שאלון 35472 — חורף 2025

22 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   נתונה סדרה הנדסית A שהמנה שלה היא q ובה 10 איברים. האיבר השישי בסדרה גדול פי 81 מן האיבר השני. מצאו את q.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. a₆ = 81 · a₂
   2. a₁q⁵ = 81 · a₁q
   3. נחלק ב-a₁q (שונה מאפס): q⁴ = 81
   4. q = 3 (המנה חיובית, כפי שיתברר מהמשך הנתונים)

   תשובה: q = 3

2. שאלה 2 · סדרות

   בסדרה הנדסית A יש 10 איברים והמנה שלה היא 3. סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה הוא 1,296. מצאו את האיבר הראשון בסדרה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בסדרה בת 10 איברים, שני האיברים האמצעיים הם a₅ ו-a₆
   2. a₅ + a₆ = 1,296
   3. a₁·3⁴ + a₁·3⁵ = 1,296
   4. 81a₁ + 243a₁ = 1,296
   5. 324a₁ = 1,296 → a₁ = 4

   תשובה: a₁ = 4

3. שאלה 3 · סדרות

   בסדרה הנדסית A האיבר הראשון הוא 4, המנה 3 ויש בה 10 איברים. נתונה גם סדרה חשבונית B, וסכום הסדרה A גדול פי 11 מסכום הסדרה B. מצאו את סכום הסדרה B.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. סכום סדרה הנדסית: Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
   2. S₁₀ = 4(3¹⁰ − 1)/(3 − 1)
   3. 3¹⁰ = 59,049
   4. S₁₀ = 4 · 59,048 / 2 = 118,096
   5. סכום B: 118,096 / 11 = 10,736

   תשובה: 10,736

4. שאלה 4 · סדרות

   בסדרה חשבונית B יש 32 איברים וסכומה 10,736. האיבר השני בסדרה גדול פי 16 מן ההפרש שלה. מצאו את הפרש הסדרה B.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. b₂ = 16d, כלומר b₁ + d = 16d
   2. b₁ = 15d
   3. סכום סדרה חשבונית: Sₙ = n(2b₁ + (n−1)d)/2
   4. 10,736 = 32(2·15d + 31d)/2
   5. 10,736 = 16(30d + 31d) = 16 · 61d
   6. 10,736 = 976d → d = 11

   תשובה: d = 11

5. שאלה 5 · וקטורים

   בתיבה ABCDA'B'C'D' מסמנים u = AB, v = BC, w = AA'. הנקודה P נמצאת על המקצוע DD' כך ש-DP = ⅓·DD', והנקודה M היא אמצע האלכסון BC' של הפאה הצדדית. הביעו את הווקטור AP באמצעות u, v ו-w.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. AP = AD + DP
   2. AD = BC = v (צלעות נגדיות בתיבה שוות ומקבילות)
   3. DP = ⅓·DD' = ⅓w
   4. AP = v + ⅓w

   תשובה: AP = v + ⅓w

6. שאלה 6 · וקטורים

   בתיבה שבה u = AB, v = BC ו-w = AA', מקצועות הצדדים מאונכים לבסיסים. נתון |u| = 24, |v| = 8, |w| = 24, וכן AP = v + ⅓w ו-MP = −u + ½v − ⅙w. הוכיחו כי הווקטור AP מאונך לווקטור MP.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בתיבה כל שלושת המקצועות מאונכים זה לזה, לכן u·v = u·w = v·w = 0
   2. u·u = 24² = 576 , v·v = 8² = 64 , w·w = 24² = 576
   3. AP · MP = (v + ⅓w) · (−u + ½v − ⅙w)
   4. כל המכפלות המעורבות מתאפסות, נשארים רק האיברים הריבועיים
   5. = ½(v·v) − ⅟₁₈(w·w) = ½·64 − ⅟₁₈·576
   6. = 32 − 32 = 0
   7. מכפלה סקלרית אפס ⟵ הווקטורים מאונכים

   תשובה: המכפלה הסקלרית שווה לאפס, ולכן הווקטורים מאונכים

7. שאלה 7 · וקטורים

   בתיבה שבה |u| = 24, |v| = 8, |w| = 24, נתון AP = v + ⅓w ו-MP = −u + ½v − ⅙w, והוכח כי AP מאונך ל-MP. חשבו את שטח המשולש APM.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. |AP|² = (v + ⅓w)·(v + ⅓w) = 64 + ⅑·576 = 64 + 64 = 128 → |AP| = 8√2
   2. |MP|² = |u|² + ¼|v|² + ⅟₃₆|w|² = 576 + 16 + 16 = 608 → |MP| = 4√38
   3. המשולש ישר זווית ב-P, לכן S = (|AP| · |MP|)/2
   4. S = (8√2 · 4√38)/2 = (32√76)/2 = 32√19
   5. S ≈ 139.5

   תשובה: 32√19 ≈ 139.5

8. שאלה 8 · וקטורים

   בתיבה ABCDA'B'C'D' הקודקוד D נמצא בראשית הצירים D(0,0,0). הקודקוד A על החלק החיובי של ציר ה-x כאשר AD = 8, הקודקוד C על החלק החיובי של ציר ה-y כאשר DC = 24, וגובה התיבה DD' = 24. מצאו את שיעורי הקודקודים A, B, C ו-C'.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. A על ציר ה-x במרחק 8 מהראשית: A(8,0,0)
   2. C על ציר ה-y במרחק 24 מהראשית: C(0,24,0)
   3. ABCD מלבן, וצלעותיו הנגדיות שוות ומקבילות, לכן B(8,24,0)
   4. C' נמצא מעל C בגובה 24: C'(0,24,24)

   תשובה: A(8,0,0) , B(8,24,0) , C(0,24,0) , C'(0,24,24)

9. שאלה 9 · וקטורים

   בתיבה נתונים הקודקודים B(8,24,0) ו-C'(0,24,24). הנקודה M היא אמצע הקטע BC'. מצאו את שיעורי הנקודה M.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נוסחת אמצע קטע במרחב: M = ((x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 , (z₁+z₂)/2)
   2. x: (8 + 0)/2 = 4
   3. y: (24 + 24)/2 = 24
   4. z: (0 + 24)/2 = 12
   5. M(4, 24, 12)

   תשובה: M(4, 24, 12)

10. שאלה 10 · וקטורים

    נתונות הנקודות M(4,24,12), B(8,24,0) ו-P(0,0,8). חשבו את גודל הזווית PMB.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. MB = B − M = (4, 0, −12) , |MB| = √(16 + 144) = √160 = 4√10
    2. MP = P − M = (−4, −24, −4) , |MP| = √(16 + 576 + 16) = √608 = 4√38
    3. מכפלה סקלרית: MP·MB = (−4)(4) + (−24)(0) + (−4)(−12) = −16 + 0 + 48 = 32
    4. cos∠PMB = 32 / (4√38 · 4√10) = 32 / (16√380)
    5. ∠PMB ≈ 84.11°

    תשובה: כ-84.11°

11. שאלה 11 · גדילה ודעיכה

    ביום הקנייה נפח גלגל ים היה 3,700 סמ"ק ונפח מזרן ים היה 7,400 סמ"ק. עקב פליטת אוויר, שני הנפחים קטנים באחוז קבוע בכל יום. כעבור 7 ימים נפח הגלגל היה שווה לנפח המזרן. קבעו לגבי כל טענה אם היא נכונה: (I) כעבור 6 ימים נפח הגלגל היה גדול מנפח המזרן. (II) כעבור 8 ימים נפח הגלגל היה גדול מנפח המזרן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נפח המזרן היה כפול מזה של הגלגל, והם השתוו רק לאחר 7 ימים
    2. לכן הדעיכה של המזרן מהירה יותר
    3. עד היום ה-7 נפח המזרן היה גדול יותר, ולכן ביום ה-6 הגלגל היה קטן יותר ← טענה I אינה נכונה
    4. מהיום ה-7 והלאה המזרן ממשיך לדעוך מהר יותר, ולכן ביום ה-8 הגלגל גדול יותר ← טענה II נכונה

    תשובה: טענה I אינה נכונה, טענה II נכונה

12. שאלה 12 · גדילה ודעיכה

    נפח גלגל ים ביום הקנייה היה 3,700 סמ"ק ונפח מזרן ים 7,400 סמ"ק. נפח הגלגל קטן ב-4% בכל יום. כעבור 7 ימים היה נפח הגלגל שווה לנפח המזרן. מצאו את האחוז שבו קטן נפח המזרן בכל יום.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. גורם הדעיכה של הגלגל: q = (100 − 4)/100 = 0.96
    2. נסמן ב-qₘ את גורם הדעיכה של המזרן
    3. 3,700 · 0.96⁷ = 7,400 · qₘ⁷
    4. qₘ⁷ = 0.5 · 0.96⁷ = 0.5 · 0.7514 = 0.3757
    5. qₘ = 0.3757^(1/7) ≈ 0.8695
    6. אחוז הדעיכה: 100 − 86.95 = 13.05%

    תשובה: כ-13.05%

13. שאלה 13 · גדילה ודעיכה

    נפח גלגל ים ביום הקנייה 3,700 סמ"ק והוא קטן ב-4% ביום. נפח מזרן ים ביום הקנייה 7,400 סמ"ק והוא קטן ב-13.05% ביום. כעבור t ימים מיום הקנייה היה נפח המזרן שליש מנפח הגלגל. מצאו את t.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. 7,400 · 0.8695ᵗ = ⅓ · 3,700 · 0.96ᵗ
    2. נחלק את שני האגפים ב-7,400 · 0.96ᵗ
    3. (0.8695/0.96)ᵗ = 3,700 / (3 · 7,400) = 1/6
    4. 0.9057ᵗ = 1/6
    5. t = ln(1/6) / ln(0.9057)
    6. t ≈ (−1.7918) / (−0.0990) ≈ 18.1 ימים

    תשובה: t ≈ 18.1 ימים

14. שאלה 14 · גדילה ודעיכה

    אמיר החליט לנפח את המזרן. במהלך הניפוח גדל נפח המזרן בכל דקה ב-22%. בסיום הניפוח היה נפח המזרן גדול פי 7.5 מהנפח שלו בתחילת הניפוח. כמה דקות נמשך הניפוח?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. גורם הגדילה: q = (100 + 22)/100 = 1.22
    2. M₀ · 1.22ᵗ = 7.5 · M₀
    3. נחלק ב-M₀: 1.22ᵗ = 7.5
    4. t = ln 7.5 / ln 1.22
    5. t ≈ 2.0149 / 0.19885 ≈ 10.13 דקות

    תשובה: כ-10.13 דקות

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x² − 2)·e^(−2x+1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בנקודות החיתוך עם ציר ה-x מתקיים f(x) = 0
    2. (x² − 2)·e^(−2x+1) = 0
    3. e^(−2x+1) חיובי לכל x ולעולם אינו מתאפס
    4. לכן x² − 2 = 0
    5. x = ±√2

    תשובה: (√2 , 0) ו-(−√2 , 0)

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x² − 2)·e^(−2x+1). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המכפלה
    2. f'(x) = 2x·e^(−2x+1) + (x² − 2)·(−2)·e^(−2x+1)
    3. f'(x) = e^(−2x+1) · (2x − 2x² + 4) = −2e^(−2x+1)(x² − x − 2)
    4. e^(−2x+1) חיובי תמיד, לכן x² − x − 2 = 0
    5. x = 2 או x = −1
    6. f(2) = (4 − 2)·e^(−3) = 2/e³ ← מקסימום
    7. f(−1) = (1 − 2)·e^(3) = −e³ ← מינימום

    תשובה: (2 , 2/e³) מקסימום ו-(−1 , −e³) מינימום

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות הפונקציות f(x) = (x² − 2)·e^(−2x+1) ו-g(x) = 7·e^(−2x+1). הסבירו מדוע g(x) חיובית לכל x, ומצאו את שיעורי נקודות החיתוך של שני הגרפים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. e^(−2x+1) הוא חזקה עם בסיס חיובי, ולכן חיובי לכל x
    2. מכפלה במספר חיובי (7) נשארת חיובית
    3. לנקודות החיתוך: (x² − 2)·e^(−2x+1) = 7·e^(−2x+1)
    4. נחלק ב-e^(−2x+1) שאינו אפס: x² − 2 = 7
    5. x² = 9 → x = ±3
    6. x = 3: y = 7·e^(−5) = 7/e⁵
    7. x = −3: y = 7·e^(7)

    תשובה: g חיובית כי e בחזקה כלשהי חיובית תמיד; נקודות החיתוך (3 , 7/e⁵) ו-(−3 , 7e⁷)

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה g(x) = 7·e^(−2x+1), החיובית לכל x. דרך הנקודות שבהן x = 3 ו-x = −3 מעבירים ישרים המאונכים לציר ה-x. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g, ציר ה-x ושני האנכים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הפונקציה חיובית בכל התחום, לכן השטח הוא האינטגרל עצמו
    2. S = ∫ מ-−3 עד 3 של 7·e^(−2x+1) dx
    3. הפונקציה הקדומה: 7·e^(−2x+1)/(−2) = −3.5·e^(−2x+1)
    4. הצבת הגבול העליון x = 3: −3.5·e^(−5)
    5. הצבת הגבול התחתון x = −3: −3.5·e^(7)
    6. S = −3.5/e⁵ + 3.5e⁷ ≈ 3,838.2

    תשובה: 3.5e⁷ − 3.5/e⁵ ≈ 3,838.2

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 6x / (ln x)². מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי שבתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי: x > 0
    2. המכנה חייב להיות שונה מאפס: (ln x)² ≠ 0
    3. ln x ≠ 0 → x ≠ 1
    4. x = 1 מאפס את המכנה ואינו מאפס את המונה (המונה שווה 6)
    5. לכן x = 1 היא אסימפטוטה אנכית

    תשובה: תחום ההגדרה x > 0 ו-x ≠ 1 ; האסימפטוטה x = 1

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 6x / (ln x)², המוגדרת עבור x > 0 ו-x ≠ 1. הראו כי גרף הפונקציה אינו חותך את הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. חיתוך עם ציר ה-x: f(x) = 0 → 6x = 0 → x = 0
    2. x = 0 אינו בתחום ההגדרה, לכן אין חיתוך עם ציר ה-x
    3. חיתוך עם ציר ה-y מתרחש ב-x = 0
    4. x = 0 אינו בתחום ההגדרה, לכן אין חיתוך גם עם ציר ה-y

    תשובה: אין חיתוך עם אף אחד מהצירים

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 6x / (ln x)². מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה
    2. f'(x) = [6(ln x)² − 6x · 2·ln x · (1/x)] / (ln x)⁴
    3. f'(x) = [6(ln x)² − 12 ln x] / (ln x)⁴
    4. f'(x) = 6 ln x (ln x − 2) / (ln x)⁴
    5. נשווה לאפס: ln x = 0 (נפסל, מחוץ לתחום) או ln x = 2
    6. x = e²
    7. f(e²) = 6e² / 2² = 1.5e²
    8. בדיקת סימנים משני צדי e² מראה מעבר משלילי לחיובי ← מינימום

    תשובה: (e² , 1.5e²) מינימום

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 6x / (ln x)², המוגדרת עבור x > 0 ו-x ≠ 1, שנקודת המינימום שלה היא (e² , 1.5e²). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f'(x) = 6 ln x (ln x − 2) / (ln x)⁴
    2. בתחום 0 < x < 1: ln x שלילי, לכן שני הגורמים במונה שליליים והמכנה חיובי ← f' > 0 ← עלייה
    3. בתחום 1 < x < e²: 0 < ln x < 2, לכן ln x חיובי ו-(ln x − 2) שלילי ← f' < 0 ← ירידה
    4. בתחום x > e²: ln x > 2, שני הגורמים חיוביים ← f' > 0 ← עלייה

    תשובה: עולה בתחום 0 < x < 1 ובתחום x > e² ; יורדת בתחום 1 < x < e²