שאלון 35472 — קיץ מועד ב׳ 2024

18 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   בסדרה חשבונית A יש 23 איברים. האיבר ה-12 הוא 7 והפרש הסדרה הוא 5. מצאו את האיבר הראשון.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נוסחת האיבר הכללי: aₙ = a₁ + (n − 1)d
   2. נציב: 7 = a₁ + (12 − 1)·5
   3. 7 = a₁ + 55
   4. a₁ = 7 − 55 = −48

   תשובה: −48

2. שאלה 2 · סדרות

   בסדרה חשבונית בת 23 איברים, האיבר הראשון הוא −48 וההפרש הוא 5. חשבו את סכום האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. האיברים במקומות האי-זוגיים מהווים בעצמם סדרה חשבונית
   2. האיבר הראשון שלה זהה: −48
   3. ההפרש שלה הוא כפול מהמקורי: 2·5 = 10
   4. במקומות 1, 3, 5 … 23 יש 12 איברים
   5. S = 12·[2·(−48) + 10·(12 − 1)]/2 = 6·(−96 + 110)
   6. S = 6·14 = 84

   תשובה: 84

3. שאלה 3 · סדרות

   נתונות שתי סדרות חשבוניות בנות 23 איברים: בסדרה A האיבר הראשון הוא −48 וההפרש 5, ובסדרה B האיבר הראשון הוא 3 וההפרש d. בונים סדרה חדשה שאיבריה הם a₁+b₁, a₂+b₂ וכן הלאה. מצאו את האיבר הראשון של הסדרה החדשה ואת הפרשה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. האיבר הראשון: a₁ + b₁ = −48 + 3 = −45
   2. האיבר השני של A: −48 + 5 = −43
   3. האיבר השני של B: 3 + d
   4. האיבר השני של הסדרה החדשה: −43 + 3 + d = −40 + d
   5. ההפרש: (−40 + d) − (−45) = 5 + d

   תשובה: האיבר הראשון −45, וההפרש 5 + d

4. שאלה 4 · סדרות

   סדרה חשבונית בת 23 איברים שאיברה הראשון הוא −45 והפרשה הוא 5 + d. סכום כל איבריה הוא 3013. מצאו את d.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נוסחת הסכום: Sₙ = n·[2a₁ + (n − 1)·הפרש]/2
   2. 3013 = 23·[2·(−45) + 22·(5 + d)]/2
   3. נכפול ב-2: 6026 = 23·(−90 + 110 + 22d)
   4. נחלק ב-23: 262 = 20 + 22d
   5. 242 = 22d → d = 11

   תשובה: 11

5. שאלה 5 · וקטורים

   פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע ABCD, והמקצוע AE מאונך לבסיס. נתון A(0;0;0), אורך צלע הריבוע 6, כאשר AB על ציר ה-x, AD על ציר ה-y ו-AE על ציר ה-z. מצאו את שיעורי הקודקודים C ו-E.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. AB מונח על החלק החיובי של ציר ה-x, ולכן B(6;0;0)
   2. AD מונח על החלק החיובי של ציר ה-y, ולכן D(0;6;0)
   3. AE מונח על החלק החיובי של ציר ה-z, ולכן E(0;0;6)
   4. ABCD ריבוע, וצלעותיו הנגדיות שוות ומקבילות, ולכן C(6;6;0)

   תשובה: C(6;6;0) ו-E(0;0;6)

6. שאלה 6 · וקטורים

   נתונות הנקודות C(6;6;0) ו-E(0;0;6). הנקודה M נמצאת על הקטע CE ומקיימת CM = (2/3)·CE. מצאו את שיעורי הנקודה M.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. CE = E − C = (0 − 6, 0 − 6, 6 − 0) = (−6,−6,6)
   2. CM = (2/3)·CE = (−4,−4,4)
   3. M = C + CM = (6,6,0) + (−4,−4,4)
   4. M = (2,2,4)

   תשובה: M(2;2;4)

7. שאלה 7 · וקטורים

   נתונות הנקודות A(0;0;0), C(6;6;0) ו-M(2;2;4). ידוע כי AM מאונך ל-CE, ולכן הזווית AMC ישרה. חשבו את שטח המשולש AMC.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. AM = √(2² + 2² + 4²) = √(4 + 4 + 16) = √24 = 2√6
   2. CM = √((2−6)² + (2−6)² + (4−0)²) = √(16 + 16 + 16) = √48 = 4√3
   3. הזווית AMC ישרה, ולכן AM ו-CM הם הניצבים
   4. S = (2√6 · 4√3)/2 = (8√18)/2
   5. √18 = 3√2, ולכן S = (8·3√2)/2 = 12√2 ≈ 16.97

   תשובה: 12√2 ≈ 16.97

8. שאלה 8 · גדילה ודעיכה

   כמות הדבש בכוורת קטנה בכל חודש באחוז קבוע. לאחר 8 חודשים הייתה כמות הדבש 45% מן הכמות ההתחלתית. בכמה אחוזים קטנה כמות הדבש בכל חודש?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נוסחת הדעיכה: A(t) = A₀·qᵗ
   2. 0.45·A₀ = A₀·q⁸
   3. נחלק ב-A₀: q⁸ = 0.45
   4. q = 0.45^(1/8) ≈ 0.9050
   5. מקדם 0.9050 פירושו ירידה של 100 − 90.5 = 9.5% בכל חודש

   תשובה: 9.5%

9. שאלה 9 · גדילה ודעיכה

   כמות הדבש בכוורת קטנה בכל חודש ב-9.5%, כלומר מקדם הדעיכה הוא 0.905. בכמה אחוזים קטנה כמות הדבש כעבור 10 חודשים?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. A(10) = A₀ · 0.905¹⁰
   2. 0.905¹⁰ ≈ 0.3686
   3. כלומר נשארו 36.86% מהכמות ההתחלתית
   4. הירידה: 100% − 36.86% = 63.14%

   תשובה: 63.14%

10. שאלה 10 · גדילה ודעיכה

    כמות הדבש בכוורת קטנה בכל חודש במקדם 0.905. כעבור כמה חודשים קטנה כמות הדבש ב-33% מן הכמות ההתחלתית?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ירידה של 33% פירושה שנשארו 67%, כלומר 0.67·A₀
    2. 0.67·A₀ = A₀ · 0.905ᵗ
    3. 0.67 = 0.905ᵗ
    4. נפעיל לוגריתם: ln(0.67) = t·ln(0.905)
    5. t = ln(0.67)/ln(0.905) ≈ 4 חודשים

    תשובה: כ-4 חודשים

11. שאלה 11 · גדילה ודעיכה

    בתחילת 2018 היו בכוורת 600 ק"ג דבש, והכמות קטנה בכל חודש במקדם 0.905. מתחילת 2019 הכמות גדלה לפי f(t) = k·1.05ᵗ, כאשר k היא הכמות בתחילת 2019 ו-t הזמן בחודשים. מהי כמות הדבש בתחילת 2021?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. תחילה נמצא את k, שהיא הכמות לאחר 12 חודשי דעיכה
    2. k = 600 · 0.905¹² ≈ 600 · 0.3018 ≈ 181.1 ק"ג
    3. מתחילת 2019 עד תחילת 2021 עברו 24 חודשים
    4. f(24) = 181.1 · 1.05²⁴
    5. 1.05²⁴ ≈ 3.2251
    6. f(24) ≈ 584.1 ק"ג

    תשובה: כ-584.1 ק"ג

12. שאלה 12 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = e^(ax−1) / x². מצאו את תחום ההגדרה שלה ואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בתחום ההגדרה המכנה חייב להיות שונה מאפס
    2. x² ≠ 0 → x ≠ 0
    3. האסימפטוטה המאונכת מתקבלת בערך שמאפס את המכנה
    4. האסימפטוטה היא x = 0

    תשובה: תחום ההגדרה x ≠ 0, והאסימפטוטה היא x = 0

13. שאלה 13 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = e^(ax−1) / x². הסבירו מדוע הפונקציה חיובית בכל תחום ההגדרה שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המונה הוא ביטוי מעריכי, וכל חזקה של e חיובית לכל ערך של המעריך
    2. המכנה הוא x², וריבוע של מספר שונה מאפס הוא תמיד חיובי
    3. מנה של שני ביטויים חיוביים היא חיובית
    4. לכן f(x) חיובית לכל x בתחום ההגדרה

    תשובה: המונה חיובי תמיד והמכנה חיובי תמיד, ולכן המנה חיובית

14. שאלה 14 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = e^(ax−1) / x². ידוע כי הנקודה (−1 ; 1/e³) נמצאת על גרף הפונקציה. מצאו את a.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נציב את הנקודה: 1/e³ = e^(a·(−1) − 1) / (−1)²
    2. המכנה הוא 1, ולכן 1/e³ = e^(−a−1)
    3. נכתוב את האגף השמאלי כחזקה: e^(−3) = e^(−a−1)
    4. בסיסים שווים, ולכן המעריכים שווים: −3 = −a − 1
    5. a = 2

    תשובה: 2

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = e^(2x−1) / x². מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזרת מנה: f'(x) = [2e^(2x−1)·x² − e^(2x−1)·2x] / x⁴
    2. נוציא גורם משותף במונה: 2x·e^(2x−1)·(x − 1) / x⁴
    3. הנגזרת מתאפסת כאשר x − 1 = 0, כלומר x = 1
    4. נציב בפונקציה: f(1) = e^(2−1)/1² = e
    5. בדיקת סימנים: f'(0.5) שלילי ו-f'(2) חיובי, ולכן זו נקודת מינימום

    תשובה: מינימום בנקודה (1;e)

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = x²·(2·ln x − 1). מצאו את תחום ההגדרה שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי שבתוך הלוגריתם חייב להיות גדול מאפס
    2. x > 0
    3. אין תנאי נוסף, כי x² מוגדר לכל x
    4. תחום ההגדרה הוא x > 0

    תשובה: x > 0

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = x²·(2·ln x − 1), המוגדרת עבור x > 0. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה, שידוע כי היא מינימום.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המכפלה: f'(x) = 2x·(2·ln x − 1) + x²·(2/x)
    2. f'(x) = 4x·ln x − 2x + 2x
    3. f'(x) = 4x·ln x
    4. הנגזרת מתאפסת כאשר ln x = 0, כלומר x = 1
    5. נציב: f(1) = 1²·(2·ln 1 − 1) = 1·(0 − 1) = −1
    6. נקודת הקיצון היא (1;−1)

    תשובה: (1;−1)

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = x²·(2·ln x − 1) המוגדרת עבור x > 0. מצאו את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-x שאינה ראשית הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. בנקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקיים y = 0
    2. x²·(2·ln x − 1) = 0
    3. הפתרון x = 0 מחוץ לתחום ההגדרה
    4. 2·ln x − 1 = 0 → ln x = 1/2
    5. x = e^(1/2) = √e ≈ 1.6487

    תשובה: (√e ; 0)