שאלון 35472 — חורף 2024

21 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   במפעל מייצרים מחשבים. כמות המחשבים המיוצרת גדלה בכל שבוע במספר קבוע. בשבוע הראשון ייצרו 900 מחשבים, ובמשך 50 שבועות ייצרו סך הכול 167,500 מחשבים. בכמה גדלה הכמות בכל שבוע?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. גדילה במספר קבוע פירושה סדרה חשבונית
   2. Sₙ = n(2a₁ + (n−1)d)/2
   3. 167,500 = 50(2·900 + 49d)/2
   4. 167,500 = 25(1,800 + 49d)
   5. 6,700 = 1,800 + 49d
   6. 49d = 4,900 → d = 100

   תשובה: ב-100 מחשבים

2. שאלה 2 · סדרות

   מספר המחשבים הנמכרים גדל בכל חודש פי מספר קבוע. בחודש הרביעי נמכרו 160 מחשבים ובחודש השביעי נמכרו 1,280. כמה מחשבים נמכרו בחודש הראשון?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 'פי מספר קבוע' פירושו סדרה הנדסית
   2. b₇ = b₄ · q³
   3. 1,280 = 160 · q³
   4. q³ = 8 → q = 2
   5. b₄ = b₁ · q³
   6. 160 = b₁ · 8 → b₁ = 20

   תשובה: 20 מחשבים

3. שאלה 3 · סדרות

   מספר המחשבים הנמכרים בכל חודש מהווה סדרה הנדסית. נתון כי החודש השביעי היה החודש האמצעי של תקופת המכירה. כמה חודשים נמשכה המכירה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אם החודש השביעי הוא האמצעי, יש לפניו 6 חודשים
   2. מסימטריה, יש אחריו גם 6 חודשים
   3. סך הכול: 6 + 1 + 6 = 13 חודשים

   תשובה: 13 חודשים

4. שאלה 4 · סדרות

   במפעל ייצרו 167,500 מחשבים. המכירה נמשכה 13 חודשים, ומספר המחשבים הנמכרים מהווה סדרה הנדסית שאיברה הראשון 20 ומנתה 2. כמה מחשבים לא נמכרו?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. סכום סדרה הנדסית: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
   2. S₁₃ = 20(2¹³ − 1)/(2 − 1)
   3. 2¹³ = 8,192
   4. S₁₃ = 20 · 8,191 = 163,820 מחשבים נמכרו
   5. 167,500 − 163,820 = 3,680 לא נמכרו

   תשובה: 3,680 מחשבים

5. שאלה 5 · וקטורים

   בפירמידה מרובעת SABCD הבסיס ABCD הוא מעוין שאורך צלעו a. מסמנים u = AB, v = AD, w = AS. הנקודה E היא אמצע המקצוע SC. הביעו את הווקטורים EB ו-ED באמצעות u, v ו-w.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. EB = EC + CB, כאשר EC = ½SC
   2. SC = SA + AB + BC = −w + u + v
   3. EC = ½(−w + u + v)
   4. CB = −v (במעוין BC = AD = v)
   5. EB = ½(−w + u + v) − v = ½u − ½v − ½w
   6. ED = EB + BC + CD = (½u − ½v − ½w) + v − u
   7. ED = −½u + ½v − ½w

   תשובה: EB = ½u − ½v − ½w ; ED = −½u + ½v − ½w

6. שאלה 6 · וקטורים

   בפירמידה SABCD שבסיסה מעוין, נתון |u| = |v| = |w| = a, הזווית BAD היא 60°, והמקצוע AS מאונך לבסיס. נתונים EB = ½u − ½v − ½w ו-ED = −½u + ½v − ½w. הוכיחו כי EB מאונך ל-ED.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. AS מאונך לבסיס, ולכן u·w = 0 ו-v·w = 0
   2. u·v = |u||v|cos60° = a² · 0.5 = 0.5a²
   3. u·u = v·v = w·w = a²
   4. EB · ED = ¼(u − v − w)·(−u + v − w)
   5. נפתח: −u² + 2u·v − v² + w² (כל האיברים עם w המעורבים מתאפסים)
   6. = −a² + 2(0.5a²) − a² + a²
   7. = −a² + a² − a² + a² = 0
   8. מכפלה סקלרית אפס ⟵ הווקטורים מאונכים

   תשובה: המכפלה הסקלרית שווה לאפס, ולכן EB ⊥ ED

7. שאלה 7 · וקטורים

   בפירמידה SABCD נתון A(0,0,0) ו-B(2√3 , 2 , 0). הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה-y, המקצוע AS מאונך לבסיס, ומתקיים AS = AD = AB. מצאו את אורך המקצוע AB ואת שיעורי הקודקוד S.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. AB = √((2√3)² + 2² + 0²) = √(12 + 4) = √16 = 4
   2. AS מאונך לבסיס, והבסיס מונח על המישור z = 0
   3. לכן AS מונח על ציר ה-z
   4. AS = AD = AB = 4
   5. שיעור ה-z של S חיובי, לכן S(0 , 0 , 4)

   תשובה: AB = 4 , S(0 , 0 , 4)

8. שאלה 8 · גופים במרחב

   בפירמידה SABCD שבסיסה מעוין שאורך צלעו 4 והזווית בין צלעותיו 60°, גובה הפירמידה AS הוא 4. חשבו את נפח הפירמידה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שטח מעוין: S = a² · sin(הזווית)
   2. S = 4² · sin60° = 16 · (√3/2) = 8√3
   3. נפח פירמידה: V = (S · h)/3
   4. V = (8√3 · 4)/3
   5. V = 32√3/3 ≈ 18.48

   תשובה: 32√3/3 ≈ 18.48

9. שאלה 9 · גדילה ודעיכה

   משקל קרחון A מתואר על ידי f(t) = 7 · 0.96^t ומשקל קרחון B על ידי g(t) = 10 · 0.91^t, באלפי טונות, כאשר t בשנים. מצאו את המשקל ההתחלתי של כל קרחון ואת אחוז ההפשרה השנתי של כל אחד.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המשקל ההתחלתי מתקבל בהצבת t = 0
   2. f(0) = 7 · 1 = 7 אלפי טונות ; g(0) = 10 · 1 = 10 אלפי טונות
   3. גורם הדעיכה q מקיים q = 1 − P/100
   4. עבור A: 0.96 = 1 − P/100 → P = 4%
   5. עבור B: 0.91 = 1 − P/100 → P = 9%
   6. קרחון B מפשיר מהר יותר

   תשובה: A: 7 אלפי טונות, 4% לשנה. B: 10 אלפי טונות, 9% לשנה

10. שאלה 10 · גדילה ודעיכה

    משקל קרחון A הוא f(t) = 7 · 0.96^t ומשקל קרחון B הוא g(t) = 10 · 0.91^t, באלפי טונות. איזה קרחון היה כבד יותר כעבור 7 שנים מתחילת המחקר?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(7) = 7 · 0.96⁷ = 7 · 0.7514 ≈ 5.26 אלפי טונות
    2. g(7) = 10 · 0.91⁷ = 10 · 0.5168 ≈ 5.17 אלפי טונות
    3. 5.26 > 5.17, לכן קרחון A כבד יותר

    תשובה: קרחון A — כ-5.26 לעומת 5.17 אלפי טונות

11. שאלה 11 · גדילה ודעיכה

    משקל קרחון A הוא f(t) = 7 · 0.96^t ומשקל קרחון B הוא g(t) = 10 · 0.91^t. כעבור כמה שנים היה משקלם שווה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 7 · 0.96^t = 10 · 0.91^t
    2. נחלק ב-7 · 0.91^t
    3. (0.96/0.91)^t = 10/7
    4. 1.0549^t = 1.4286
    5. t = ln(1.4286) / ln(1.0549)
    6. t ≈ 0.3567 / 0.05346 ≈ 6.67 שנים

    תשובה: כ-6.67 שנים

12. שאלה 12 · גדילה ודעיכה

    מספר כלבי הים באזור גדל בכל שנה פי מספר קבוע. כעבור 10 שנים מתחילת המדידות היה מספרם גדול פי 1.5 ממספרם בתחילתן. בכמה אחוזים גדל מספר כלבי הים בכל שנה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. A₀ · q¹⁰ = 1.5 · A₀
    2. נחלק ב-A₀: q¹⁰ = 1.5
    3. q = 1.5^(1/10) ≈ 1.0414
    4. אחוז הגדילה: (1.0414 − 1) · 100% ≈ 4.14%

    תשובה: כ-4.14%

13. שאלה 13 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x − 4)² · e^(x−3). מצאו את תחום ההגדרה ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מכפלה של פולינום בפונקציה מעריכית מוגדרת לכל x
    2. חיתוך עם ציר ה-x: (x − 4)² · e^(x−3) = 0
    3. e^(x−3) חיובי תמיד ולעולם אינו מתאפס
    4. (x − 4)² = 0 → x = 4 → (4 , 0)
    5. חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = (0 − 4)² · e^(−3) = 16/e³ ≈ 0.8
    6. הנקודה: (0 , 16/e³)

    תשובה: תחום: כל x ; חיתוך ב-(4 , 0) וב-(0 , 16/e³)

14. שאלה 14 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x − 4)² · e^(x−3). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המכפלה
    2. f'(x) = 2(x − 4)·e^(x−3) + (x − 4)²·e^(x−3)
    3. נוציא גורם משותף: f'(x) = e^(x−3)(x − 4)[2 + (x − 4)]
    4. f'(x) = e^(x−3)(x − 4)(x − 2)
    5. e^(x−3) חיובי תמיד, לכן האפסים הם x = 4 ו-x = 2
    6. f(4) = 0 ; f(2) = 4 · e^(−1) = 4/e ≈ 1.47
    7. בדיקת סימנים: לפני x = 2 חיובית ואחריה שלילית ← מקסימום
    8. לפני x = 4 שלילית ואחריה חיובית ← מינימום

    תשובה: (4 , 0) מינימום ו-(2 , 4/e) מקסימום

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (x − 4)²·e^(x−3), שנקודות הקיצון שלה הן (2 , 4/e) מקסימום ו-(4 , 0) מינימום. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f'(x) וציר ה-x בתחום שבין x = 2 ל-x = 4.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בין x = 2 ל-x = 4 הפונקציה יורדת, ולכן f' שלילית שם
    2. השטח הוא מינוס האינטגרל של הנגזרת
    3. S = −∫ מ-2 עד 4 של f'(x)dx = −[f(4) − f(2)]
    4. S = f(2) − f(4)
    5. S = 4/e − 0 = 4/e ≈ 1.47

    תשובה: 4/e ≈ 1.47

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    השטח המוגבל על ידי גרף f'(x) וציר ה-x בתחום 2 ≤ x ≤ 4 הוא 4/e. נתונה הפונקציה g(x) = −f'(x), שגרפה סימטרי לגרף f' ביחס לציר ה-x. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים בתחום זה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. g היא שיקוף של f' מעל ציר ה-x
    2. השטח בין g לציר ה-x זהה בגודלו: 4/e
    3. שני הגרפים נמצאים משני צדי הציר בתחום זה
    4. השטח ביניהם הוא סכום שני השטחים
    5. S = 4/e + 4/e = 8/e ≈ 2.94

    תשובה: 8/e ≈ 2.94

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 3x²/(2·ln x + 1). מצאו את תחום ההגדרה שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי: x > 0
    2. המכנה חייב להיות שונה מאפס: 2·ln x + 1 ≠ 0
    3. ln x ≠ −0.5
    4. x ≠ e^(−0.5) ≈ 0.61
    5. תחום ההגדרה: x > 0 , x ≠ e^(−0.5)

    תשובה: x > 0 ו-x ≠ e^(−0.5) ≈ 0.61

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 3x²/(2·ln x + 1) בתחום x > 0 , x ≠ e^(−0.5). הראו שהגרף אינו חותך את ציר ה-x, ומצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. חיתוך עם ציר ה-x: 3x² = 0 → x = 0
    2. x = 0 אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך
    3. x = e^(−0.5) מאפס את המכנה
    4. המונה שם הוא 3·(e^(−0.5))² = 3/e ≠ 0
    5. לכן x = e^(−0.5) היא אסימפטוטה אנכית

    תשובה: אין חיתוך עם ציר ה-x ; האסימפטוטה x = e^(−0.5)

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 3x²/(2·ln x + 1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה
    2. f'(x) = [6x(2·ln x + 1) − 3x²·(2/x)] / (2·ln x + 1)²
    3. המונה: 12x·ln x + 6x − 6x = 12x·ln x
    4. f'(x) = 12x·ln x / (2·ln x + 1)²
    5. המכנה בריבוע ולכן חיובי; x > 0 בתחום
    6. לכן הסימן נקבע על ידי ln x בלבד
    7. ln x = 0 → x = 1 , f(1) = 3/1 = 3
    8. לפני x = 1 מתקיים ln x < 0 ואחריו ln x > 0 ← מינימום ב-(1 , 3)

    תשובה: (1 , 3) מינימום

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 3x²/(2·ln x + 1) שנגזרתה היא 12x·ln x/(2·ln x + 1)², בתחום x > 0 , x ≠ e^(−0.5). מצאו את תחומי העלייה והירידה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המכנה בריבוע וחיובי בכל תחום ההגדרה
    2. x > 0 בתחום, לכן סימן הנגזרת הוא סימן ln x
    3. ln x < 0 עבור 0 < x < 1 ← ירידה
    4. ln x > 0 עבור x > 1 ← עלייה
    5. x = e^(−0.5) ≈ 0.61 אינו בתחום ההגדרה ומפצל את תחום הירידה לשניים

    תשובה: עולה עבור x > 1 ; יורדת עבור 0 < x < e^(−0.5) ועבור e^(−0.5) < x < 1

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 3x²/(2·ln x + 1) שנקודת המינימום היחידה שלה היא (1 , 3). הישר y = t משיק לגרף הפונקציה. האם הישר y = t − 5 חותך את גרף הפונקציה? נמקו.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ישר אופקי משיק לגרף רק במקום שבו f'(x) = 0
    2. הנקודה היחידה כזו היא המינימום (1 , 3), ולכן t = 3
    3. הישר הנבדק הוא y = 3 − 5 = −2
    4. בענף שמימין לאסימפטוטה הפונקציה מתחילה ב-‎−∞ ליד x = e^(−0.5)
    5. ולכן היא מקבלת את הערך ‎−2 בדיוק פעם אחת בענף הזה
    6. בענף הימני של המינימום כל הערכים גדולים מ-3, ולכן שם אין חיתוך
    7. סך הכול: חיתוך אחד

    תשובה: כן, בנקודה אחת בלבד