שאלון 35472 — חורף 2023

19 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · וקטורים

   בתיבה ABCDA'B'C'D' מסמנים u = AB, v = AD ו-w = AA'. הנקודה E היא מפגש אלכסוני הפאה AA'D'D. הביעו את הווקטורים BD' ו-AE באמצעות u, v ו-w.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. BD' = BA + AA' + A'D'
   2. BA = −u ; AA' = w ; A'D' = AD = v
   3. BD' = −u + v + w
   4. הפאה AA'D'D היא מלבן, ואלכסוניה חוצים זה את זה
   5. לכן E היא אמצע האלכסון AD'
   6. AE = ½·AD' = ½(AA' + A'D') = ½w + ½v

   תשובה: BD' = −u + v + w ; AE = ½v + ½w

2. שאלה 2 · וקטורים

   בתיבה נתונים AE = ½v + ½w ו-EF = ½u, כאשר F נקודה על הפאה. הוכיחו כי BF = ½·BD'.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. BF = BA + AE + EF
   2. = −u + (½v + ½w) + ½u
   3. = −½u + ½v + ½w
   4. = ½(−u + v + w)
   5. BD' = −u + v + w
   6. לכן BF = ½·BD', כלומר F היא אמצע BD'

   תשובה: השוויון מתקיים

3. שאלה 3 · וקטורים

   בתיבה, EF = ½u כאשר u = AB. הסבירו מדוע EF מקביל ל-AB ואינו מתלכד איתו, והוכיחו כי AB מאונך ל-AE.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. EF = ½u = ½·AB, כלומר הווקטורים קולינאריים
   2. E נמצאת באמצע הפאה AA'D'D ולא על המקצוע AB, ולכן הישרים אינם מתלכדים
   3. מכאן שהם מקבילים
   4. בתיבה כל שלושת המקצועות מאונכים: u·v = 0 ו-u·w = 0
   5. AB · AE = u·(½v + ½w) = ½(u·v) + ½(u·w) = 0
   6. לכן AB ⊥ AE

   תשובה: EF = ½AB ולכן מקבילים ; AB·AE = 0

4. שאלה 4 · וקטורים

   בסיס התיבה הוא ריבוע שאורך צלעו 2, ונפח התיבה 16. מצאו את אורך המקצוע הצדדי ואת אורך הווקטור BF = −½u + ½v + ½w.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שטח הבסיס: 2 · 2 = 4
   2. 16 = 4 · h → h = 4
   3. |u|² = 4 , |v|² = 4 , |w|² = 16
   4. המקצועות מאונכים, ולכן כל המכפלות המעורבות מתאפסות
   5. |BF|² = ¼|u|² + ¼|v|² + ¼|w|²
   6. = ¼(4 + 4 + 16) = ¼ · 24 = 6
   7. |BF| = √6

   תשובה: המקצוע הצדדי 4 ; |BF| = √6

5. שאלה 5 · וקטורים

   בתיבה נתונים |u| = 2 ו-BF = −½u + ½v + ½w עם |BF| = √6. מצאו את גודל הזווית ABF.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. BA = −u, ואורכו 2
   2. BA · BF = (−u)·(−½u + ½v + ½w) = ½|u|² = ½ · 4 = 2
   3. cos∠ABF = 2/(2 · √6) = 1/√6
   4. ∠ABF ≈ 65.91°

   תשובה: כ-65.91°

6. שאלה 6 · וקטורים

   המרובע AEFB הוא טרפז ישר זווית שבו EF מקביל ל-AB ושווה למחציתו, AB מאונך ל-AE, והזווית ABF היא 65.91°. מצאו את כל ארבע הזוויות שלו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. AB ⊥ AE, ולכן ∠BAE = 90°
   2. EF מקביל ל-AB, ולכן גם AE מאונך ל-EF: ∠AEF = 90°
   3. ∠ABF = 65.91° (נתון)
   4. בטרפז, הזוויות שעל אותה שוק משלימות ל-180°
   5. ∠EFB = 180° − 65.91° = 114.09°
   6. בדיקה: 90 + 90 + 65.91 + 114.09 = 360 ✓

   תשובה: ∠BAE = 90° , ∠AEF = 90° , ∠ABF = 65.91° , ∠EFB = 114.09°

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

   מחקר בדק את הקשר בין צריכת סיגריות לפני קורס גמילה (x) לצריכה אחרי שבוע (y) אצל 9 משתתפים. ערכי x: 5, 15, 20, 22, 22, 25, 28, 30, 40. ערכי y: 3, 10, 19, 20, 22, 22, 24, 30, 30. מצאו את שני הממוצעים.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. סכום x: 5+15+20+22+22+25+28+30+40 = 207
   2. x̄ = 207/9 = 23
   3. סכום y: 3+10+19+20+22+22+24+30+30 = 180
   4. ȳ = 180/9 = 20

   תשובה: x̄ = 23 , ȳ = 20

8. שאלה 8 · סטטיסטיקה

   בקשר בין צריכת סיגריות לפני הקורס (x) לאחריו (y): x̄ = 23 עם Sx = 9.226, ȳ = 20 עם Sy = 8.26, ומקדם המתאם 0.949. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y מתוך x.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. m = r · (Sy/Sx) = 0.949 · (8.26/9.226)
   2. = 0.949 · 0.8953 ≈ 0.85
   3. ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים (23 , 20)
   4. y − 20 = 0.85(x − 23)
   5. y − 20 = 0.85x − 19.55
   6. y = 0.85x + 0.45

   תשובה: y = 0.85x + 0.45

9. שאלה 9 · סטטיסטיקה

   משוואת ישר הרגרסיה היא y = 0.85x + 0.45, וטווח הנתונים שנמדדו הוא 5 עד 40 סיגריות. אלעד עישן 21 סיגריות ביום לפני הקורס. מהו הניבוי לצריכתו אחרי שבוע?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. 21 נמצא בתוך טווח הנתונים (5 עד 40), ולכן הניבוי תקף
   2. y = 0.85 · 21 + 0.45
   3. = 17.85 + 0.45 = 18.3
   4. כלומר כ-18 סיגריות ביום

   תשובה: כ-18 סיגריות

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = e^(2x)/(x² − 2). מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות האנכיות ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-y.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המכנה שונה מאפס: x² ≠ 2 → x ≠ ±√2
    2. שתי הנקודות מאפסות את המכנה ולא את המונה, ולכן שתי אסימפטוטות אנכיות
    3. חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = e⁰/(0 − 2) = 1/(−2)
    4. f(0) = −½ → (0 , −½)
    5. המונה e^(2x) חיובי תמיד, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-x

    תשובה: תחום x ≠ ±√2 ; אסימפטוטות x = √2 ו-x = −√2 ; חיתוך ב-(0 , −½)

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = e^(2x)/(x² − 2). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה
    2. f'(x) = [2e^(2x)(x² − 2) − e^(2x)·2x] / (x² − 2)²
    3. נוציא 2e^(2x) במונה: f'(x) = 2e^(2x)(x² − x − 2)/(x² − 2)²
    4. e^(2x) חיובי והמכנה בריבוע, לכן נשווה: x² − x − 2 = 0
    5. (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2 או x = −1
    6. f(−1) = e^(−2)/((−1)² − 2) = e^(−2)/(−1) = −e^(−2) ≈ −0.135
    7. f(2) = e⁴/(4 − 2) = e⁴/2 ≈ 27.3
    8. סימן המונה נקבע על ידי (x−2)(x+1): לפני ‎−1 חיובי, אחריו שלילי ← מקסימום
    9. לפני 2 שלילי, אחריו חיובי ← מינימום

    תשובה: (−1 , −e^(−2)) מקסימום ו-(2 , e⁴/2) מינימום

12. שאלה 12 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = e^(2x)/(x² − 2). מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית, אם קיימת.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. כאשר x ← +∞: e^(2x) גדל מהר בהרבה מ-x², ולכן f(x) ← ∞
    2. אין אסימפטוטה אופקית מימין
    3. כאשר x ← −∞: e^(2x) ← 0 והמכנה ← ∞
    4. f(x) ← 0, ולכן y = 0 אסימפטוטה אופקית משמאל

    תשובה: y = 0 משמאל בלבד ; מימין אין אסימפטוטה

13. שאלה 13 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = e^(2x)/(x² − 2) שנקודות הקיצון שלה הן (−1 , −e^(−2)) מקסימום ו-(2 , e⁴/2) מינימום. נתונה g(x) = f(x) + c. מצאו את הערכים של c שעבורם לגרף g יש נקודת קיצון על הישר y = 3.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. g היא הזזה אנכית של f ב-c יחידות
    2. שיעורי ה-x של נקודות הקיצון אינם משתנים
    3. עבור המינימום: e⁴/2 + c = 3 → c = 3 − e⁴/2
    4. עבור המקסימום: −e^(−2) + c = 3 → c = 3 + e^(−2)
    5. שני הערכים אפשריים

    תשובה: c = 3 − e⁴/2 או c = 3 + e^(−2)

14. שאלה 14 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (ln x)² − a·ln x + 3, כאשר a > 0 פרמטר. נתון כי הנקודה (e³ , 0) נמצאת על גרף הפונקציה. מצאו את a.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ln(e³) = 3
    2. נציב: 3² − a·3 + 3 = 0
    3. 9 − 3a + 3 = 0
    4. 12 = 3a → a = 4

    תשובה: a = 4

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (ln x)² − 4·ln x + 3. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בלוגריתם חיובי: x > 0
    2. נסמן t = ln x: t² − 4t + 3 = 0
    3. (t − 1)(t − 3) = 0 → t = 1 או t = 3
    4. ln x = 1 → x = e
    5. ln x = 3 → x = e³
    6. אין חיתוך עם ציר ה-y, כי x = 0 מחוץ לתחום

    תשובה: תחום x > 0 ; חיתוך ב-(e , 0) וב-(e³ , 0)

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (ln x)² − 4·ln x + 3 בתחום x > 0. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f'(x) = 2·ln x·(1/x) − 4·(1/x)
    2. = (2·ln x − 4)/x
    3. המכנה x חיובי בכל התחום, ולכן נשווה את המונה לאפס
    4. 2·ln x = 4 → ln x = 2 → x = e²
    5. f(e²) = 2² − 4·2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1
    6. המונה 2·ln x − 4 עולה, ולכן הנגזרת עוברת משלילי לחיובי ← מינימום
    7. הנקודה: (e² , −1)

    תשובה: (e² , −1) מינימום

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (x − 3)·eˣ. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מכפלת פולינום בפונקציה מעריכית מוגדרת לכל x
    2. חיתוך עם ציר ה-x: eˣ חיובי תמיד, לכן x − 3 = 0 → x = 3
    3. חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = (0 − 3)·e⁰ = −3
    4. הנקודות: (3 , 0) ו-(0 , −3)

    תשובה: תחום: כל x ; חיתוך ב-(3 , 0) וב-(0 , −3)

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (x − 3)·eˣ. מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודת הקיצון.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f'(x) = 1·eˣ + (x − 3)·eˣ
    2. נוציא eˣ כגורם משותף: f'(x) = eˣ(1 + x − 3) = eˣ(x − 2)
    3. eˣ חיובי תמיד, ולכן הסימן נקבע על ידי x − 2
    4. x < 2: הנגזרת שלילית ← ירידה
    5. x > 2: הנגזרת חיובית ← עלייה
    6. f(2) = (2 − 3)·e² = −e²
    7. הנקודה: (2 , −e²) מינימום

    תשובה: יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2 ; מינימום ב-(2 , −e²)

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (x − 3)·eˣ שנגזרתה f'(x) = eˣ(x − 2). נתונה g(x) = −f'(x), הסימטרית ל-f' ביחס לציר ה-x. חשבו את השטח המוגבל בין גרף g לגרף f' וציר ה-y, בתחום שבין 0 ל-2.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. g היא שיקוף של f' מעל ציר ה-x, ולכן השטח בין שניהם הוא פעמיים השטח שבין f' לציר
    2. בין 0 ל-2 מתקיים f'(x) < 0, ולכן ∫f' שלילי
    3. S = 2·|∫ מ-0 עד 2 של f'(x)dx| = 2·|f(2) − f(0)|
    4. f(2) = −e² ; f(0) = −3
    5. f(2) − f(0) = −e² + 3
    6. S = 2·|3 − e²| = 2(e² − 3)
    7. = 2e² − 6 ≈ 8.78

    תשובה: 2e² − 6 ≈ 8.78