שאלון 35472 — קיץ מועד א׳ 2025

8 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   נתונה סדרה חשבונית A ובה 57 איברים. נתון כי a₂ + a₄ = a₆, והאיבר האחרון בסדרה הוא 171. מצאו את הפרש הסדרה ואת a₁.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נבטא את שלושת האיברים באמצעות a₁ ו-d
   2. (a₁ + d) + (a₁ + 3d) = a₁ + 5d
   3. 2a₁ + 4d = a₁ + 5d
   4. a₁ = d
   5. האיבר ה-57: a₅₇ = a₁ + 56d = 171
   6. מכיוון ש-a₁ = d נקבל 57d = 171
   7. d = 3 ולכן גם a₁ = 3
   8. בדיקה: a₂ + a₄ = 6 + 12 = 18, וגם a₆ = 18 ✓

   תשובה: d = 3 ו-a₁ = 3

2. שאלה 2 · גדילה ודעיכה

   בשתי משתלות החלו לשתול באותו יום: במשתלה א' 600 צמחים ובמשתלה ב' a צמחים. מספר הצמחים במשתלה א' גדל ב-5% בכל שבוע ובמשתלה ב' ב-10% בכל שבוע. כעבור זמן מסוים היה מספר הצמחים בשתי המשתלות שווה. קבעו איזו טענה נכונה — I: a < 600, או II: a > 600 — ונמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. משתלה ב' גדלה בקצב מהיר יותר (10% מול 5%)
   2. אם היו מתחילות מאותו מספר, ב' הייתה גדולה מ-א' כבר מן השבוע הראשון ולעולם לא היו נפגשות
   3. כדי שהן ישתוו בנקודת זמן מאוחרת יותר, ב' חייבת להתחיל מתחת ל-א'
   4. לכן a < 600, כלומר טענה I

   תשובה: טענה I נכונה: a < 600

3. שאלה 3 · גדילה ודעיכה

   במשתלה א' 600 צמחים בתחילה והמספר גדל ב-5% בשבוע; במשתלה ב' a צמחים בתחילה והמספר גדל ב-10% בשבוע. כעבור 17 שבועות היה מספר הצמחים במשתלה ב' גדול פי 2 ממספר הצמחים במשתלה א'. מצאו את a.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מספר הצמחים אחרי 17 שבועות: משתלה א' — 600 · 1.05¹⁷, משתלה ב' — a · 1.1¹⁷
   2. התנאי: a · 1.1¹⁷ = 2 · 600 · 1.05¹⁷
   3. a = 1,200 · (1.05 / 1.1)¹⁷
   4. (1.05/1.1)¹⁷ ≈ 0.4535
   5. a ≈ 1,200 · 0.4535 ≈ 544 צמחים
   6. בדיקה: א' ≈ 1,375 וב' ≈ 2,750, כלומר בדיוק פי 2 ✓

   תשובה: a ≈ 544 צמחים

4. שאלה 4 · גדילה ודעיכה

   במשתלה ב' החלו למכור צמחים, ומאותו יום מספר הצמחים קטן בכל שבוע באחוז קבוע. כעבור 5 שבועות מן היום שבו החלו למכור היה מספר הצמחים 53% ממספרם בתחילת המכירה. מצאו בכמה אחוזים קטן מספר הצמחים בכל שבוע.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן ב-q את גורם הדעיכה השבועי
   2. q⁵ = 0.53
   3. q = 0.53^(1/5)
   4. q ≈ 0.88076
   5. אחוז הירידה: (1 − 0.88076) · 100
   6. ≈ 11.92%

   תשובה: בכ-11.92% בכל שבוע

5. שאלה 5 · גדילה ודעיכה

   בתחילת המכירה היו במשתלה ב' פי 2 צמחים מאשר במשתלה א'. מאותו יום מספר הצמחים במשתלה ב' קטן ב-11.92% בכל שבוע, ובמשתלה א' ב-8% בכל שבוע. מצאו כעבור כמה שבועות מן היום שבו החלו למכור היה מספר הצמחים בשתי המשתלות שווה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן ב-A₀ את מספר הצמחים במשתלה א' בתחילת המכירה, ואז במשתלה ב' יש 2A₀
   2. משתלה א' אחרי t שבועות: A₀ · 0.92^t
   3. משתלה ב' אחרי t שבועות: 2A₀ · 0.88076^t
   4. נשווה ונצמצם ב-A₀: 2 · 0.88076^t = 0.92^t
   5. (0.88076 / 0.92)^t = 0.5
   6. 0.957348^t = 0.5
   7. t = ln0.5 / ln0.957348 ≈ 15.9 שבועות
   8. בדיקה: בשתי המשתלות מתקבלים כ-365 צמחים ✓

   תשובה: כעבור כ-15.9 שבועות

6. שאלה 6 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = eˣ/(x² − 4x + a), כאשר a פרמטר. לפונקצייה יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה x = 2. מצאו את הערך של a.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. אסימפטוטה אנכית מתקבלת במקום שבו המכנה מתאפס והמונה אינו מתאפס
   2. המונה eˣ חיובי תמיד ואינו מתאפס לעולם
   3. לכן x = 2 חייב לאפס את המכנה: 2² − 4·2 + a = 0
   4. 4 − 8 + a = 0
   5. a = 4
   6. (ואז המכנה הוא x² − 4x + 4 = (x−2)²)

   תשובה: a = 4

7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = eˣ/(x − 2)². מצאו את תחום ההגדרה שלה ואת שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המכנה אינו יכול להתאפס: (x−2)² ≠ 0 ולכן x ≠ 2
   2. חיתוך עם ציר ה-x: נדרש f(x) = 0, כלומר eˣ = 0
   3. פונקציה מעריכית חיובית תמיד, ולכן אין פתרון — הגרף אינו חותך את ציר ה-x
   4. חיתוך עם ציר ה-y: נציב x = 0
   5. f(0) = e⁰/(0−2)² = 1/4
   6. הנקודה (0 , 0.25)

   תשובה: תחום ההגדרה x ≠ 2. אין חיתוך עם ציר ה-x, והחיתוך עם ציר ה-y הוא (0 , 0.25)

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = eˣ/(x − 2)². מצאו את שיעורי נקודת הקיצון שלה וקבעו את סוגה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נגזור לפי כלל המנה: f′(x) = [eˣ(x−2)² − eˣ·2(x−2)] / (x−2)⁴
   2. נוציא גורם משותף eˣ(x−2) במונה
   3. f′(x) = eˣ(x − 2 − 2) / (x−2)³
   4. f′(x) = eˣ(x − 4) / (x−2)³
   5. eˣ > 0 תמיד, ולכן הסימן נקבע על ידי (x−4)/(x−2)³
   6. f′(x) = 0 כאשר x = 4
   7. בתחום 2 < x < 4 הנגזרת שלילית ובתחום x > 4 חיובית, ולכן זו נקודת מינימום
   8. f(4) = e⁴/(4−2)² = e⁴/4 ≈ 13.65

   תשובה: מינימום בנקודה (4 , e⁴/4) ≈ (4 , 13.65)