שאלון 35472 — קיץ מועד ב׳ 2026

9 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   תלמידי י"ב א' אספו בקבוקים 5 שבועות; בכל שבוע אספו פי q מבשבוע הקודם. בשבוע הרביעי אספו פי 3.375 מבשבוע הראשון. מצאו את q. בשבוע הראשון ובשבוע האחרון יחד אספו 2,425 בקבוקים — כמה אספו בשבוע הראשון?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. a₄ = a₁q³ = 3.375a₁ → q³ = 3.375 → q = 1.5
   2. a₁ + a₁q⁴ = 2,425 → a₁(1 + 5.0625) = 2,425
   3. a₁ = 400

   תשובה: q = 1.5; 400 בקבוקים

2. שאלה 2 · סדרות

   תלמידי י"ב ב' אספו בקבוקים 18 שבועות; בכל שבוע אספו d בקבוקים יותר מבשבוע הקודם. בשבוע השני אספו 230, ובסך הכול 6,300. מצאו את d. תלמידי י"ב א' אספו 5,275 בקבוקים. על כל בקבוק קיבלו 0.3 ₪, והמסיבה עולה 3,400 ₪ — האם הסכום מספיק?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. a₁ = 230 − d
   2. S₁₈ = 9(2a₁ + 17d) = 6,300 → 2a₁ + 17d = 700
   3. 460 − 2d + 17d = 700 → d = 16
   4. (5,275 + 6,300) · 0.3 = 3,472.5 ₪ ≥ 3,400 — כן

   תשובה: d = 16; כן (3,472.5 ₪)

3. שאלה 3 · וקטורים

   בתיבה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ריבוע ABCD, F אמצע BC, ו-E על האלכסון A′C כך ש-A′E = ¾A′C. נסמן u = AB, v = BC, w = AA′. הביעו את A′E ואת FE באמצעות u, v, w.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. A′C = u + v − w → A′E = ¾u + ¾v − ¾w
   2. E = A′ + A′E: AE = w + ¾u + ¾v − ¾w = ¾u + ¾v + ¼w
   3. AF = u + ½v
   4. FE = AE − AF = −¼u + ¼v + ¼w

   תשובה: A′E = ¾u + ¾v − ¾w; FE = −¼u + ¼v + ¼w

4. שאלה 4 · גדילה ודעיכה

   מספר הפינגווינים באזור יורד בכל שנה באחוז קבוע. האם ההפרש בין 2000 ל-2001 שווה להפרש בין 2001 ל-2002? נמקו.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. ירידה באחוז קבוע: N₂₀₀₁ = qN₂₀₀₀, N₂₀₀₂ = qN₂₀₀₁
   2. ההפרשים: N₂₀₀₀(1 − q) ו-qN₂₀₀₀(1 − q)
   3. q < 1, לכן ההפרש השני קטן מהראשון — לא שווים

   תשובה: לא

5. שאלה 5 · גדילה ודעיכה

   מתחילת 2000 מספר הפינגווינים באזור A יורד בכל שנה ב-5% (253,000 בתחילת 2000). באזור B מספר הפינגווינים יורד בכל שנה באחוז קבוע (313,000 בתחילת 2000). בתחילת 2010 מספר הפינגווינים בשני האזורים היה שווה. באיזה אחוז יורד מספר הפינגווינים באזור B בכל שנה, ואחרי כמה שנים מתחילת 2000 היו באזור B ‏98,000 פינגווינים?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. A ב-2010: 253,000 · 0.95¹⁰ ≈ 151,480
   2. 313,000 · q¹⁰ = 151,480 → q¹⁰ ≈ 0.484 → q ≈ 0.93
   3. ירידה של 7% בשנה
   4. 313,000 · 0.93ᵗ = 98,000 → t = log(0.3131)/log(0.93) ≈ 16

   תשובה: 7%; 16 שנה

6. שאלה 6 · גדילה ודעיכה

   מתחילת 2018 מספר הפינגווינים באזור A עולה ב-2% בכל שנה. אחרי כמה שנים גדל המספר ב-17% לעומת תחילת 2018?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. 1.02ᵗ = 1.17
   2. t = log1.17 / log1.02 ≈ 7.93

   תשובה: ≈ 7.93 שנים

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = (3x² − a)·eˣ, המוגדרת לכל x. לפונקצייה יש נקודת קיצון ב-x = 1. מצאו את a.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f′(x) = 6x·eˣ + (3x² − a)·eˣ = eˣ(3x² + 6x − a)
   2. f′(1) = e(9 − a) = 0 → a = 9

   תשובה: a = 9

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה f(x) = (3x² − 9)·eˣ. מצאו את נקודות הקיצון וסוגן, ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. f′(x) = eˣ(3x² + 6x − 9) = 3eˣ(x + 3)(x − 1)
   2. x = 1: f(1) = −6e — מינימום (f′ עוברת מ-− ל-+)
   3. x = −3: f(−3) = 18e⁻³ = 18/e³ — מקסימום
   4. f = 0 → 3x² = 9 → x = ±√3; f(0) = −9

   תשובה: מינימום (1, −6e); מקסימום (−3, 18/e³); (±√3, 0), (0, −9)

9. שאלה 9 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה g(x) = |f(x)|, כאשר f(x) = (3x² − 9)·eˣ (מינימום (1, −6e), מקסימום (−3, 18/e³), אפסים ב-±√3). מצאו את נקודות הקיצון של g וסוגן.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. g = f כש-f ≥ 0, ו-g = −f כש-f < 0
   2. באפסים של f, g = 0 והיא אי-שלילית: מינימום ב-(±√3, 0)
   3. ב-x = −3, f > 0: g = f, מקסימום (−3, 18/e³)
   4. ב-x = 1, f < 0: g = −f, המינימום של f הופך למקסימום (1, 6e)

   תשובה: מינימום (±√3, 0); מקסימום (−3, 18/e³) ו-(1, 6e)