שאלון 35472 — קיץ מועד ב׳ 2023

23 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · וקטורים

   תיבה ABCDA'B'C'D' ממוקמת כך שהקודקוד D בראשית הצירים, והקודקודים A, C ו-D' על החלקים החיוביים של הצירים. הבסיס ABCD הוא מלבן שצלעותיו AD = 2 ו-DC = 5, ונפח התיבה 80. מצאו את שיעורי A, B, C ו-C'.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שטח הבסיס: 2 · 5 = 10
   2. גובה התיבה: 80/10 = 8
   3. AD = 2 ו-A על ציר ה-x: A(2 , 0 , 0)
   4. DC = 5 ו-C על ציר ה-y: C(0 , 5 , 0)
   5. B משלים את המלבן: B(2 , 5 , 0)
   6. CC' מאונך למישור z = 0 ואורכו 8: C'(0 , 5 , 8)

   תשובה: A(2,0,0) , B(2,5,0) , C(0,5,0) , C'(0,5,8)

2. שאלה 2 · וקטורים

   בתיבה שגובהה 8, נתונים C(0,5,0), C'(0,5,8), D(0,0,0) ו-D'(0,0,8), וכן B(2,5,0). הנקודה E על CC' מקיימת CE = ¾·CC', הנקודה F היא אמצע DD', והנקודה K היא מפגש אלכסוני הפאה BB'C'C. מצאו את שיעורי E, F ו-K.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. CE = ¾ · 8 = 6, ו-E על CC': E(0 , 5 , 6)
   2. F אמצע DD': z = (0 + 8)/2 = 4 → F(0 , 0 , 4)
   3. K מפגש אלכסוני מלבן = אמצע האלכסון B C'
   4. B(2,5,0) ו-C'(0,5,8)
   5. K = ((2+0)/2 , (5+5)/2 , (0+8)/2) = (1 , 5 , 4)

   תשובה: E(0,5,6) , F(0,0,4) , K(1,5,4)

3. שאלה 3 · וקטורים

   נתונות הנקודות E(0,5,6), F(0,0,4) ו-K(1,5,4). מצאו את גודל הזווית FEK.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. EF = F − E = (0 , −5 , −2), ואורכו √(0 + 25 + 4) = √29
   2. EK = K − E = (1 , 0 , −2), ואורכו √(1 + 0 + 4) = √5
   3. המכפלה הסקלרית: 0·1 + (−5)·0 + (−2)·(−2) = 4
   4. cos∠FEK = 4/(√29 · √5) = 4/√145
   5. ∠FEK ≈ 70.6°

   תשובה: כ-70.6°

4. שאלה 4 · וקטורים

   נתונים |EF| = √29, |EK| = √5 והזווית FEK היא 70.6°. חשבו את שטח המקבילית FEKM.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שטח מקבילית: S = |EF| · |EK| · sin(הזווית ביניהם)
   2. S = √29 · √5 · sin 70.6°
   3. = √145 · 0.9432
   4. ≈ 12.042 · 0.9432 ≈ 11.36

   תשובה: כ-11.36

5. שאלה 5 · וקטורים

   FEKM היא מקבילית שבה E(0,5,6), F(0,0,4) ו-K(1,5,4). מצאו את שיעורי M, והוכיחו כי הנקודות F, M ו-A(2,0,0) נמצאות על ישר אחד.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. במקבילית הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות: KM = EF
   2. EF = (0 , −5 , −2)
   3. M = K + EF = (1 , 5 , 4) + (0 , −5 , −2) = (1 , 0 , 2)
   4. AM = M − A = (1 − 2 , 0 , 2 − 0) = (−1 , 0 , 2)
   5. AF = F − A = (0 − 2 , 0 , 4 − 0) = (−2 , 0 , 4)
   6. AF = 2·AM, כלומר הווקטורים קולינאריים
   7. שניהם יוצאים מ-A, ולכן שלוש הנקודות על ישר אחד (M היא אמצע AF)

   תשובה: M(1,0,2) , והנקודות קולינאריות

6. שאלה 6 · וקטורים

   M היא אמצע AF, ו-FEKM מקבילית. פי כמה גדול שטח המקבילית FEKM משטח המשולש AMK?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. M אמצע AF, ולכן AM = ½·AF = ½·EF (שכן EF = FM במקבילית)
   2. לשני הגופים אותו גובה מן הקודקוד K
   3. שטח מקבילית = בסיס · גובה ; שטח משולש = (בסיס · גובה)/2
   4. S(FEKM)/S(AMK) = (EF · h)/((AM · h)/2)
   5. = (EF · 2)/AM = (EF · 2)/(0.5·EF) ... כלומר היחס הוא 2
   6. השטח גדול פי 2

   תשובה: פי 2

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

   מרצה בדקה קשר בין היעדרות משיעורים (x) לציון במבחן (y). ממוצע ההיעדרויות 10, הציון הממוצע 70, ומקדם המתאם שלילי. נתון ששיפוע ישר הרגרסיה הוא ‎−2. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים (10 , 70)
   2. y − 70 = −2(x − 10)
   3. y − 70 = −2x + 20
   4. y = −2x + 90
   5. בדיקת עקביות: השיפוע שלילי, בהתאם למקדם המתאם השלילי ✓

   תשובה: y = −2x + 90

8. שאלה 8 · סטטיסטיקה

   משוואת ישר הרגרסיה היא y = −2x + 90. סטיית התקן של ההיעדרויות היא 4 וסטיית התקן של הציונים היא 10. מצאו את מקדם המתאם.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. m = r · (Sy/Sx)
   2. −2 = r · (10/4) = r · 2.5
   3. r = −2/2.5
   4. r = −0.8

   תשובה: r = −0.8

9. שאלה 9 · סטטיסטיקה

   ישר הרגרסיה לניבוי הציון לפי מספר ההיעדרויות הוא y = −2x + 90. כמה היעדרויות מנבאות ציון של 80?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 80 = −2x + 90
   2. −10 = −2x
   3. x = 5 היעדרויות

   תשובה: 5 היעדרויות

10. שאלה 10 · סטטיסטיקה

    מרצה אחר גילה שישר הרגרסיה שלו מנבא תמיד ציון 65, לכל מספר היעדרויות. מהו שיפוע הישר, מהו הציון הממוצע, והאם ניתן למצוא את ממוצע ההיעדרויות?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ניבוי קבוע פירושו ישר אופקי: y = 65, ולכן m = 0
    2. כל ישר רגרסיה עובר בנקודת הממוצעים
    3. בישר אופקי, הערך הקבוע של y הוא גם הממוצע: ȳ = 65
    4. m = r · (Sy/Sx) = 0 עם סטיות תקן חיוביות גורר r = 0
    5. מקדם מתאם אפס פירושו שאין קשר בין המשתנים
    6. לכן אין דרך להסיק מ-y כלום על x — ממוצע ההיעדרויות אינו ניתן לחישוב

    תשובה: שיפוע 0 ; ממוצע הציונים 65 ; לא ניתן למצוא את ממוצע ההיעדרויות

11. שאלה 11 · גדילה ודעיכה

    בנק מלווה כסף בריבית שנתית קבועה של 1.45%. חברה לוותה 1,000,000 שקלים לשנתיים. כמה עליה להחזיר?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. גורם הגדילה: q = (100 + 1.45)/100 = 1.0145
    2. A = 1,000,000 · 1.0145²
    3. 1.0145² ≈ 1.02921
    4. A ≈ 1,029,210 שקלים

    תשובה: כ-1,029,210 שקלים

12. שאלה 12 · גדילה ודעיכה

    בנק מלווה בריבית שנתית של 1.45%. חברה לוותה 1,000,000 שקלים לשלושה חודשים. כמה עליה להחזיר?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שלושה חודשים הם רבע שנה, ולכן t = 0.25
    2. A = 1,000,000 · 1.0145⁰.25
    3. 1.0145⁰.25 ≈ 1.003605
    4. A ≈ 1,003,605 שקלים

    תשובה: כ-1,003,605 שקלים

13. שאלה 13 · גדילה ודעיכה

    חברה לוותה 2,000,000 שקלים בריבית שנתית של 1.45%, והחזירה בתום התקופה 2,103,353 שקלים. מה היה משך ההלוואה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 2,000,000 · 1.0145^t = 2,103,353
    2. 1.0145^t = 1.05168
    3. t = ln(1.05168) / ln(1.0145)
    4. = 0.050387 / 0.014396
    5. t ≈ 3.5 שנים

    תשובה: כ-3.5 שנים

14. שאלה 14 · גדילה ודעיכה

    בנק מציע שני מסלולי הלוואה לשנתיים. מסלול 1: ריבית 1% בשנה הראשונה ו-2.2% בשנייה. מסלול 2: ריבית שנתית קבועה. מהי הריבית הקבועה שתיתן את אותו החזר בתום השנתיים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מסלול 1: x · 1.01 · 1.022 = 1.03222x
    2. מסלול 2: x · q²
    3. q² = 1.03222
    4. q = √1.03222 ≈ 1.016
    5. הריבית: (1.016 − 1) · 100% = 1.6%

    תשובה: כ-1.6% לשנה

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (2x² − 11x + 14)·e^(4−x). מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מכפלה של פולינום בפונקציה מעריכית מוגדרת לכל x
    2. חיתוך עם ציר ה-x: e^(4−x) חיובי תמיד, ולכן 2x² − 11x + 14 = 0
    3. הדיסקרימיננטה: 121 − 112 = 9
    4. x = (11 ± 3)/4 → x = 3.5 או x = 2
    5. חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = 14 · e⁴

    תשובה: תחום: כל x ; חיתוך ב-(2,0), (3.5,0) ו-(0 , 14e⁴)

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (2x² − 11x + 14)·e^(4−x). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המכפלה
    2. f'(x) = (4x − 11)·e^(4−x) + (2x² − 11x + 14)·e^(4−x)·(−1)
    3. נוציא e^(4−x): f'(x) = e^(4−x)[4x − 11 − 2x² + 11x − 14]
    4. f'(x) = e^(4−x)(−2x² + 15x − 25)
    5. ‎−2x² + 15x − 25 = 0 → 2x² − 15x + 25 = 0
    6. x = (15 ± 5)/4 → x = 5 או x = 2.5
    7. f(5) = (50 − 55 + 14)·e^(−1) = 9/e
    8. f(2.5) = (12.5 − 27.5 + 14)·e¹.5 = −e¹.5
    9. בדיקת סימנים: (2.5 , −e¹.5) מינימום ו-(5 , 9/e) מקסימום

    תשובה: (2.5 , −e¹.5) מינימום ו-(5 , 9/e) מקסימום

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (2x² − 11x + 14)·e^(4−x), שנקודות הקיצון שלה הן (2.5 , −e¹.5) מינימום ו-(5 , 9/e) מקסימום. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f'(x) וציר ה-x בתחום שבין 2.5 ל-5.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בין 2.5 ל-5 הפונקציה עולה, ולכן f' חיובית שם
    2. S = ∫ מ-2.5 עד 5 של f'(x)dx = f(5) − f(2.5)
    3. = 9/e − (−e¹.5)
    4. = 9/e + e¹.5
    5. ≈ 3.311 + 4.482 ≈ 7.79

    תשובה: 9/e + e¹.5 ≈ 7.79

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (2x² − 11x + 14)·e^(4−x), שאפסיה הם 2 ו-3.5 ונקודות הקיצון שלה ב-2.5 וב-5. מצאו את התחום שבו מתקיים בו-זמנית f(x) < 0 וגם f'(x) < 0.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(x) < 0 בין שני האפסים: 2 < x < 3.5
    2. f'(x) < 0 כאשר הפונקציה יורדת: x < 2.5 או x > 5
    3. החיתוך של שני התחומים: 2 < x < 2.5

    תשובה: 2 < x < 2.5

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (ln x)²/x⁴. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בלוגריתם חיובי: x > 0
    2. המכנה שונה מאפס, וזה מתקיים אוטומטית עבור x > 0
    3. חיתוך עם ציר ה-x: (ln x)² = 0 → ln x = 0 → x = 1
    4. הנקודה: (1 , 0)

    תשובה: תחום x > 0 ; חיתוך ב-(1 , 0)

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (ln x)²/x⁴ בתחום x > 0. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה
    2. f'(x) = [2·ln x·(1/x)·x⁴ − (ln x)²·4x³] / x⁸
    3. נוציא x³ במונה: f'(x) = x³·ln x·[2 − 4·ln x] / x⁸
    4. f'(x) = ln x(2 − 4·ln x)/x⁵
    5. אפסים: ln x = 0 → x = 1
    6. או 2 − 4·ln x = 0 → ln x = 0.5 → x = √e
    7. f(1) = 0 ; f(√e) = 0.25/e² = 1/(4e²)
    8. בדיקת סימנים: (1 , 0) מינימום ו-(√e , 1/(4e²)) מקסימום

    תשובה: (1 , 0) מינימום ו-(√e , 1/(4e²)) מקסימום

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (ln x)²/x⁴ שנקודת המקסימום שלה היא (√e , 1/(4e²)). מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודת המקסימום.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת
    2. שיפוע המשיק שווה לנגזרת באותה נקודה, כלומר 0
    3. משיק בשיפוע 0 הוא ישר אופקי
    4. y = 1/(4e²)

    תשובה: y = 1/(4e²)

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (ln x)²/x⁴, והשטח בין הגרף שלה למשיק בנקודת המקסימום הוא S. נתונה g(x) = −f(x), הסימטרית ל-f ביחס לציר ה-x. עבור איזה ערך c השטח בין גרף g לישר y = c שווה ל-S?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. g היא שיקוף של f מעל ציר ה-x
    2. שיקוף אינו משנה שטחים
    3. נקודת המקסימום של f הופכת לנקודת מינימום של g
    4. שיעור ה-y שלה: −1/(4e²)
    5. המשיק שם הוא הישר y = −1/(4e²)
    6. לכן c = −1/(4e²), והשטח המתקבל שווה ל-S מסימטריה

    תשובה: c = −1/(4e²)

23. שאלה 23 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (2x² − 11x + 14)·e^(4−x), שנקודות הקיצון שלה הן (2.5 , −e^1.5) מינימום ו-(5 , 9/e) מקסימום. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f'(x) וציר ה-x בתחום שבין 2.5 ל-5.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בין 2.5 ל-5 הפונקציה עולה, ולכן f' חיובית שם
    2. S = ∫ מ-2.5 עד 5 של f'(x)dx = f(5) − f(2.5)
    3. = 9/e − (−e^1.5)
    4. = 9/e + e^1.5
    5. ≈ 3.311 + 4.482 ≈ 7.79

    תשובה: 9/e + e^1.5 ≈ 7.79