שאלון 35572 — חורף 2025

26 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גיאומטריה אנליטית

   נתונות הנקודות A(−9a , 0) ו-B(41a , 0), כאשר a > 0 פרמטר. הנקודה P מקיימת ∠APB = 90°. מצאו את משוואת המקום הגיאומטרי של הנקודה P.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. כל הנקודות שמהן רואים קטע בזווית של 90° נמצאות על מעגל שהקטע הוא קוטר בו
   2. מרכז המעגל הוא אמצע AB: ((−9a + 41a)/2 , 0) = (16a , 0)
   3. הרדיוס הוא חצי מ-AB: (41a − (−9a))/2 = 50a/2 = 25a
   4. משוואת המעגל: (x − 16a)² + y² = (25a)²
   5. (x − 16a)² + y² = 625a²

   תשובה: (x − 16a)² + y² = 625a²

2. שאלה 2 · גיאומטריה אנליטית

   הנקודות A(−9a , 0) ו-B(41a , 0) והנקודה P נעה על המעגל (x − 16a)² + y² = 625a². נתון כי השטח הגדול ביותר של המשולש APB הוא 156.25. מצאו את a.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אורך הבסיס קבוע: AB = 41a − (−9a) = 50a
   2. השטח מקסימלי כאשר הגובה מן P אל AB מקסימלי
   3. הגובה המקסימלי הוא הרדיוס: h = 25a, כלומר P בקצה העליון של המעגל
   4. S = (50a · 25a)/2 = 625a²
   5. 625a² = 156.25 → a² = 0.25
   6. a = 0.5 (נפסל a = −0.5 כי a > 0)

   תשובה: a = 0.5

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   נתון המעגל (x − 8)² + y² = 156.25 שמרכזו M(8 , 0). נתונה פרבולה קנונית מהצורה y² = 2px שמוקדה הוא M. מצאו את משוואת הפרבולה ואת שיעורי נקודת החיתוך C של הפרבולה עם המעגל ברביע הראשון.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מוקד פרבולה קנונית נמצא ב-(p/2 , 0)
   2. p/2 = 8 → p = 16, ולכן y² = 32x
   3. נציב במשוואת המעגל: (x − 8)² + 32x = 156.25
   4. x² − 16x + 64 + 32x = 156.25
   5. x² + 16x − 92.25 = 0
   6. x = 4.5 או x = −20.5 (נפסל, הפרבולה אינה עוברת משמאל לציר ה-y)
   7. y² = 32 · 4.5 = 144 → y = 12 ברביע הראשון
   8. C(4.5 , 12)

   תשובה: y² = 32x ו-C(4.5 , 12)

4. שאלה 4 · גיאומטריה אנליטית

   נתון המעגל (x − 8)² + y² = 156.25 ופרבולה y² = 32x הנחתכים בנקודה C(4.5 , 12). מעבירים משיק לפרבולה בנקודה C, ומשיק למעגל המקביל לו. מצאו את המרחק בין שני המשיקים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. משוואת המשיק לפרבולה y² = 2px בנקודה (x₀ , y₀): y·y₀ = p(x + x₀)
   2. 12y = 16(x + 4.5) → 4x − 3y + 18 = 0
   3. מרחק מרכז המעגל M(8 , 0) מהמשיק: d = |4·8 − 3·0 + 18| / √(4² + 3²)
   4. d = 50/5 = 10
   5. רדיוס המעגל: R = √156.25 = 12.5
   6. יש שני משיקים מקבילים למעגל, אחד מכל צד
   7. המרחקים: 12.5 − 10 = 2.5 ו- 12.5 + 10 = 22.5

   תשובה: 2.5 או 22.5

5. שאלה 5 · וקטורים

   נתונה פירמידה משולשת SABC. הנקודה E נמצאת על הצלע BC, ומסמנים AE = u ו-EC = v. נתון כי |u + v| = |u − v|. הוכיחו כי AE מאונך ל-BC.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נעלה את שני האגפים בריבוע
   2. (u + v)·(u + v) = (u − v)·(u − v)
   3. u² + 2u·v + v² = u² − 2u·v + v²
   4. 4u·v = 0 → u·v = 0
   5. מכפלה סקלרית אפס בין שני וקטורים שאינם אפס פירושה ניצבות
   6. u מונח על AE ו-v מונח על BC, ולכן AE ⊥ BC

   תשובה: המכפלה הסקלרית u·v שווה לאפס, ולכן AE ⊥ BC

6. שאלה 6 · וקטורים

   בפירמידה משולשת SABC, הקודקוד A בראשית הצירים A(0,0,0) ו-B(6,8,0). הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה-x. נתון AC = AB. מצאו את שיעורי הקודקוד C ואת שיעורי הנקודה E, אמצע הצלע BC.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. C על החלק החיובי של ציר ה-x, לכן C(c , 0 , 0) עם c > 0
   2. AB = √(6² + 8² + 0²) = √100 = 10
   3. AC = c, ומהנתון AC = AB נקבל c = 10
   4. C(10 , 0 , 0)
   5. E אמצע BC: ((6+10)/2 , (8+0)/2 , (0+0)/2)
   6. E(8 , 4 , 0)

   תשובה: C(10 , 0 , 0) ו-E(8 , 4 , 0)

7. שאלה 7 · וקטורים

   בפירמידה משולשת SABC נתונים A(0,0,0), B(6,8,0), C(10,0,0) ו-E(8,4,0) אמצע BC. הקטע SE הוא גובה בפירמידה ואורכו 20, כאשר שיעור ה-z של S חיובי. מצאו את שיעורי הקודקוד S.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שלושת קודקודי הבסיס מקיימים z = 0, לכן משוואת מישור ABC היא z = 0
   2. גובה לבסיס זה מקביל לציר ה-z
   3. לכן S נמצא ישירות מעל E: אותם x ו-y
   4. x_S = 8 , y_S = 4
   5. SE = 20 ו-z_S > 0, לכן z_S = 20
   6. S(8 , 4 , 20)

   תשובה: S(8 , 4 , 20)

8. שאלה 8 · וקטורים

   בפירמידה SABC נתונים S(8,4,20) ו-C(10,0,0). הנקודה F נמצאת על המקצוע SC כך ש-SF = ¼·SC. מצאו את שיעורי הנקודה F.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. SF = ¼SC פירושו ש-F מחלקת את SC ביחס SF:FC = 1:3
   2. לפי נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון, F קרובה ל-S במשקל 3
   3. x: (3·8 + 1·10)/4 = 34/4 = 8.5
   4. y: (3·4 + 1·0)/4 = 12/4 = 3
   5. z: (3·20 + 1·0)/4 = 60/4 = 15
   6. F(8.5 , 3 , 15)

   תשובה: F(8.5 , 3 , 15)

9. שאלה 9 · וקטורים

   נתונה הנקודה F(8.5 , 3 , 15). דרך F מעבירים ישר המקביל לישר AC, כאשר AC מונח על ציר ה-x. כתבו הצגה פרמטרית של הישר, והסבירו מדוע הוא מקביל למישור z = 0.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. AC מונח על ציר ה-x, לכן וקטור הכיוון הוא (1 , 0 , 0)
   2. הצגה פרמטרית: (x , y , z) = (8.5 , 3 , 15) + t(1 , 0 , 0)
   3. כלומר x = 8.5 + t , y = 3 , z = 15
   4. שיעור ה-z קבוע ושווה 15 לאורך כל הישר
   5. הישר מקביל למישור z = 0 כי הוא מקביל לישר שבתוכו, ו-F עצמה אינה על המישור

   תשובה: (x , y , z) = (8.5 , 3 , 15) + t(1 , 0 , 0)

10. שאלה 10 · וקטורים

    בפירמידה SABC עם A(0,0,0) ו-S(8,4,20), הנקודה F(8.5,3,15) נמצאת על SC כך ש-SF:FC = 1:3. הישר שעובר דרך F ומקביל ל-AC חותך את המישור ABS בנקודה M. מצאו את שיעורי M.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. במשולש ACS, הישר FM מקביל ל-AC
    2. לפי משפט תאלס: SM/MA = SF/FC = 1/3
    3. לכן M מחלקת את SA ביחס 1:3, קרוב ל-S
    4. x: (3·8 + 1·0)/4 = 6
    5. y: (3·4 + 1·0)/4 = 3
    6. z: (3·20 + 1·0)/4 = 15
    7. M(6 , 3 , 15)

    תשובה: M(6 , 3 , 15)

11. שאלה 11 · גופים במרחב

    בפירמידה SABC, הנקודה E היא אמצע BC. נתונות שתי פירמידות: MABC ו-FAEC, כאשר M ו-F נמצאות שתיהן בגובה z = 15. פי כמה גדול נפח הפירמידה MABC מנפח הפירמידה FAEC?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. E אמצע BC, לכן AE הוא תיכון במשולש ABC
    2. תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח: S(ABC) = 2·S(AEC)
    3. שני הבסיסים מונחים על המישור z = 0
    4. M ו-F שתיהן בגובה 15, ולכן הגבהים של שתי הפירמידות שווים
    5. V = ⅓·S·h, והגובה משותף
    6. V(MABC)/V(FAEC) = S(ABC)/S(AEC) = 2

    תשובה: פי 2

12. שאלה 12 · מספרים מרוכבים

    נתון המספר המרוכב w = r(cos α + i·sin α) = r·cis α, כאשר r > 0 ו-90° < α < 180°. הביעו באמצעות r ו-α את ההצגה הקוטבית של המספר 1/w.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נכתוב את המונה בהצגה קוטבית: 1 = 1·cis 0°
    2. בחלוקת מספרים מרוכבים מחלקים את הגדלים ומחסרים את הארגומנטים
    3. 1/w = (1/r)·cis(0° − α)
    4. 1/w = (1/r)·cis(−α)

    תשובה: 1/w = (1/r)·cis(−α)

13. שאלה 13 · מספרים מרוכבים

    נתון המספר המרוכב w = r·cis α כאשר r > 0. הנקודה A מייצגת את w והנקודה B מייצגת את 1/w, ו-O היא ראשית הצירים. שטח המשולש AOB הוא √2/4 והזווית AOB מקיימת 0° < ∠AOB < 90°. מצאו את α, בהינתן ש-90° < α < 180°.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. OA = r ו-OB = 1/r
    2. S = ½ · OA · OB · sin∠AOB = ½ · r · (1/r) · sin∠AOB = ½·sin∠AOB
    3. ½·sin∠AOB = √2/4 → sin∠AOB = √2/2
    4. ∠AOB = 45° (הפתרון היחיד בתחום 0° עד 90°)
    5. הארגומנט של w הוא α ושל 1/w הוא −α, לכן הזווית ביניהם היא 2α בהיפוך סימן
    6. הזווית שבין שני הרדיוסים היא 360° − 2α = 45°
    7. 2α = 315° → α = 157.5°

    תשובה: α = 157.5°

14. שאלה 14 · מספרים מרוכבים

    נתון w = r·cis 157.5°. נתונות שתי משוואות: (I) z⁸ = w⁸ ו-(II) z⁸ = r⁴·(w·w̄)². קודקודי מצולע קמור הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של שתי המשוואות. כמה קודקודים יש למצולע?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. משוואה (I): לכל משוואה מדרגה 8 יש 8 פתרונות, כולם בגודל r
    2. אחד הפתרונות הוא w עצמו, והשאר בהפרשי ארגומנט של 360°/8 = 45°
    3. פתרונות (I): r·cis(157.5° + k·45°)
    4. משוואה (II): w·w̄ = r², לכן z⁸ = r⁴·(r²)² = r⁸
    5. פתרונות (II): r·cis(k·45°), גם הם 8 במספר ובגודל r
    6. הארגומנטים של שתי הקבוצות נבדלים ב-157.5°, שאינו כפולה של 45°
    7. לכן אין פתרונות חופפים: 8 + 8 = 16 קודקודים

    תשובה: 16 קודקודים

15. שאלה 15 · מספרים מרוכבים

    מצולע קמור בעל 16 קודקודים, שכולם על מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו r. הקודקודים ניתנים לייצוג על ידי r·cis(k·22.5°), כלומר המצולע משוכלל. נתון כי שטח המצולע הוא 49. מצאו את r.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מצולע משוכלל בן 16 צלעות מתחלק ל-16 משולשים שווי שוקיים
    2. בכל משולש שתי השוקיים הן r והזווית ביניהן 360°/16 = 22.5°
    3. שטח משולש אחד: (r²·sin 22.5°)/2
    4. S = 16 · (r²·sin 22.5°)/2 = 8r²·0.38268 ≈ 3.0614r²
    5. 3.0614r² = 49 → r² ≈ 16.005
    6. r ≈ 4

    תשובה: r ≈ 4

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = eˣ + 1/(eˣ − 1), המוגדרת לכל x ≠ 0. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. כאשר x ← ‎−∞ מתקיים eˣ ← 0
    2. f(x) ← 0 + 1/(0 − 1) = −1, לכן y = −1 אסימפטוטה אופקית משמאל
    3. כאשר x ← ‎+∞ מתקיים eˣ ← ∞ ו-f(x) ← ∞, לכן אין אסימפטוטה אופקית מימין
    4. כאשר x ← 0 מתקיים eˣ − 1 ← 0 ו-f(x) ← ∞
    5. לכן x = 0 היא אסימפטוטה אנכית

    תשובה: x = 0 אנכית, ו-y = −1 אופקית משמאל

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = eˣ + 1/(eˣ − 1), המוגדרת לכל x ≠ 0. הראו כי לגרף הפונקציה אין נקודות חיתוך עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. חיתוך עם ציר ה-y מתרחש ב-x = 0, שאינו בתחום ההגדרה
    2. חיתוך עם ציר ה-x: eˣ + 1/(eˣ − 1) = 0
    3. נכפול ב-(eˣ − 1): eˣ(eˣ − 1) + 1 = 0
    4. e²ˣ − eˣ + 1 = 0
    5. נסמן t = eˣ: t² − t + 1 = 0
    6. הדיסקרימיננטה: 1 − 4 = −3 < 0, אין פתרון ממשי
    7. לכן אין חיתוך עם ציר ה-x

    תשובה: אין חיתוך עם אף אחד מהצירים

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = eˣ + 1/(eˣ − 1), המוגדרת לכל x ≠ 0. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור: f'(x) = eˣ − eˣ/(eˣ − 1)²
    2. נוציא גורם משותף: f'(x) = eˣ·[1 − 1/(eˣ − 1)²]
    3. eˣ חיובי תמיד, לכן נשווה את הסוגריים לאפס: (eˣ − 1)² = 1
    4. eˣ − 1 = 1 או eˣ − 1 = −1
    5. eˣ = 2 או eˣ = 0 (נפסל, eˣ חיובי)
    6. x = ln 2
    7. f(ln 2) = 2 + 1/(2 − 1) = 3
    8. בדיקת סימנים: f'(0.5) < 0 ו-f'(0.7) > 0 ← מינימום

    תשובה: (ln 2 , 3) מינימום

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות הפונקציות f(x) = eˣ + 1/(eˣ − 1) ו-g(x) = −x + ln(eˣ − 1). מצאו את תחום ההגדרה של g והראו כי g'(x) = f(x) − eˣ בתחום זה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי: eˣ − 1 > 0
    2. eˣ > 1 → x > 0
    3. נגזור: g'(x) = −1 + eˣ/(eˣ − 1)
    4. מכנה משותף: g'(x) = (−(eˣ − 1) + eˣ)/(eˣ − 1)
    5. g'(x) = (−eˣ + 1 + eˣ)/(eˣ − 1) = 1/(eˣ − 1)
    6. מצד שני f(x) − eˣ = eˣ + 1/(eˣ − 1) − eˣ = 1/(eˣ − 1)
    7. שני הביטויים זהים, כנדרש

    תשובה: תחום ההגדרה x > 0, והשוויון מתקיים

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = eˣ + 1/(eˣ − 1) שנקודת המינימום שלה היא (ln 2 , 3), ונתון כי f(x) = g'(x) + eˣ כאשר g(x) = −x + ln(eˣ − 1). דרך נקודת המינימום ודרך x = ln b (כאשר b > 2) מעבירים אנכים לציר ה-x. הביעו באמצעות b את השטח המוגבל על ידי גרף f, ציר ה-x ושני האנכים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. S = ∫ מ-ln2 עד ln b של f(x)dx
    2. f(x) = g'(x) + eˣ, ולכן הפונקציה הקדומה היא g(x) + eˣ
    3. הקדומה: −x + ln(eˣ − 1) + eˣ
    4. הצבת הגבול העליון x = ln b: −ln b + ln(b − 1) + b
    5. הצבת הגבול התחתון x = ln 2: −ln 2 + ln(2 − 1) + 2 = −ln 2 + 0 + 2
    6. S = [−ln b + ln(b−1) + b] − [−ln 2 + 2]
    7. S = ln 2 + ln(b−1) − ln b + b − 2
    8. S = ln(2(b−1)/b) + b − 2

    תשובה: ln(2(b−1)/b) + b − 2

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    השטח המוגבל על ידי גרף f, ציר ה-x והאנכים ב-x = ln 2 וב-x = ln b הוא ln(2(b−1)/b) + b − 2. נתון כי שטח זה שווה ל-ln(1.8) + b − 2. מצאו את b.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ln(2(b−1)/b) + b − 2 = ln(1.8) + b − 2
    2. נצמצם את b − 2 משני האגפים
    3. ln(2(b−1)/b) = ln(1.8)
    4. הלוגריתם חד-חד-ערכי, לכן 2(b−1)/b = 1.8
    5. 2b − 2 = 1.8b
    6. 0.2b = 2 → b = 10

    תשובה: b = 10

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (a + ln x)/x, המוגדרת בתחום x > 0, כאשר a פרמטר. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. כאשר x ← ∞ המכנה שואף לאינסוף מהר יותר מהמונה הלוגריתמי
    2. לכן y = 0 אסימפטוטה אופקית מימין
    3. כאשר x ← 0⁺ המכנה שואף לאפס והמונה שואף ל-‎−∞
    4. לכן x = 0 אסימפטוטה אנכית
    5. חיתוך עם ציר ה-x: a + ln x = 0
    6. ln x = −a → x = e^(−a)
    7. הנקודה: (e^(−a) , 0)

    תשובה: אסימפטוטות x = 0 ו-y = 0; חיתוך ב-(e^(−a) , 0)

23. שאלה 23 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (a + ln x)/x בתחום x > 0. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה: f'(x) = [(1/x)·x − (a + ln x)] / x²
    2. f'(x) = (1 − a − ln x)/x²
    3. נשווה לאפס: 1 − a − ln x = 0
    4. ln x = 1 − a → x = e^(1−a)
    5. f(e^(1−a)) = (a + 1 − a)/e^(1−a) = 1/e^(1−a) = e^(a−1)
    6. המכנה x² חיובי תמיד, והמונה 1 − a − ln x יורד ב-x
    7. לכן הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ← מקסימום

    תשובה: (e^(1−a) , e^(a−1)) מקסימום

24. שאלה 24 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות הפונקציות f(x) = (a + ln x)/x ו-g(x) = 1/x, שתיהן בתחום x > 0. נתון כי הגרפים שלהן נחתכים בנקודה שבה x = e². מצאו את a.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בנקודת החיתוך f(e²) = g(e²)
    2. (a + ln e²)/e² = 1/e²
    3. נכפול ב-e²: a + ln e² = 1
    4. ln e² = 2
    5. a + 2 = 1 → a = −1

    תשובה: a = −1

25. שאלה 25 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות f(x) = (−1 + ln x)/x ו-g(x) = 1/x בתחום x > 0. הפונקציה h(x) מוגדרת בתחום x > 0, עוברת בנקודה (e³ , −1.5) ומקיימת h'(x) = f(x) − g(x). מצאו את h(x).

    פתרון שלב אחר שלב

    1. h'(x) = (−1 + ln x)/x − 1/x = (ln x − 2)/x
    2. h(x) = ∫ (ln x)/x dx − 2∫ (1/x) dx
    3. נזהה נגזרת פנימית: (ln x)/x היא הנגזרת של (ln x)²/2
    4. h(x) = (ln x)²/2 − 2·ln x + c
    5. נציב את הנקודה (e³ , −1.5): (3²)/2 − 2·3 + c = −1.5
    6. 4.5 − 6 + c = −1.5 → c = 0
    7. h(x) = (ln x)²/2 − 2·ln x

    תשובה: h(x) = (ln x)²/2 − 2·ln x

26. שאלה 26 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה h(x) = (ln x)²/2 − 2·ln x בתחום x > 0. מצאו את נקודות החיתוך של גרף h עם ציר ה-x, וקבעו אם יש לפונקציה אסימפטוטה אופקית.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. h(x) = 0: (ln x)²/2 − 2·ln x = 0
    2. נוציא גורם משותף: ln x · (ln x/2 − 2) = 0
    3. ln x = 0 → x = 1
    4. ln x/2 = 2 → ln x = 4 → x = e⁴
    5. נקודות החיתוך: (1 , 0) ו-(e⁴ , 0)
    6. כאשר x ← ∞ הביטוי (ln x)²/2 גדל מהר יותר מ-2·ln x
    7. לכן h(x) ← ∞ ואין אסימפטוטה אופקית

    תשובה: חיתוך ב-(1 , 0) וב-(e⁴ , 0); אין אסימפטוטה אופקית