שאלון 35472 — קיץ מועד א׳ 2022

20 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · וקטורים

   בקובייה ABCDA'B'C'D' מסמנים u = AB, v = BC ו-w = AA'. הנקודה E היא אמצע AA', הנקודה G היא אמצע CC', הנקודה F מקיימת AF = ¼AB, והנקודה H מקיימת D'H = ¾D'C'. הביעו את EF ואת HG באמצעות u, v ו-w.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. EF = EA + AF
   2. E אמצע AA', ולכן EA = −½w
   3. AF = ¼u
   4. EF = ¼u − ½w
   5. HG = HC' + C'G
   6. D'H = ¾D'C', ולכן HC' = ¼u
   7. G אמצע CC', ולכן C'G = −½w
   8. HG = ¼u − ½w

   תשובה: EF = ¼u − ½w ; HG = ¼u − ½w

2. שאלה 2 · וקטורים

   בקובייה נתונים EF = ¼u − ½w ו-HG = ¼u − ½w. הוכיחו כי המרובע EFGH הוא מקבילית.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. EF = HG כווקטורים
   2. שוויון וקטורים פירושו שווי אורך ובאותו כיוון
   3. הנקודות אינן על ישר אחד (E ו-H על פאות שונות)
   4. מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שווה ומקביל הוא מקבילית
   5. לחלופין אפשר להראות ש-FG = EH ולקבל את אותה מסקנה

   תשובה: EF = HG, ולכן זוג צלעות נגדיות שווה ומקביל

3. שאלה 3 · וקטורים

   נפח קובייה הוא 512. מצאו את אורך מקצועה, ואת אורכי הווקטורים EF = ¼u − ½w ו-EH = ¾u + v + ½w.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. a³ = 512 → a = 8
   2. |u|² = |v|² = |w|² = 64, וכל המכפלות המעורבות מתאפסות (מקצועות מאונכים)
   3. |EF|² = (¼)²·64 + (½)²·64 = 4 + 16 = 20
   4. |EF| = √20
   5. |EH|² = (¾)²·64 + 1²·64 + (½)²·64
   6. = 36 + 64 + 16 = 116
   7. |EH| = √116

   תשובה: המקצוע 8 ; |EF| = √20 ; |EH| = √116

4. שאלה 4 · וקטורים

   נתונים EF = ¼u − ½w ו-EH = ¾u + v + ½w בקובייה שמקצועה 8, כאשר |EF| = √20 ו-|EH| = √116. מצאו את גודל הזווית HEF.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. EH · EF = (¾u + v + ½w)·(¼u − ½w)
   2. כל המכפלות המעורבות מתאפסות, ונשארים רק u² ו-w²
   3. = (¾)(¼)|u|² − (½)(½)|w|²
   4. = (3/16)·64 − (1/4)·64 = 12 − 16 = −4
   5. cos∠HEF = −4/(√116 · √20)
   6. = −4/√2320 ≈ −0.0830
   7. ∠HEF ≈ 94.76°

   תשובה: כ-94.76°

5. שאלה 5 · וקטורים

   במקבילית EFGH נתונים |EF| = √20, |EH| = √116 והזווית ביניהם 94.76°. חשבו את שטח המקבילית.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שטח מקבילית: S = |EF| · |EH| · sin(הזווית)
   2. S = √20 · √116 · sin 94.76°
   3. √20 · √116 = √2320 ≈ 48.166
   4. sin 94.76° ≈ 0.99656
   5. S ≈ 48

   תשובה: 48

6. שאלה 6 · סטטיסטיקה

   מחקר בדק את הקשר בין ציוני בגרות במתמטיקה (x) לציוני מדעי המחשב (y). נתון x̄ = 64 עם Sx = 14, ȳ = 72 עם Sy = 9, ומקדם מתאם 0.77. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y מתוך x.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. m = r · (Sy/Sx) = 0.77 · (9/14)
   2. = 0.77 · 0.6429 ≈ 0.495
   3. ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים (64 , 72)
   4. y − 72 = 0.495(x − 64)
   5. y − 72 = 0.495x − 31.68
   6. y = 0.495x + 40.32

   תשובה: y = 0.495x + 40.32

7. שאלה 7 · סטטיסטיקה

   משוואת ישר הרגרסיה היא y = 0.495x + 40.32. ציונו של דני במתמטיקה היה 90. מהו הציון המשוער שלו במדעי המחשב?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. y = 0.495 · 90 + 40.32
   2. = 44.55 + 40.32
   3. = 84.87 ≈ 85

   תשובה: כ-85

8. שאלה 8 · סטטיסטיקה

   התברר שהבחינה במתמטיקה הייתה קשה, והוסיפו 4 נקודות לכל ציון במתמטיקה בלבד. כיצד משתנים הממוצע, סטיית התקן ומקדם המתאם?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. תוספת קבועה לכל נתון מעלה את הממוצע באותו קבוע: 64 + 4 = 68
   2. סטיית התקן מודדת פיזור, ותוספת קבועה מזיזה את כל הנתונים באותה מידה
   3. לכן הפיזור נשמר ו-Sx נשאר 14
   4. מקדם המתאם מחושב מהסטיות מהממוצע, (x − x̄)
   5. גם הנתון וגם הממוצע עלו ב-4, ולכן כל סטייה נשארה זהה
   6. מקדם המתאם נשאר 0.77

   תשובה: הממוצע עולה ל-68 ; סטיית התקן נשארת 14 ; מקדם המתאם נשאר 0.77

9. שאלה 9 · סטטיסטיקה

   בשנה שלאחר מכן התקבלו אותם ממוצעים וסטיות תקן: x̄ = 64 עם Sx = 14, ȳ = 72 עם Sy = 9. משוואת ישר הרגרסיה הייתה y = mx + 43.2. מצאו את m ואת מקדם המתאם.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הישר עובר בנקודת הממוצעים (64 , 72)
   2. 72 = 64m + 43.2
   3. 28.8 = 64m → m = 0.45
   4. m = r · (Sy/Sx)
   5. 0.45 = r · (9/14)
   6. r = 0.45 · (14/9) = 0.7

   תשובה: m = 0.45 ו-r = 0.7

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (4 − 3x)·e^(3x). מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מכפלת פולינום בפונקציה מעריכית מוגדרת לכל x
    2. חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = 4 · e⁰ = 4 → (0 , 4)
    3. חיתוך עם ציר ה-x: e^(3x) חיובי תמיד
    4. 4 − 3x = 0 → x = 4/3 ≈ 1.33
    5. הנקודה: (4/3 , 0)

    תשובה: תחום: כל x ; חיתוך ב-(0 , 4) וב-(4/3 , 0)

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (4 − 3x)·e^(3x). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המכפלה
    2. f'(x) = −3·e^(3x) + (4 − 3x)·e^(3x)·3
    3. נוציא 3e^(3x) כגורם משותף
    4. f'(x) = 3e^(3x)(−1 + 4 − 3x) = 3e^(3x)(3 − 3x)
    5. e^(3x) חיובי תמיד, לכן 3 − 3x = 0 → x = 1
    6. f(1) = (4 − 3)·e³ = e³
    7. לפני x = 1 הנגזרת חיובית ואחריו שלילית ← מקסימום
    8. הנקודה: (1 , e³)

    תשובה: (1 , e³) מקסימום

12. שאלה 12 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (4 − 3x)·e^(3x). מצאו את משוואות האסימפטוטות האופקיות, אם קיימות.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. כאשר x ← +∞: e^(3x) גדל לאינסוף ו-(4 − 3x) שואף למינוס אינסוף
    2. המכפלה שואפת למינוס אינסוף ← אין אסימפטוטה אופקית מימין
    3. כאשר x ← −∞: e^(3x) ← 0 מהר יותר מכפי ש-(4 − 3x) גדל
    4. המכפלה שואפת ל-0 ← y = 0 אסימפטוטה אופקית משמאל

    תשובה: y = 0 משמאל בלבד ; מימין אין אסימפטוטה

13. שאלה 13 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (4 − 3x)·e^(3x) שנקודת המקסימום שלה היא (1 , e³). נתונה g(x) = −2·f(x) − 1. מצאו את נקודת הקיצון של g וקבעו את סוגה, וכן את נקודת החיתוך עם ציר ה-y.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הכפלה במספר שלילי הופכת מקסימום למינימום
    2. שיעור ה-x אינו משתנה: x = 1
    3. y = −2·e³ − 1
    4. לכן (1 , −2e³ − 1) הוא מינימום
    5. חיתוך עם ציר ה-y: g(0) = −2·f(0) − 1 = −2·4 − 1 = −9
    6. הנקודה: (0 , −9)

    תשובה: (1 , −2e³ − 1) מינימום ; חיתוך ב-(0 , −9)

14. שאלה 14 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (ln x)³ − 3(ln x)². מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בלוגריתם חיובי: x > 0
    2. נוציא גורם משותף: (ln x)²(ln x − 3) = 0
    3. ln x = 0 → x = 1
    4. ln x = 3 → x = e³
    5. x = 0 מחוץ לתחום, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-y

    תשובה: תחום x > 0 ; חיתוך ב-(1 , 0) וב-(e³ , 0) ; אין חיתוך עם ציר ה-y

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (ln x)³ − 3(ln x)² בתחום x > 0. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f'(x) = 3(ln x)²·(1/x) − 6·ln x·(1/x)
    2. = [3(ln x)² − 6·ln x]/x
    3. נוציא 3·ln x: f'(x) = 3·ln x(ln x − 2)/x
    4. המכנה x חיובי בכל התחום
    5. ln x = 0 → x = 1 ; ln x = 2 → x = e²
    6. f(1) = 0 ; f(e²) = 8 − 12 = −4
    7. בדיקת סימנים: (1 , 0) מקסימום ו-(e² , −4) מינימום

    תשובה: (1 , 0) מקסימום ו-(e² , −4) מינימום

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (ln x)³ − 3(ln x)² עם מקסימום ב-(1 , 0) ומינימום ב-(e² , −4). מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הנגזרת f'(x).

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הנגזרת חיובית היכן שהפונקציה עולה, ושלילית היכן שהיא יורדת
    2. הפונקציה עולה עד המקסימום ב-x = 1
    3. יורדת בין המקסימום למינימום, כלומר 1 < x < e²
    4. עולה שוב אחרי המינימום, כלומר x > e²
    5. לכן f' חיובית ב-0 < x < 1 וב-x > e², ושלילית ב-1 < x < e²

    תשובה: חיובית עבור 0 < x < 1 ועבור x > e² ; שלילית עבור 1 < x < e²

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (ln x)³ − 3(ln x)², שערכיה f(1/e) = −4, f(1) = 0 ו-f(e) = −2. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת f'(x), ציר ה-x והישרים x = 1/e ו-x = e.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בתחום 1/e < x < 1 הנגזרת חיובית, והשטח הוא f(1) − f(1/e)
    2. f(1/e) = (−1)³ − 3(−1)² = −1 − 3 = −4
    3. S₁ = 0 − (−4) = 4
    4. בתחום 1 < x < e הנגזרת שלילית, והשטח הוא f(1) − f(e)
    5. f(e) = 1³ − 3·1² = 1 − 3 = −2
    6. S₂ = 0 − (−2) = 2
    7. S = 4 + 2 = 6 יחידות ריבועיות

    תשובה: 6 יחידות ריבועיות

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה פונקציה f(x) המוגדרת לכל x, ונגזרתה f'(x) = eˣ − e^(2−x). מצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נשווה את הנגזרת לאפס: eˣ = e^(2−x)
    2. הבסיסים שווים, ולכן המעריכים שווים: x = 2 − x
    3. 2x = 2 → x = 1
    4. נגזור שוב: f''(x) = eˣ + e^(2−x)
    5. שני האיברים חיוביים תמיד, ולכן f'' > 0 בכל נקודה
    6. נגזרת שנייה חיובית ← מינימום

    תשובה: x = 1 , מינימום

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f'(x) = eˣ − e^(2−x). מצאו את הפונקציה הקדומה f(x) בצורתה הכללית.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(x) = ∫(eˣ − e^(2−x))dx
    2. האינטגרל של eˣ הוא eˣ
    3. הנגזרת של e^(2−x) היא ‎−e^(2−x), ולכן ∫−e^(2−x)dx = +e^(2−x)
    4. f(x) = eˣ + e^(2−x) + c

    תשובה: f(x) = eˣ + e^(2−x) + c

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = eˣ + e^(2−x) + c. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-x והישרים x = 0 ו-x = 1 שווה ל-e² + e − 1. מצאו את c ואת ערך ה-y של נקודת המינימום שב-x = 1.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הפונקציה חיובית בתחום, ולכן השטח הוא האינטגרל עצמו
    2. הפונקציה הקדומה: eˣ − e^(2−x) + cx
    3. הצבת x = 1: e − e¹ + c = c
    4. הצבת x = 0: 1 − e²
    5. S = c − (1 − e²) = c − 1 + e²
    6. נשווה: c − 1 + e² = e² + e − 1 → c = e
    7. f(1) = e¹ + e^(2−1) + e = e + e + e = 3e

    תשובה: c = e , וערך המינימום 3e