שאלון 35472 — קיץ מועד א׳ 2026

19 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   לקראת חופשת הקיץ החלו בחנות גלידה להכין גלידת שוקולד. בכל יום הכינו בחנות 6 ק"ג גלידת שוקולד יותר מביום שלפניו. הכמות סך הכול של גלידת השוקולד שהכינו בחנות ביום הראשון וביום הרביעי הייתה 140 ק"ג. מצאו כמה קילוגרמים של גלידת שוקולד הכינו בחנות ביום הראשון.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן את הכמות ביום הראשון a_1, והנתון הוא d=6
   2. a_1 + a_4 = 140
   3. a_1 + a_1 + 3d = 140
   4. 2a_1 + 3·6 = 140
   5. 2a_1 = 122
   6. a_1 = 61

   תשובה: 61 ק"ג

2. שאלה 2 · סדרות

   תהליך הכנת גלידת השוקולד נמשך 14 ימים סך הכול (בכל יום הכינו 6 ק"ג יותר מביום שלפניו, והכמות ביום הראשון היא 61 ק"ג). מצאו כמה קילוגרמים סך הכול של גלידת שוקולד הכינו בחנות.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נוסחת סכום סדרה חשבונית: S_n = (2a_1 + (n-1)d)·n / 2
   2. S_14 = (2·61 + (14 − 1)·6)·14 / 2
   3. S_14 = (122 + 78)·14 / 2
   4. S_14 = 200·14 / 2
   5. S_14 = 1,400

   תשובה: 1,400 ק"ג

3. שאלה 3 · סדרות

   לקראת חופשת הקיץ החלו בחנות להכין גם גלידת וניל. בכל יום הכינו בחנות d ק"ג גלידת וניל יותר מביום שלפניו. תהליך הכנת גלידת הווניל נמשך 14 ימים סך הכול. ביום האחרון הכינו בחנות 81 ק"ג של גלידת וניל. הכמות סך הכול של גלידת הווניל שהכינו בחנות הייתה קטנה ב-630 ק"ג מן הכמות סך הכול של גלידת השוקולד שהכינו בה (1,400 ק"ג). מצאו את הערך של d.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. כמות גלידת הווניל שהכינו: 1,400 − 630 = 770
   2. הכמות שהכינו ביום האחרון: a_14 = 81, כלומר a_1 + 13d = 81
   3. נציב בנוסחת סכום: 770 = (a_1 + 81)·14 / 2
   4. 110 = a_1 + 81
   5. a_1 = 29
   6. נציב במשוואה a_1 + 13d = 81: 29 + 13d = 81
   7. 13d = 52
   8. d = 4

   תשובה: d = 4

4. שאלה 4 · סדרות

   לאחר שהסתיים תהליך הכנת גלידת השוקולד (1,400 ק"ג) וגלידת הווניל (770 ק"ג), החלו למכור את שני סוגי הגלידה. המכירה נמשכה 5 ימים, ובמהלכה נמכרה כל הגלידה שהכינו בחנות. כמות הגלידה שנמכרה בכל יום הייתה גדולה פי 2 מן הכמות שנמכרה ביום שלפניו. מצאו כמה קילוגרמים של גלידה נמכרו ביום הראשון.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. סך הגלידה שנמכרה: 1,400 + 770 = 2,170 ק"ג
   2. זוהי סדרה הנדסית עם q=2, n=5
   3. נוסחת סכום סדרה הנדסית: S_n = a_1·(q^n - 1) / (q - 1)
   4. 2170 = a_1·(2⁵ - 1) / (2 − 1)
   5. 2170 = a_1·31
   6. a_1 = 70

   תשובה: 70 ק"ג

5. שאלה 5 · וקטורים

   בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCS. המקצוע AS מאונך למישור הבסיס ABC. הנקודה E היא אמצע המקצוע BS. הנקודה F נמצאת על המקצוע BC כך ש־ BF = (2/3)BC. נסמן: AB = u, AC = v, AS = w. נתון: זווית BAC = 120°, |u| = |v| = 12, |w| = 16. א. הביעו באמצעות u, v ו־w את הווקטורים: BC, BS, AE, AF. ב. חשבו את נפח הפירמידה. ג. (1) מצאו את הערך של u · v. (2) הוכיחו כי AE מאונך ל־AF. ד. (1) מצאו את הערך של |AF|. (2) חשבו את שטח המשולש EAF.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. א. BC = BA + AC = -u + v
   2. BS = BA + AS = -u + w
   3. AE = AS + SE = w - (1/2)(-u + w) = (1/2)u + (1/2)w
   4. AF = AC + CF = v - (1/3)(-u + v) = (1/3)u + (2/3)v
   5. ב. שטח בסיס הפירמידה: S_ABC = (1/2)·12·12·sin(120°) = 36·√(3)
   6. נפח הפירמידה: V = (1/3)·36·√(3)·16 = 192·√(3)
   7. ג(1). u·v = |u|·|v|·cos(120°) = 12·12·(-1/2) = -72
   8. ג(2). AE · AF = ((1/2)u + (1/2)w) · ((1/3)u + (2/3)v)
   9. = (1/6)u² + (2/6)u·v + (1/6)w·u + (2/6)w·v
   10. = (1/6)·144 + (2/6)·(-72) + (1/6)·0 + (2/6)·0 = 24 − 24 = 0
   11. מכיוון שהמכפלה הסקלרית שווה לאפס, AE מאונך ל-AF
   12. ד(1). |AF|² = |(1/3)u + (2/3)v|² = (1/9)|u|² + (4/9)u·v + (4/9)|v|²
   13. = (1/9)·144 + (4/9)·(-72) + (4/9)·144 = 16 − 32 + 64 = 48
   14. לכן |AF| = √(48)
   15. ד(2). נחשב |AE|: |AE|² = |(1/2)u + (1/2)w|² = (1/4)|u|² + (1/2)u·w + (1/4)|w|²
   16. = (1/4)·144 + 0 + (1/4)·256 = 36 + 64 = 100, לכן |AE| = 10
   17. מכיוון ש-AE מאונך ל-AF: S_EAF = (1/2)·|AE|·|AF| = (1/2)·10·√(48) = 5·4·√(3) = 20·√(3)

   תשובה: א. BC = -u+v, BS = -u+w, AE = (1/2)u + (1/2)w, AF = (1/3)u + (2/3)v ב. V = 192·√(3) ג(1). u·v = -72 ד(1). |AF| = √(48) ד(2). S = 20·√(3)

6. שאלה 6 · סדרות

   בתחילת שנת 2025 בדקו חוקרים את מספר האנשים שמשתמשים בשני כלים של בינה מלאכותית, כלי A וכלי B. על פי הצפי של החוקרים, מספר המשתמשים בכלי A יעלה ב-10% בכל שנה. נתון כי בתחילת שנת 2025 מספר המשתמשים בכלי A היה 80 מיליון. א. מצאו מה צפוי להיות מספר המשתמשים בכלי A בתחילת שנת 2030.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מספר המשתמשים בכלי A גדל ב-10% בכל שנה, לכן q = 1.1
   2. מ-2025 עד 2030 עוברות 5 שנים
   3. A(5) = 80·1.1⁵
   4. A(5) ≈ 129 מיליון

   תשובה: כ-129 מיליון

7. שאלה 7 · סדרות

   על פי הצפי של החוקרים, מספר המשתמשים בכלי B יעלה באחוז קבוע בכל שנה. מספר המשתמשים בכלי B בתחילת שנת 2031 צפוי להיות גדול פי 3 ממספר המשתמשים בכלי זה בתחילת שנת 2025. ב. מצאו בכמה אחוזים צפוי לגדול מספר המשתמשים בכלי B בכל שנה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן את מספר המשתמשים בתחילת 2025 ב-x, ואת היחס השנתי ב-q
   2. מ-2025 עד 2031 עוברות 6 שנים
   3. לפי הנתון: x·q⁶ = 3x
   4. מחלקים את שני האגפים ב-x: q⁶ = 3
   5. q = 3^(1/6) ≈ 1.2
   6. 1.2·100 = 120%, כלומר גידול של 20% בכל שנה

   תשובה: 20%

8. שאלה 8 · סדרות

   על פי הצפי של החוקרים, בתחילת שנת 2030 יהיה מספר המשתמשים בכלי A גדול ב-50 מיליון ממספר המשתמשים בכלי B. ד. מצאו את מספר המשתמשים בכלי B בתחילת שנת 2025.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מספר המשתמשים בכלי A בתחילת 2030 הוא כ-129 מיליון
   2. לפי הנתון, מספר המשתמשים בכלי B בתחילת 2030 הוא: 129 − 50 = 79 מיליון
   3. מ-2025 עד 2030 עוברות 5 שנים, וקצב הגידול של B הוא 1.2
   4. לכן: B(0)·1.2⁵ = 79
   5. B(0) = 79·1.2^(-5) ≈ 32 מיליון

   תשובה: כ-32 מיליון

9. שאלה 9 · סדרות

   על פי הצפי של החוקרים, בתחילת שנת 2030 יהיה מספר המשתמשים בכלי A גדול ב-50 מיליון ממספר המשתמשים בכלי B. מספר המשתמשים בכלי B בתחילת שנת 2025 הוא כ-32 מיליון, וקצב הגידול השנתי שלו הוא 1.2. מספר המשתמשים בכלי A בתחילת שנת 2025 הוא 80 מיליון, וקצב הגידול השנתי שלו הוא 1.1. ה. מצאו כעבור כמה זמן מתחילת שנת 2025 מספר המשתמשים בכלי A צפוי להיות שווה למספר המשתמשים בכלי B.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. הביטוי למספר המשתמשים בכלי A: 80·1.1^t
   2. הביטוי למספר המשתמשים בכלי B: 32·1.2^t
   3. משווים: 80·1.1^t = 32·1.2^t
   4. מחלקים: (80)/(32) = (1.2)^t / (1.1)^t
   5. (80)/(32) = (1.2/1.1)^t
   6. לוקחים לוגריתם: t = log(80/32) / log(1.2/1.1)
   7. t ≈ 10.53 שנים

   תשובה: כ-10.53 שנים

10. שאלה 10 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (a - 8x)·e^(2x-1), המוגדרת לכל x. a הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = 0 הוא (32)/(e). מצאו את הערך של a.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור את הפונקציה: f'(x) = -8·e^(2x-1) + (a - 8x)·2·e^(2x-1)
    2. נציב x = 0: f'(0) = -8·e^(-1) + (a - 0)·2·e^(-1)
    3. לפי הנתון f'(0) = (32)/(e), לכן: (32)/(e) = -8e^(-1) + 2ae^(-1)
    4. נכפיל את שני האגפים ב-e: 32 = -8 + 2a
    5. 40 = 2a
    6. a = 20

    תשובה: a = 20

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    הציבו a = 20 בפונקציה f(x) = (20 − 8x)·e^(2x-1). (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. חיתוך עם ציר y: נציב x = 0: f(0) = (20 − 0)·e^(-1) = 20/e
    2. נקודת החיתוך עם ציר y היא (0, 20/e)
    3. חיתוך עם ציר x: נפתור (20 − 8x)·e^(2x-1) = 0
    4. מכיוון ש-e^(2x-1) > 0 לכל x, נפתור 20 − 8x = 0
    5. 8x = 20, לכן x = 2.5
    6. נקודת החיתוך עם ציר x היא (2.5, 0)

    תשובה: חיתוך עם ציר y: (0, 20/e); חיתוך עם ציר x: (2.5, 0)

12. שאלה 12 · חשבון דיפרנציאלי

    הציבו a = 20 בפונקציה f(x) = (20 − 8x)·e^(2x-1). (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור: f'(x) = -8·e^(2x-1) + (20 − 8x)·2·e^(2x-1)
    2. f'(x) = e^(2x-1)·(-8 + 40 − 16x) = e^(2x-1)·(32 − 16x)
    3. נשווה לאפס: e^(2x-1)·(32 − 16x) = 0
    4. מכיוון ש-e^(2x-1) > 0 לכל x, נפתור 32 − 16x = 0
    5. 16x = 32, לכן x = 2
    6. נציב x = 2: f(2) = (20 − 16)·e^(4 − 1) = 4e³
    7. לסיווג: עבור x < 2, הביטוי (32 − 16x) > 0, לכן f'(x) > 0 (עולה)
    8. עבור x > 2, הביטוי (32 − 16x) < 0, לכן f'(x) < 0 (יורדת)
    9. מעבר מעלייה לירידה - נקודת מקסימום ב-(2, 4e³)

    תשובה: נקודת מקסימום ב-(2, 4e³)

13. שאלה 13 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה g(x) = 8·e^(2x-1), המוגדרת לכל x. הסבירו מדוע הפונקציה g(x) חיובית לכל x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הפונקציה g(x) = 8·e^(2x-1)
    2. e^(2x-1) > 0 לכל x (הפונקציה המעריכית תמיד חיובית)
    3. הביטוי מוכפל ב-8, שהוא מספר חיובי
    4. לכן g(x) = 8·e^(2x-1) > 0 לכל x

    תשובה: g(x) חיובית לכל x כי e^(2x-1) > 0 לכל x, והביטוי מוכפל ב-8 שהוא חיובי

14. שאלה 14 · חשבון דיפרנציאלי

    הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) = (20 − 8x)·e^(2x-1) עם גרף הפונקציה g(x) = 8·e^(2x-1). מצאו את שיעורי הנקודה A.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נשווה: (20 − 8x)·e^(2x-1) = 8·e^(2x-1)
    2. נחלק את שני האגפים ב-e^(2x-1) (שונה מאפס): 20 − 8x = 8
    3. 12 = 8x
    4. x = 1.5
    5. נציב ב-g(x): g(1.5) = 8·e^(2·1.5 − 1) = 8·e²
    6. שיעורי הנקודה A הם (1.5, 8e²)

    תשובה: A(1.5, 8e²)

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    דרך הנקודה A(1.5, 8e²) העבירו אנך לציר ה-x. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) = 8·e^(2x-1), על ידי האנך, על ידי ציר ה-x ועל ידי ציר ה-y.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. האנך לציר x דרך A עובר בx = 1.5
    2. g(x) חיובית לכל x, לכן השטח שווה לאינטגרל מ-0 עד 1.5 של g(x)dx
    3. השטח = integral from 0 to 1.5 of 8·e^(2x-1) dx
    4. = 8·integral from 0 to 1.5 of e^(2x-1) dx
    5. = 8 * [e^(2x-1) / 2] from 0 to 1.5
    6. = [4e^(2x-1)] from 0 to 1.5
    7. = 4e^(2·1.5 − 1) - 4e^(2·0 − 1)
    8. = 4e² - 4e^(-1)
    9. ≈ 28.08

    תשובה: 4e² - 4e^(-1) (בערך 28.08)

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (10·(ln x)²) / (x²) המוגדרת בתחום x > 0. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

    פתרון שלב אחר שלב

    1. לפי תחום ההגדרה x > 0, אין חיתוך עם ציר y.
    2. לחיתוך עם ציר x מציבים f(x) = 0: (10·(ln x)²) / x² = 0
    3. מכפלה שווה לאפס כאשר המונה שווה לאפס: 10·(ln x)² = 0
    4. לכן ln x = 0, ומכאן x = e⁰ = 1.
    5. נקודת החיתוך עם ציר x היא (1, 0).

    תשובה: חיתוך עם ציר x: (1,0). אין חיתוך עם ציר y (x>0 ולכן 0 אינו בתחום).

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (10·(ln x)²) / (x²) המוגדרת בתחום x > 0. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. גוזרים את f(x) באמצעות כלל המנה: f'(x) = [10·2·ln(x)·(1/x)·x² - 10·(ln x)²*2x] / x⁴
    2. מפשטים: f'(x) = [20x·ln(x) - 20x·(ln x)²] / x⁴
    3. מוציאים גורם משותף: f'(x) = 20x·ln(x)·(1 - ln x) / x⁴
    4. מפשטים: f'(x) = 20·ln(x)·(1 - ln x) / x³
    5. מאפסים את הנגזרת: 20·ln(x)·(1 - ln x) = 0
    6. פתרון ראשון: ln x = 0 → x = 1
    7. פתרון שני: 1 - ln x = 0 → ln x = 1 → x = e
    8. בונים טבלת סימנים: עבור 0 < x < 1: f'(x) < 0 (ירידה); עבור 1 < x < e: f'(x) > 0 (עלייה); עבור x > e: f'(x) < 0 (ירידה)
    9. ב-x=1 הנגזרת עוברת מ-(-) ל-(+), לכן נקודת מינימום: f(1) = 0, כלומר (1, 0).
    10. ב-x=e הנגזרת עוברת מ-(+) ל-(-), לכן נקודת מקסימום: f(e) = 10·(ln e)²/e² = 10/e², כלומר (e, 10/e²).

    תשובה: נקודת מינימום ב-(1, 0), נקודת מקסימום ב-(e, 10/e²).

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (10·(ln x)²) / (x²) המוגדרת בתחום x > 0. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

    פתרון שלב אחר שלב

    1. מטבלת הסימנים של f'(x) = 20·ln(x)·(1 - ln x) / x³:
    2. עבור 0 < x < 1: f'(x) < 0, לכן הפונקציה יורדת.
    3. עבור 1 < x < e: f'(x) > 0, לכן הפונקציה עולה.
    4. עבור x > e: f'(x) < 0, לכן הפונקציה יורדת.
    5. תחום עלייה: 1 < x < e.
    6. תחומי ירידה: 0 < x < 1 או x > e.

    תשובה: תחום עלייה: 1 < x < e. תחומי ירידה: 0 < x < 1 או x > e.

19. שאלה 19 · פונקציות

    נתונה הפונקציה g(x) = f(x - 6) כאשר f(x) = (10·(ln x)²) / (x²) מוגדרת בתחום x > 0. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)? (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. (1) g(x) = f(x-6), לכן נדרש x - 6 > 0, כלומר x > 6.
    2. (2) הפונקציה g(x) היא הפונקציה f(x) מוזזת 6 יחידות ימינה.
    3. לכן לנקודות הקיצון של f(x) מוסיפים 6 לשיעור ה-x.
    4. נקודת המינימום של f(x) היא (1, 0), לכן נקודת המינימום של g(x) היא (1+6, 0) = (7, 0).
    5. נקודת המקסימום של f(x) היא (e, 10/e²), לכן נקודת המקסימום של g(x) היא (e+6, 10/e²).

    תשובה: (1) תחום ההגדרה: x > 6. (2) נקודת מינימום: (7, 0); נקודת מקסימום: (e+6, 10/e²).