −2x·e^(−x²/4) מתאפסת רק ב-x = 0
    5. לפני 0 הנגזרת חיובית ואחריו שלילית ← מקסימום
    6. f(0) = 4·e⁰ = 4 → (0 , 4)

    תשובה: זוגית ; אסימפטוטה y = 0 ; מקסימום ב-(0 , 4)

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (ln x − 1)/ln x. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בלוגריתם חיובי: x > 0
    2. המכנה שונה מאפס: ln x ≠ 0 → x ≠ 1
    3. חיתוך עם ציר ה-x: ln x − 1 = 0 → ln x = 1 → x = e
    4. הנקודה: (e , 0)

    תשובה: תחום x > 0 ו-x ≠ 1 ; חיתוך ב-(e , 0)

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (ln x − 1)/ln x. הראו כי אפשר לכתוב אותה כ-f(x) = 1 − 1/ln x, ומצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. (ln x − 1)/ln x = ln x/ln x − 1/ln x = 1 − 1/ln x
    2. x = 1 מאפס את המכנה ולא את המונה, ולכן אסימפטוטה אנכית
    3. כאשר x ← ∞ מתקיים ln x ← ∞, ולכן 1/ln x ← 0
    4. f(x) ← 1 − 0 = 1
    5. y = 1 אסימפטוטה אופקית מימין

    תשובה: f(x) = 1 − 1/ln x ; אסימפטוטות x = 1 ו-y = 1

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 1 − 1/ln x בתחום x > 0, x ≠ 1. מצאו את תחומי העלייה והירידה שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(x) = 1 − (ln x)^(−1)
    2. f'(x) = (ln x)^(−2) · (1/x) = 1/(x·(ln x)²)
    3. נשים לב שהנגזרת של ‎−(ln x)^(−1) היא +(ln x)^(−2)·(1/x)
    4. x > 0 ו-(ln x)² > 0 בכל תחום ההגדרה
    5. לכן f'(x) > 0 תמיד ← הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה
    6. x = 1 אינו בתחום ומפצל אותו לשני קטעי עלייה נפרדים

    תשובה: עולה בכל תחום ההגדרה — ב-0 < x < 1 וב-x > 1

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה g(x) = ln(−f(x)), כאשר f(x) = 1 − 1/ln x. מצאו את תחום ההגדרה של g.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בלוגריתם חייב להיות חיובי: −f(x) > 0, כלומר f(x) < 0
    2. f(x) = (ln x − 1)/ln x שלילית כשהמונה והמכנה בסימנים מנוגדים
    3. מקרה א׳: ln x > 0 ו-ln x − 1 < 0 → 1 < x < e ✓
    4. מקרה ב׳: ln x < 0 ו-ln x − 1 > 0 — דורש x < 1 וגם x > e, בלתי אפשרי
    5. בדיקה ב-x = 2: f(2) = (0.693 − 1)/0.693 ≈ −0.44 < 0 ✓
    6. בדיקה ב-x = 5: f(5) = 0.609/1.609 ≈ 0.38 > 0 ✗
    7. תחום ההגדרה: 1 < x < e

    תשובה: 1 < x < e