שאלון 35572 — קיץ מועד ב׳ 2026

11 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · גיאומטריה אנליטית

   נתונים הישר y = x והפרבולה y² = 2px (p > 0). A היא נקודת החיתוך שלהם ברביע הראשון. ℓ המשיק לפרבולה ב-A, ו-F מוקד הפרבולה. מעגל I שמרכזו F משיק ל-ℓ בנקודה B. הביעו באמצעות p את A ואת משוואת המעגל I.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. x² = 2px → x = 2p → A(2p, 2p)
   2. משיק ב-A: y·2p = p(x + 2p) → ℓ: x − 2y + 2p = 0
   3. מוקד F(p/2, 0)
   4. R = |p/2 + 2p|/√5 = 2.5p/√5 → R² = 1.25p²
   5. I: (x − p/2)² + y² = 1.25p²

   תשובה: A(2p, 2p); I: (x − p/2)² + y² = 1.25p²

2. שאלה 2 · גיאומטריה אנליטית

   נתונים הישר y = x והפרבולה y² = 2px (p > 0). A היא נקודת החיתוך שלהם ברביע הראשון. ℓ המשיק לפרבולה ב-A, ו-F מוקד הפרבולה. מעגל I שמרכזו F משיק ל-ℓ בנקודה B. A(2p, 2p), ℓ: x − 2y + 2p = 0, F(p/2, 0). הראו ש-B על ציר ה-y, ומצאו את p אם AB = 4√5.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. B — עקב האנך מ-F ל-ℓ, בכיוון הנורמל (1, −2)
   2. B = F − (2.5p/5)(1, −2) = (0, p) — על ציר ה-y
   3. AB = √((2p)² + p²) = p√5
   4. p√5 = 4√5 → p = 4

   תשובה: B(0, p); p = 4

3. שאלה 3 · גיאומטריה אנליטית

   נתונים הישר y = x והפרבולה y² = 2px (p > 0). A היא נקודת החיתוך שלהם ברביע הראשון. ℓ המשיק לפרבולה ב-A, ו-F מוקד הפרבולה. מעגל I שמרכזו F משיק ל-ℓ בנקודה B. p = 4, כלומר I: (x − 2)² + y² = 20. מצאו את המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים שמשיקים ל-I מבפנים ורדיוסם 2√5 − 3.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. R = √20 = 2√5
   2. השקה מבפנים: מרחק המרכזים = R − r = 2√5 − (2√5 − 3) = 3
   3. מעגל ברדיוס 3 סביב F(2, 0)

   תשובה: (x − 2)² + y² = 9

4. שאלה 4 · וקטורים

   SABCD פירמידה שבסיסה ריבוע ABCD, AS גובה הפירמידה, ו-AS שווה לצלע הריבוע. E על SD כך ש-SE = ¾SD, ו-N מקיימת SN = k·SC. נסמן u = AD, v = AB, w = AS (וקטורים). הביעו את EN באמצעות u, v, w ו-k.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. AE = AS + ¾SD = w + ¾(u − w) = ¾u + ¼w
   2. AN = AS + k·SC = w + k(u + v − w)
   3. EN = AN − AE = (k − ¾)u + kv + (¾ − k)w

   תשובה: EN = (k − ¾)u + kv + (¾ − k)w

5. שאלה 5 · וקטורים

   SABCD פירמידה שבסיסה ריבוע ABCD, AS גובה הפירמידה, ו-AS שווה לצלע הריבוע. E על SD כך ש-SE = ¾SD, ו-N מקיימת SN = k·SC. נסמן u = AD, v = AB, w = AS (וקטורים). k = ½. ממקמים: A(0, 0, 0), B(0, 12, 0), D על החלק החיובי של ציר ה-x, S על החלק החיובי של ציר ה-z. מצאו את N ו-E ואת משוואת המישור ENB.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. S(0, 0, 12), D(12, 0, 0), C(12, 12, 0)
   2. E = S + ¾(D − S) = (9, 0, 3)
   3. N = S + ½(C − S) = (6, 6, 6)
   4. נורמל: (E − B) × (N − B) = (9, −12, 3) × (6, −6, 6) ∝ (3, 2, −1)
   5. דרך B: 3x + 2y − z = 24

   תשובה: N(6, 6, 6), E(9, 0, 3); 3x + 2y − z − 24 = 0

6. שאלה 6 · וקטורים

   SABCD פירמידה שבסיסה ריבוע ABCD, AS גובה הפירמידה, ו-AS שווה לצלע הריבוע. E על SD כך ש-SE = ¾SD, ו-N מקיימת SN = k·SC. נסמן u = AD, v = AB, w = AS (וקטורים). N(6, 6, 6) אמצע SC, והמישור ENB הוא 3x + 2y − z = 24, עם S(0, 0, 12), C(12, 12, 0). האם נפח הפירמידה SENB גדול, קטן או שווה לנפח CENB?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. לשתי הפירמידות אותו בסיס — המשולש ENB
   2. הגבהים הם המרחקים של S ושל C מהמישור
   3. S: |0 + 0 − 12 − 24| = 36; C: |36 + 24 − 0 − 24| = 36 — מרחקים שווים
   4. (N אמצע SC, ולכן S ו-C במרחק שווה מכל מישור דרך N)

   תשובה: שווים

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = a + 1/(eˣ − 1) + 5/(eˣ − 5), כאשר a פרמטר. מצאו תחום הגדרה ואסימפטוטות (באמצעות a), הוכיחו ש-f′ < 0, ומצאו את a אם y = 2 אסימפטוטה.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. eˣ ≠ 1, eˣ ≠ 5 → x ≠ 0, x ≠ ln5 (אסימפטוטות אנכיות)
   2. x → ∞: f → a; x → −∞: f → a − 1 − 1 = a − 2
   3. f′ = −eˣ/(eˣ − 1)² − 5eˣ/(eˣ − 5)² < 0
   4. a = 2 או a − 2 = 2 → a = 2, a = 4

   תשובה: x ≠ 0, x ≠ ln5; x = 0, x = ln5, y = a, y = a − 2; a = 2 או a = 4

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = a + 1/(eˣ − 1) + 5/(eˣ − 5), כאשר a פרמטר. a = 2. הראו ש-f(x) = (2e²ˣ − 6eˣ)/(e²ˣ − 6eˣ + 5), ומצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה-x.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. מכנה משותף: (eˣ − 1)(eˣ − 5) = e²ˣ − 6eˣ + 5
   2. מונה: 2(e²ˣ − 6eˣ + 5) + (eˣ − 5) + 5(eˣ − 1) = 2e²ˣ − 6eˣ
   3. 2eˣ(eˣ − 3) = 0 → eˣ = 3 → x = ln3

   תשובה: (ln3, 0)

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = a + 1/(eˣ − 1) + 5/(eˣ − 5), כאשר a פרמטר. a = 2. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f, ציר ה-x והישר x = ln2.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f חיובית ב-ln2 ≤ x ≤ ln3 (f(ln2) = 4/3) ומתאפסת ב-ln3
   2. ∫1/(eˣ − 1) = ln|eˣ − 1| − x; ∫5/(eˣ − 5) = ln|eˣ − 5| − x
   3. F(x) = ln|eˣ − 1| + ln|eˣ − 5|
   4. S = F(ln3) − F(ln2) = (ln2 + ln2) − (0 + ln3) = ln(4/3)

   תשובה: ln(4/3) ≈ 0.2877

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = 2x + 8ln(x² + 7), המוגדרת לכל x. מצאו את נקודות הקיצון ותחומי הקעירות.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. f′ = 2 + 16x/(x² + 7) = 0 → x² + 8x + 7 = 0 → x = −7, −1
    2. f(−7) = −14 + 8ln56 ≈ 18.203 — מקסימום; f(−1) = −2 + 8ln8 ≈ 14.636 — מינימום
    3. f″ = 16(7 − x²)/(x² + 7)²
    4. f″ > 0 כש-|x| < √7

    תשובה: מקסימום (−7, 18.203), מינימום (−1, 14.636); קעורה כלפי מעלה ב-−√7 < x < √7, כלפי מטה ב-x < −√7 ו-x > √7

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = 2x + 8ln(x² + 7), המוגדרת לכל x. g(x) = ln(f(x) − 18), מוגדרת היכן ש-f(x) > 18. כמה אסימפטוטות אנכיות יש ל-g? ומהי נקודת הקיצון שלה?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. אסימפטוטה אנכית היכן ש-f(x) = 18
    2. f עולה מ-−∞ עד 18.203 (x = −7), יורדת ל-14.636, ואז עולה ל-∞
    3. הקו y = 18 חותך את f שלוש פעמים — 3 אסימפטוטות
    4. ln עולה, לכן g מקסימלית היכן ש-f מקסימלית: x = −7
    5. g(−7) = ln(18.203 − 18) = ln0.203 ≈ −1.6

    תשובה: 3 אסימפטוטות; מקסימום (−7, ln0.203)