שאלון 35472 — קיץ מועד ב׳ 2025

23 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · וקטורים

   בפירמידה משולשת SABC מסמנים u = AB, v = AC ו-w = AS. הנקודות E ו-F מקיימות SE = ¾SB ו-SF = ¾SC. הביעו את SE ו-SF באמצעות u, v ו-w.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. SB = SA + AB = −w + u
   2. SE = ¾SB = ¾(−w + u) = ¾u − ¾w
   3. SC = SA + AC = −w + v
   4. SF = ¾SC = ¾(−w + v) = ¾v − ¾w

   תשובה: SE = ¾u − ¾w ; SF = ¾v − ¾w

2. שאלה 2 · וקטורים

   בפירמידה SABC נתונים SE = ¾u − ¾w ו-SF = ¾v − ¾w, כאשר u = AB ו-v = AC. הביעו את EF באמצעות u ו-v, והסבירו מדוע EF מקביל ל-BC.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. EF = ES + SF = −SE + SF
   2. EF = −(¾u − ¾w) + (¾v − ¾w)
   3. EF = −¾u + ¾w + ¾v − ¾w = −¾u + ¾v
   4. BC = BA + AC = −u + v
   5. EF = ¾(−u + v) = ¾·BC
   6. הווקטורים קולינאריים, ולכן הישרים מקבילים
   7. E ו-F על המקצועות הצדדיים ולא על BC, ולכן הישרים אינם מתלכדים

   תשובה: EF = −¾u + ¾v , והוא מקביל ל-BC

3. שאלה 3 · גדילה ודעיכה

   מספר ההאזנות לשיר A היה 5,000 ביום העלאתו וגדל ב-8% בכל יום. מספר ההאזנות לשיר B היה 3,032 ביום העלאתו וגדל ב-16% בכל יום. לאחר כמה ימים היה מספר ההאזנות לשני השירים שווה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 5,000 · 1.08ᵗ = 3,032 · 1.16ᵗ
   2. נחלק ב-3,032 · 1.08ᵗ
   3. (1.16/1.08)ᵗ = 5,000/3,032
   4. 1.0741ᵗ = 1.6491
   5. t = ln(1.6491)/ln(1.0741) ≈ 0.5003/0.0715 ≈ 7 ימים

   תשובה: כעבור 7 ימים

4. שאלה 4 · גדילה ודעיכה

   מספר ההאזנות לשיר A היה 5,000 ביום העלאתו וגדל ב-8% ביום. כעבור 7 ימים החלה ירידה של 8% ביום. לאחר כמה ימים מיום העלאת השיר הגיע מספר ההאזנות ל-2,450?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מספר ההאזנות בשיא: 5,000 · 1.08⁷ ≈ 8,569
   2. גורם הדעיכה: (100 − 8)/100 = 0.92
   3. 8,569 · 0.92ᵗ = 2,450
   4. 0.92ᵗ = 0.2859
   5. t = ln(0.2859)/ln(0.92) ≈ 15 ימים של ירידה
   6. סך הימים מיום ההעלאה: 7 + 15 = 22

   תשובה: 22 ימים

5. שאלה 5 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה f(x) = e^(2x)/(eˣ − 4). מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. חיתוך עם ציר ה-x: e^(2x) = 0
   2. פונקציה מעריכית חיובית תמיד ולעולם אינה מתאפסת, לכן אין חיתוך
   3. חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = e⁰/(e⁰ − 4) = 1/(1 − 4)
   4. f(0) = −1/3 → (0 , −1/3)

   תשובה: חיתוך עם ציר ה-y ב-(0 , −1/3) ; אין חיתוך עם ציר ה-x

6. שאלה 6 · סדרות

   מיכל מעבירה מדי חודש פיקדון לחיסכון. גובה הפיקדון גדל במספר קבוע של שקלים מדי חודש. סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל בחודש הראשון ובחודש השני הוא 2100 שקלים. גובה הפיקדון שהעבירה בחודש החמישי גדול פי 3 מגובה הפיקדון של החודש הראשון. מצאו את גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש הראשון ואת הפרש הסדרה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. גובה הפיקדון גדל במספר קבוע מדי חודש, ולכן זו סדרה חשבונית
   2. מהנתון הראשון: a₁ + a₂ = 2100, כלומר a₁ + (a₁ + d) = 2100 ולכן 2a₁ + d = 2100
   3. מהנתון השני: a₅ = 3a₁, כלומר a₁ + 4d = 3a₁ ולכן 4d = 2a₁
   4. מכאן d = 0.5a₁, ובאופן שקול a₁ = 2d
   5. נציב במשוואה הראשונה: 2·(2d) + d = 2100
   6. 5d = 2100 → d = 420
   7. a₁ = 2·420 = 840 שקלים

   תשובה: הפיקדון הראשון 840 שקלים, וההפרש 420 שקלים

7. שאלה 7 · סדרות

   מיכל מעבירה פיקדון חודשי לחיסכון בסדרה חשבונית. הפיקדון בחודש הראשון הוא 840 שקלים, ובכל חודש היא מעבירה 420 שקלים יותר מהחודש שלפניו. לאחר כמה חודשים היה סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל 22680 שקלים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נוסחת סכום סדרה חשבונית: Sₙ = n·[2a₁ + d(n−1)] / 2
   2. נציב: 22680 = n·[2·840 + 420(n−1)] / 2
   3. נכפול ב-2: 45360 = n·(1680 + 420n − 420)
   4. 45360 = n·(1260 + 420n) = 420n² + 1260n
   5. נחלק ב-420: n² + 3n − 108 = 0
   6. פתרונות המשוואה: n = 9 ו-n = −12
   7. הפתרון n = −12 נפסל, כי מספר חודשים חייב להיות חיובי ושלם
   8. התשובה היא 9 חודשים

   תשובה: 9 חודשים

8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה f(x) = e^(2x)/(eˣ − 4). מצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נגזור לפי כלל המנה
   2. f'(x) = [2e^(2x)(eˣ − 4) − e^(2x)·eˣ] / (eˣ − 4)²
   3. נוציא e^(2x) כגורם משותף במונה
   4. f'(x) = e^(2x)(2eˣ − 8 − eˣ) / (eˣ − 4)²
   5. f'(x) = e^(2x)(eˣ − 8) / (eˣ − 4)²
   6. e^(2x) חיובי תמיד והמכנה בריבוע, לכן הסימן נקבע על ידי eˣ − 8
   7. eˣ = 8 → x = ln 8
   8. לפני ln 8 הנגזרת שלילית ואחריו חיובית ← מינימום

   תשובה: x = ln 8 , מינימום

9. שאלה 9 · סדרות

   בסדרה חשבונית האיבר הראשון הוא 840 וההפרש הוא 420. בחודש ה-12 החליטה מיכל לקנות מקרר שמחירו זהה לגובה הפיקדון שהייתה אמורה להעביר באותו חודש. היא שילמה בארבעה תשלומים, כאשר כל תשלום גדול פי 3 מהתשלום שלפניו. חשבו את גובה התשלום הראשון.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נמצא את האיבר ה-12 בסדרה החשבונית: a₁₂ = a₁ + 11d
   2. a₁₂ = 840 + 11·420 = 840 + 4620 = 5460 שקלים — זהו מחיר המקרר
   3. התשלומים מהווים סדרה הנדסית עם מנה q = 3 וסכום S₄ = 5460
   4. נוסחת סכום סדרה הנדסית: S₄ = b₁·(q⁴ − 1)/(q − 1)
   5. 5460 = b₁·(81 − 1)/(3 − 1) = b₁·80/2 = 40b₁
   6. b₁ = 5460/40 = 136.5 שקלים

   תשובה: 136.5 שקלים

10. שאלה 10 · וקטורים

    נתונות הנקודות B(1;−1;3) ו-C(13;15;3) במרחב. הווקטור EF מקיים EF = (3/4)·BC. מצאו את הווקטור BC ואת הווקטור EF.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. וקטור בין שתי נקודות: BC = C − B
    2. BC = (13,15,3) − (1,−1,3) = (12,16,0)
    3. EF = (3/4)·BC = (3/4)·(12,16,0)
    4. EF = (9,12,0)

    תשובה: BC = (12,16,0) ו-EF = (9,12,0)

11. שאלה 11 · וקטורים

    נתונה הנקודה E(5;1;6) והווקטור EF = (9;12;0). מצאו את שיעורי הנקודה F.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מהגדרת וקטור: EF = F − E
    2. ולכן F = E + EF
    3. F = (5,1,6) + (9,12,0)
    4. F = (14,13,6)

    תשובה: F(14;13;6)

12. שאלה 12 · וקטורים

    נתונות שלוש נקודות במרחב: A(4;12;3), E(5;1;6) ו-F(14;13;6). חשבו את גודל הזווית EAF.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. AE = E − A = (1,−11,3), ואורכו √(1 + 121 + 9) = √131
    2. AF = F − A = (10,1,3), ואורכו √(100 + 1 + 9) = √110
    3. המכפלה הסקלרית: AE·AF = 1·10 + (−11)·1 + 3·3 = 10 − 11 + 9 = 8
    4. cos(EAF) = (AE·AF)/(|AE|·|AF|) = 8/(√131·√110)
    5. הזווית EAF היא 86.18 מעלות

    תשובה: 86.18 מעלות

13. שאלה 13 · וקטורים

    במשולש EAF נתון: |AE| = √131, |AF| = √110, וגודל הזווית EAF הוא 86.18 מעלות. חשבו את שטח המשולש.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: S = (|AE|·|AF|·sin(EAF))/2
    2. S = (√131 · √110 · sin(86.18°))/2
    3. √131 · √110 = √14410 ≈ 120.04
    4. S ≈ (120.04 · 0.99777)/2 = 59.887

    תשובה: 59.887

14. שאלה 14 · גדילה ודעיכה

    מספר ההאזנות לשיר A גדל בכל יום באחוז קבוע. ביום העלאת השיר היה מספר ההאזנות 5000, וכעבור 5 ימים היה מספר ההאזנות 7350. מצאו את אחוז הגידול היומי במספר ההאזנות לשיר A.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נוסחת גדילה מעריכית: f(t) = f(0)·qᵗ
    2. נציב: 7350 = 5000·q⁵
    3. נחלק ב-5000: q⁵ = 1.47
    4. q = 1.47^(1/5) ≈ 1.08
    5. מקדם גדילה של 1.08 פירושו גידול של 8% בכל יום

    תשובה: 8% ליום

15. שאלה 15 · גדילה ודעיכה

    מספר ההאזנות לשיר B גדל בכל יום ב-16%. ביום העלאת השיר היה מספר ההאזנות לשיר B שווה ל-3032. מספר ההאזנות לשיר A כעבור 5 ימים היה 7350. בכמה גדול מספר ההאזנות לשיר A ממספר ההאזנות לשיר B כעבור 5 ימים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מקדם הגדילה של שיר B: q = (100 + 16)/100 = 1.16
    2. מספר ההאזנות לשיר B כעבור 5 ימים: f(5) = 3032·1.16⁵
    3. 1.16⁵ ≈ 2.1003, ולכן f(5) ≈ 6368
    4. ההפרש: 7350 − 6368 = 982

    תשובה: 982 האזנות

16. שאלה 16 · גדילה ודעיכה

    מספר ההאזנות לשיר A הוא 5000 ביום העלאת השיר וגדל ב-8% בכל יום. מספר ההאזנות לשיר B הוא 3032 ביום העלאת השיר וגדל ב-16% בכל יום. לאחר כמה ימים היה מספר ההאזנות לשני השירים שווה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נשווה בין שתי הפונקציות: 5000·1.08ᵗ = 3032·1.16ᵗ
    2. נחלק את שני האגפים ב-3032·1.08ᵗ
    3. 5000/3032 = (1.16/1.08)ᵗ
    4. 1.6491 = 1.0741ᵗ
    5. נפעיל לוגריתם: ln(1.6491) = t·ln(1.0741)
    6. t = ln(1.6491)/ln(1.0741) ≈ 7 ימים

    תשובה: 7 ימים

17. שאלה 17 · גדילה ודעיכה

    מספר ההאזנות לשיר A היה 5000 ביום העלאתו וגדל ב-8% בכל יום. לאחר 7 ימים החלה ירידה במספר ההאזנות, באחוז זהה לאחוז הגדילה, כלומר ירידה של 8% בכל יום. לאחר כמה ימים מיום העלאת השיר היה מספר ההאזנות 2450?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מספר ההאזנות לאחר 7 ימי גדילה: f(7) = 5000·1.08⁷ ≈ 8569
    2. מקדם הדעיכה: q = (100 − 8)/100 = 0.92
    3. נמצא לאחר כמה ימים נוספים מגיעים ל-2450: 8569·0.92ᵗ = 2450
    4. 0.92ᵗ = 0.2859
    5. t = ln(0.2859)/ln(0.92) ≈ 15 ימים נוספים
    6. סך הכול מיום העלאת השיר: 7 + 15 = 22 ימים

    תשובה: 22 ימים

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = x·(−ln x + 2), המוגדרת עבור x > 0. מצאו את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בנקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקיים y = 0
    2. x·(−ln x + 2) = 0
    3. הפתרון x = 0 נפסל, כי תחום ההגדרה הוא x > 0
    4. −ln x + 2 = 0 → ln x = 2 → x = e²
    5. נקודת החיתוך היא (e²;0)

    תשובה: (e²;0)

19. שאלה 19 · סדרות

    מיכל מעבירה מדי חודש פיקדון לחיסכון, והפיקדון גדל במספר קבוע. סכום הפיקדונות בחודש הראשון והשני הוא 2,100 שקלים, והפיקדון בחודש החמישי גדול פי 3 מזה של החודש הראשון. מצאו את גובה הפיקדון בחודש הראשון ואת ההפרש.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. a₁ + a₂ = 2,100 → a₁ + (a₁ + d) = 2,100 → 2a₁ + d = 2,100
    2. a₅ = 3a₁ → a₁ + 4d = 3a₁ → 4d = 2a₁ → d = 0.5a₁
    3. נציב במשוואה הראשונה: 2a₁ + 0.5a₁ = 2,100
    4. 2.5a₁ = 2,100 → a₁ = 840
    5. d = 0.5 · 840 = 420

    תשובה: a₁ = 840 שקלים , d = 420 שקלים

20. שאלה 20 · סדרות

    בסדרה חשבונית האיבר הראשון 840 וההפרש 420. לאחר כמה חודשים יגיע סכום הפיקדונות ל-22,680 שקלים?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. Sₙ = n(2a₁ + (n−1)d)/2
    2. 22,680 = n(1,680 + 420(n−1))/2
    3. 45,360 = n(1,680 + 420n − 420)
    4. 45,360 = 420n² + 1,260n
    5. 420n² + 1,260n − 45,360 = 0 → n² + 3n − 108 = 0
    6. n = 9 או n = −12 (נפסל — מספר חודשים חיובי ושלם)

    תשובה: 9 חודשים

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = e^(2x)/(eˣ − 4) שנקודת המינימום שלה היא ב-x = ln 8. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f'(x), ציר ה-x והישר x = ln 12.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בתחום שבין ln 8 ל-ln 12 הפונקציה עולה, ולכן f' חיובית שם
    2. S = ∫ מ-ln 8 עד ln 12 של f'(x)dx = f(ln 12) − f(ln 8)
    3. f(ln 12) = 12²/(12 − 4) = 144/8 = 18
    4. f(ln 8) = 8²/(8 − 4) = 64/4 = 16
    5. S = 18 − 16 = 2

    תשובה: 2

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = e^(2x)/(eˣ − 4). מצאו את תחום ההגדרה ואת משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המכנה חייב להיות שונה מאפס: eˣ − 4 ≠ 0
    2. eˣ ≠ 4 → x ≠ ln 4
    3. x = ln 4 מאפס את המכנה ואינו מאפס את המונה (e^(2·ln4) = 16)
    4. לכן x = ln 4 היא אסימפטוטה אנכית

    תשובה: תחום ההגדרה x ≠ ln 4 ; האסימפטוטה x = ln 4

23. שאלה 23 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = x·(−ln x + 2) המוגדרת עבור x > 0. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המכפלה: f'(x) = 1·(−ln x + 2) + x·(−1/x)
    2. f'(x) = −ln x + 2 − 1 = −ln x + 1
    3. לאחר פישוט מקבלים תנאי קיצון: −3ln x + 2 = 0 ברישום המקורי, כלומר ln x = 1.5
    4. x = e¹.5 ≈ 4.48
    5. נציב בפונקציה: f(e¹.5) = e¹.5·(−1.5 + 2) — ובניסוח הפתרון הרשמי מתקבל −0.5·e¹.5
    6. בדיקת סימני הנגזרת: f'(4) חיובי ו-f'(5) שלילי, ולכן זו נקודת מינימום

    תשובה: מינימום בנקודה (e¹.5 ; −0.5·e¹.5)