מורה מתמטיקה AI
דילוג לתוכן הראשי

שאלון 35572 — קיץ מועד ב׳ 2024

25 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

לתרגל מבחן מלא בזמן אמתלשאול את נועה על שאלה

  1. שאלה 1 · גיאומטריה אנליטית

    נתון מעוין שאלכסונו AC אורכו 10 ומרכזו בראשית הצירים O, כך ש-A(5 , 0). מורידים אנך OM מן הראשית אל הצלע AB, ואורכו √5. מצאו את משוואת הצלע AB.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. המשולש MOA ישר זווית ב-M, עם OA = 5 ו-OM = √5
    2. cos∠MOA = OM/OA = √5/5 → ∠MOA ≈ 63.43°
    3. השיפוע הוא הטנגנס של הזווית עם הכיוון החיובי של ציר ה-x
    4. AB יורד, ולכן m = −tan 63.43° = −0.5
    5. משוואה דרך A(5 , 0): y − 0 = −0.5(x − 5)
    6. y = −0.5x + 2.5

    תשובה: y = −0.5x + 2.5

  2. שאלה 2 · גיאומטריה אנליטית

    במעוין שמרכזו בראשית הצירים, האנך מן הראשית אל הצלע AB אורכו √5. מצאו את משוואת המעגל החסום במעוין.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. במעוין האלכסונים הם חוצי זוויות
    2. לכן מרכז המעגל החסום נמצא במפגש האלכסונים, כלומר בראשית הצירים
    3. כל צלע משיקה למעגל, והרדיוס הוא המרחק מהמרכז אל הצלע
    4. R = OM = √5
    5. x² + y² = 5

    תשובה: x² + y² = 5

  3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

    נתון המעגל x² + y² = 5 ומשוואת הצלע y = −0.5x + 2.5. מצאו את שיעורי נקודת ההשקה M של המעגל והמעוין ברביע הראשון.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. M היא רגל האנך מהראשית אל הישר, כלומר OM ⊥ AB
    2. שיפוע AB הוא ‎−0.5, לכן שיפוע OM הוא 2
    3. OM עובר בראשית: y = 2x
    4. נציב במשוואת הצלע: 2x = −0.5x + 2.5
    5. 2.5x = 2.5 → x = 1
    6. y = 2 · 1 = 2 → M(1 , 2)

    תשובה: M(1 , 2)

  4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

    מן הנקודה M(1 , 2) מורידים אנך לציר ה-x, החותך אותו בנקודה K(1 , 0). מצאו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחק שווה מן הנקודה K ומן הישר x = −1.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. נקודה במרחק שווה מנקודה קבועה ומישר קבוע נמצאת על פרבולה
    2. K(1 , 0) הוא המוקד והישר x = −1 הוא המדריך
    3. המרחק בין המוקד למדריך הוא 2, כלומר p = 2
    4. הקודקוד באמצע ביניהם, בראשית הצירים
    5. בדיקה ישירה: (x−1)² + y² = (x+1)²
    6. x² − 2x + 1 + y² = x² + 2x + 1
    7. y² = 4x

    תשובה: פרבולה שמשוואתה y² = 4x

  5. שאלה 5 · גיאומטריה אנליטית

    הנקודה N נמצאת על הפרבולה y² = 4x ברביע הראשון, כאשר x = 5. מעגל שמרכזו N משיק למעגל x² + y² = 5. מצאו את כל משוואות המעגל שמרכזו N.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. N על הפרבולה: y² = 4 · 5 = 20 → y = 2√5 ברביע הראשון → N(5 , 2√5)
    2. אורך קטע המרכזים: ON = √(5² + (2√5)²) = √(25 + 20) = √45 = 3√5
    3. רדיוס המעגל הנתון: √5
    4. השקה מבחוץ: r + √5 = 3√5 → r = 2√5 → r² = 20
    5. השקה מבפנים: R − √5 = 3√5 → R = 4√5 → R² = 80
    6. שתי המשוואות: (x−5)² + (y−2√5)² = 20 ו- (x−5)² + (y−2√5)² = 80

    תשובה: (x−5)² + (y−2√5)² = 20 או (x−5)² + (y−2√5)² = 80

  6. שאלה 6 · וקטורים

    נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ריבוע. הנקודה E היא מפגש אלכסוני הבסיס והנקודה F היא אמצע הצלע BC. מסמנים SE = u, SF = v ו-SB = w. הביעו את הווקטורים BC ו-DC באמצעות u, v ו-w.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. F אמצע BC, לכן BC = 2·BF
    2. BF = BS + SF = −w + v
    3. BC = 2(v − w) = 2v − 2w
    4. E מפגש האלכסונים ולכן אמצע הריבוע; EF מחבר אמצע לאמצע צלע, ו-DC = 2·EF
    5. EF = ES + SF = −u + v
    6. DC = 2(−u + v) = −2u + 2v

    תשובה: BC = 2v − 2w ו-DC = −2u + 2v

  7. שאלה 7 · וקטורים

    בפירמידה SABCD שבסיסה ריבוע, SE הוא גובה הפירמידה כאשר E מפגש אלכסוני הבסיס. נתון |u| = |SE| = 7, וכן BC = 2v − 2w ו-DC = −2u + 2v. מצאו את המכפלה הסקלרית u·w.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. SE הוא גובה, ולכן u מאונך לכל וקטור המונח במישור הבסיס
    2. u·DC = 0: u·(−2u + 2v) = 0
    3. −2u² + 2u·v = 0 → u·v = u² = 49
    4. u·BC = 0: u·(2v − 2w) = 0
    5. 2u·v − 2u·w = 0 → u·w = u·v
    6. u·w = 49

    תשובה: u·w = 49

  8. שאלה 8 · וקטורים

    בפירמידה SABCD שבסיסה ריבוע, נתון הווקטור BA = (−3 , 4 , 5) וגובה הפירמידה SE = 7, כאשר E מפגש אלכסוני הבסיס. מצאו את הזווית שבין המקצוע SB לבין מישור הבסיס.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. אורך צלע הריבוע: |BA| = √((−3)² + 4² + 5²) = √50 = 5√2
    2. אלכסון הריבוע: BD = 5√2 · √2 = 10
    3. E אמצע האלכסון, לכן BE = 5
    4. ההיטל של SB על מישור הבסיס הוא BE, ולכן הזווית המבוקשת היא ∠SBE
    5. המשולש SBE ישר זווית ב-E
    6. tan∠SBE = SE/BE = 7/5
    7. ∠SBE ≈ 54.46°

    תשובה: כ-54.46°

  9. שאלה 9 · וקטורים

    מישור הבסיס של פירמידה מקביל לציר ה-z ועובר בנקודה E(0 , 4 , 5). וקטור המונח במישור זה הוא (−3 , 4 , 5). מצאו את משוואת המישור.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. מישור מקביל לציר ה-z, לכן וקטור הנורמל שלו מאונך לציר ה-z
    2. כלומר הנורמל מהצורה (a , b , 0)
    3. הנורמל מאונך לווקטור שבמישור: (a , b , 0)·(−3 , 4 , 5) = 0
    4. −3a + 4b = 0 → נבחר a = 4 , b = 3
    5. משוואת המישור: 4x + 3y + d = 0
    6. נציב את E(0 , 4 , 5): 0 + 12 + d = 0 → d = −12
    7. 4x + 3y − 12 = 0

    תשובה: 4x + 3y − 12 = 0

  10. שאלה 10 · וקטורים

    נתון מישור הבסיס 4x + 3y − 12 = 0 והנקודה E(0 , 4 , 5). הקודקוד B נמצא על מישור זה, שיעור ה-x שלו הוא 3, ומתקיים BE = 5. מצאו את שיעורי B.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. נציב x = 3 במשוואת המישור: 4·3 + 3y − 12 = 0
    2. 3y = 0 → y = 0
    3. נסמן B(3 , 0 , b)
    4. BE = 5: √((3−0)² + (0−4)² + (b−5)²) = 5
    5. 9 + 16 + (b−5)² = 25
    6. (b−5)² = 0 → b = 5
    7. B(3 , 0 , 5)

    תשובה: B(3 , 0 , 5)

  11. שאלה 11 · מספרים מרוכבים

    פתרו את המשוואה z⁶ + 64i = 0, כאשר z מספר מרוכב. כתבו את כל הפתרונות בהצגה קוטבית.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. z⁶ = −64i
    2. ‎−64i בהצגה קוטבית: 64·cis 270°
    3. הגודל: r⁶ = 64 → r = 2
    4. הארגומנט: 6θ = 270° + 360°k → θ = 45° + 60°k
    5. ששת הפתרונות: 2cis45°, 2cis105°, 2cis165°, 2cis225°, 2cis285°, 2cis345°

    תשובה: z = 2·cis(45° + k·60°) עבור k = 0,1,2,3,4,5

  12. שאלה 12 · מספרים מרוכבים

    פתרו את המשוואה (z⁶ + 64i)/(z² − 4i) = 0, כאשר z מספר מרוכב. נתון כי פתרונות המונה הם 2cis(45° + k·60°).

    פתרון שלב אחר שלב
    1. מנה מתאפסת כאשר המונה אפס והמכנה שונה מאפס
    2. פתרונות המונה: 2cis45°, 2cis105°, 2cis165°, 2cis225°, 2cis285°, 2cis345°
    3. המכנה מתאפס כאשר z² = 4i = 4cis90°
    4. r² = 4 → r = 2 ; 2θ = 90° + 360°k → θ = 45° או 225°
    5. לכן 2cis45° ו-2cis225° נפסלים
    6. נשארים ארבעה פתרונות: 2cis105°, 2cis165°, 2cis285°, 2cis345°

    תשובה: 2cis105°, 2cis165°, 2cis285°, 2cis345°

  13. שאלה 13 · מספרים מרוכבים

    הנקודות A, B, C, D מייצגות את המספרים 2cis105°, 2cis165°, 2cis285°, 2cis345° בהתאמה. הוכיחו כי המרובע ABCD הוא מלבן, ומצאו את שטחו.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. לכל ארבעת המספרים אותו גודל: |z| = 2
    2. 105° ו-285° נבדלים ב-180°, ולכן A ו-C נגדיים
    3. 165° ו-345° נבדלים ב-180°, ולכן B ו-D נגדיים
    4. שני זוגות נגדיים פירושם שהאלכסונים נפגשים בראשית וחוצים זה את זה
    5. כל האלכסונים באורך 4 (פעמיים הרדיוס), כלומר שווים
    6. מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן
    7. הזווית החדה בין האלכסונים: 165° − 105° = 60°
    8. S = (d₁ · d₂ · sin60°)/2 = (4 · 4 · (√3/2))/2 = 4√3

    תשובה: מלבן ששטחו 4√3

  14. שאלה 14 · מספרים מרוכבים

    המרובע שקודקודיו 2cis105°, 2cis165°, 2cis285°, 2cis345° מסובב סביב ראשית הצירים בזווית α נגד כיוון השעון, כאשר 0° < α < 90°. מצאו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את הקודקודים לאחר הסיבוב, עבור α = 45°.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. סיבוב נגד כיוון השעון מגדיל כל ארגומנט ב-α
    2. עבור α = 45°: הארגומנטים הופכים ל-150°, 210°, 330°, 30°
    3. בהכפלת מספרים מרוכבים מכפילים גדלים ומחברים ארגומנטים
    4. הגודל: 2⁴ = 16
    5. הארגומנט: 150 + 210 + 330 + 30 = 720°
    6. 16·cis 720° = 16·cis 0° = 16

    תשובה: 16

  15. שאלה 15 · מספרים מרוכבים

    המספרים 2cis(105°+α), 2cis(165°+α), 2cis(285°+α), 2cis(345°+α) מייצגים את קודקודי מרובע מסובב, כאשר 0° < α < 90°. מצאו עבור אילו ערכי α מכפלת ארבעת המספרים היא מספר מדומה טהור, ומהו ערך המכפלה.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. הגודל: 2⁴ = 16
    2. הארגומנט: 105 + 165 + 285 + 345 + 4α = 900° + 4α
    3. 900° שקול ל-180°, ולכן המכפלה היא 16·cis(180° + 4α)
    4. מספר מדומה טהור דורש ארגומנט 90° או 270°
    5. 180 + 4α = 270 → 4α = 90 → α = 22.5° ✓ בתחום
    6. 180 + 4α = 450 → 4α = 270 → α = 67.5° ✓ בתחום
    7. α = 22.5°: 16·cis 270° = −16i
    8. α = 67.5°: 16·cis 450° = 16·cis 90° = 16i

    תשובה: α = 22.5° נותן ‎−16i , ו-α = 67.5° נותן 16i

  16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות הפונקציות k(x) = x·eˣ ו-m(x) = 2eˣ − 1, המוגדרות לכל x. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של כל אחת מהן.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. כאשר x ← ‎−∞ מתקיים eˣ ← 0
    2. ב-k: המכפלה x·eˣ שואפת ל-0, כי eˣ דועך מהר יותר מאשר x גדל
    3. לכן y = 0 אסימפטוטה אופקית משמאל
    4. ב-m: 2·0 − 1 = −1, לכן y = −1 אסימפטוטה אופקית משמאל
    5. כאשר x ← ‎+∞ שתי הפונקציות שואפות לאינסוף — אין אסימפטוטה אופקית מימין
    6. שתי הפונקציות מוגדרות ורציפות לכל x, ולכן אין אסימפטוטה אנכית

    תשובה: k: y = 0 משמאל ; m: y = −1 משמאל ; לשתיהן אין אסימפטוטה אנכית

  17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות הפונקציות k(x) = x·eˣ ו-m(x) = 2eˣ − 1. מצאו את תחומי העלייה והירידה של כל אחת מהן, ואת נקודות הקיצון אם קיימות.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. k'(x) = 1·eˣ + x·eˣ = eˣ(x + 1)
    2. eˣ חיובי תמיד, לכן הסימן נקבע על ידי x + 1
    3. x < −1: הנגזרת שלילית ← ירידה
    4. x > −1: הנגזרת חיובית ← עלייה
    5. k(−1) = −1·e^(−1) = −1/e ← מינימום ב-(−1 , −1/e)
    6. m'(x) = 2eˣ, שחיובי לכל x
    7. לכן m עולה בכל התחום ואין לה נקודות קיצון

    תשובה: k: יורדת ב-x < −1, עולה ב-x > −1, מינימום (−1 , −1/e). m: עולה תמיד, בלי נקודות קיצון

  18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (eˣ − 1)/(x − 1), המוגדרת לכל x ≠ 1. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים ואת נקודת החיתוך עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. כאשר x ← ‎−∞: המונה שואף ל-‎−1 והמכנה ל-‎−∞
    2. המנה שואפת ל-0, לכן y = 0 אסימפטוטה אופקית משמאל
    3. כאשר x ← ‎+∞: eˣ גדל מהר יותר מ-x, ולכן אין אסימפטוטה אופקית מימין
    4. x = 1 מאפס את המכנה ולא את המונה (e − 1 ≠ 0), לכן x = 1 אסימפטוטה אנכית
    5. חיתוך עם ציר ה-x: eˣ − 1 = 0 → eˣ = 1 → x = 0
    6. f(0) = (1 − 1)/(0 − 1) = 0, ולכן הגרף עובר בראשית: (0 , 0)

    תשובה: אסימפטוטות y = 0 משמאל ו-x = 1 ; חיתוך ב-(0 , 0)

  19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (eˣ − 1)/(x − 1) לכל x ≠ 1. נתון גם כי הגרפים של k(x) = x·eˣ ו-m(x) = 2eˣ − 1 נחתכים בדיוק בשתי נקודות, x = a ו-x = b. הסבירו מדוע למשוואה f'(x) = 0 יש בדיוק שני פתרונות.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. נגזור לפי כלל המנה: f'(x) = [eˣ(x − 1) − (eˣ − 1)·1] / (x − 1)²
    2. המונה: x·eˣ − eˣ − eˣ + 1 = x·eˣ − 2eˣ + 1
    3. נזהה: x·eˣ − 2eˣ + 1 = k(x) − m(x)
    4. המכנה (x − 1)² חיובי בכל תחום ההגדרה ואינו מתאפס
    5. לכן f'(x) = 0 בדיוק כאשר k(x) = m(x)
    6. נתון שהגרפים נחתכים בשתי נקודות בלבד, ולכן יש בדיוק שני פתרונות

    תשובה: מונה הנגזרת שווה ל-k(x) − m(x), שמתאפס בדיוק פעמיים

  20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות k(x) = x·eˣ ו-m(x) = 2eˣ − 1, הנחתכות בנקודות x = a ו-x = b כאשר a < b. הסבירו מדוע b > 1.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. k(1) = 1 · e = e ≈ 2.72
    2. m(1) = 2e − 1 ≈ 4.44
    3. m(1) > k(1), כלומר ב-x = 1 עדיין m מעל k
    4. k(2) = 2e² ≈ 14.78 ו-m(2) = 2e² − 1 ≈ 13.78, כלומר k כבר מעל m
    5. המעבר מתרחש בין 1 ל-2
    6. לכן נקודת החיתוך הימנית מקיימת b > 1

    תשובה: כי בנקודה x = 1 מתקיים עדיין m(1) > k(1)

  21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (eˣ − 1)/(x − 1) לכל x ≠ 1, כאשר מונה הנגזרת הוא k(x) − m(x) עם k(x) = x·eˣ ו-m(x) = 2eˣ − 1. נתון שהן נחתכות ב-x = a ו-x = b כאשר a < 1 < b. מצאו את תחומי העלייה והירידה של f.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. המכנה (x − 1)² חיובי תמיד, לכן סימן הנגזרת הוא סימן k(x) − m(x)
    2. מחוץ לשתי נקודות החיתוך מתקיים k(x) > m(x), ולכן f' > 0
    3. בין שתי נקודות החיתוך מתקיים k(x) < m(x), ולכן f' < 0
    4. עלייה: x < a או x > b
    5. ירידה: a < x < 1 או 1 < x < b
    6. x = 1 אינו בתחום ההגדרה ולכן מפצל את תחום הירידה לשניים

    תשובה: עולה ב-x < a ו-ב-x > b ; יורדת ב-a < x < 1 וב-1 < x < b

  22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (2·ln x − 1)/x, המוגדרת בתחום x > 0. מצאו את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. בנקודת החיתוך עם ציר ה-x מתקיים f(x) = 0
    2. המכנה x חיובי בכל התחום ואינו מתאפס
    3. 2·ln x − 1 = 0
    4. ln x = 0.5
    5. x = e⁰.5 = √e
    6. הנקודה: (√e , 0)

    תשובה: (√e , 0)

  23. שאלה 23 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (2·ln x − 1)/x בתחום x > 0. הפונקציה g(x) מוגדרת באותו תחום ומקיימת g'(x) = f(x). נתון כי בנקודת הקיצון של g מתקיים g(√e) = −1/4. מצאו את g(x).

    פתרון שלב אחר שלב
    1. g(x) = ∫ (2·ln x − 1)/x dx
    2. נפצל: ∫ 2·(ln x)·(1/x) dx − ∫ (1/x) dx
    3. נזהה נגזרת פנימית: (ln x)·(1/x) היא הנגזרת של (ln x)²/2
    4. g(x) = (ln x)² − ln x + c
    5. נציב את הנקודה (√e , −1/4): ln√e = 0.5
    6. 0.5² − 0.5 + c = −0.25
    7. 0.25 − 0.5 + c = −0.25 → c = 0
    8. g(x) = (ln x)² − ln x

    תשובה: g(x) = (ln x)² − ln x

  24. שאלה 24 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה g(x) = (ln x)² − ln x בתחום x > 0. מצאו את נקודות החיתוך של גרף g עם ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. (ln x)² − ln x = 0
    2. נוציא גורם משותף: ln x · (ln x − 1) = 0
    3. ln x = 0 → x = 1
    4. ln x = 1 → x = e
    5. הנקודות: (1 , 0) ו-(e , 0)

    תשובה: (1 , 0) ו-(e , 0)

  25. שאלה 25 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה g(x) = (ln x)² − ln x, שנקודת המינימום שלה היא (√e , −1/4). נתונה הפונקציה h(x) = b/g(x) + 1, כאשר b > 1/4 פרמטר. מצאו את תחום ההגדרה של h, את נקודת המקסימום שלה, והסבירו מדוע הגרף אינו חותך את ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב
    1. תחום ההגדרה של g הוא x > 0, ובנוסף g(x) ≠ 0
    2. g מתאפסת ב-x = 1 וב-x = e, ולכן x > 0 , x ≠ 1 , x ≠ e
    3. בפונקציה b/g, ערך מינימלי של g נותן ערך קיצוני של המנה — תחומי העלייה והירידה מתהפכים
    4. לכן המינימום של g ב-√e הופך למקסימום של h
    5. h(√e) = b/(−1/4) + 1 = −4b + 1
    6. המקסימום: (√e , −4b + 1)
    7. b > 1/4, ולכן −4b + 1 < 0
    8. הערך הגדול ביותר של h שלילי, ולכן הגרף כולו מתחת לציר ה-x ואינו חותך אותו

    תשובה: תחום x > 0 עם x ≠ 1 ו-x ≠ e ; מקסימום (√e , −4b + 1) ; אין חיתוך עם ציר ה-x

מועדים נוספים בשאלון 35572

וואטסאפ