שאלון 35571 — קיץ מועד א׳ 2025

10 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים: 2² + 4² + 6² + ... + (2n)² = 2n(n+1)(2n+1)/3. לאחר מכן חשבו את הערך של הסכום 4² + 6² + 8² + ... + 90².

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. בסיס האינדוקצייה: בעבור n = 1 האגף השמאלי הוא 2² = 4, והאגף הימני 2·1·2·3/3 = 4 ✓
   2. הנחת האינדוקצייה: נניח שהטענה נכונה בעבור n, כלומר הסכום עד (2n)² שווה 2n(n+1)(2n+1)/3
   3. צעד האינדוקצייה: מוסיפים את האיבר הבא, (2n+2)² = 4(n+1)²
   4. 2n(n+1)(2n+1)/3 + 4(n+1)² = (n+1)[2n(2n+1) + 12(n+1)]/3 = (n+1)(4n² + 14n + 12)/3
   5. פירוק: 4n² + 14n + 12 = 2(n+2)(2n+3), ולכן הביטוי שווה 2(n+1)(n+2)(2n+3)/3 — בדיוק הנוסחה בעבור n+1 ✓
   6. הסכום המבוקש מתחיל ב-4², כלומר הוא הסכום עד 90² פחות האיבר הראשון 2²
   7. עד 90²: 2n = 90, כלומר n = 45, והסכום 2·45·46·91/3 = 125,580
   8. 125,580 − 2² = 125,580 − 4 = 125,576

   תשובה: 125,576

2. שאלה 2 · הסתברות

   חלק מן המצביעים הם מבוגרים והשאר צעירים, וההסתברות שמצביע אקראי הצביע למפלגה א׳ היא 0.4. נתון כי 49% מן המצביעים המבוגרים הצביעו למפלגה ב׳, ו-18% מן המצביעים הצעירים הצביעו למפלגה א׳. מהי ההסתברות לבחור באקראי מצביע צעיר מבין כל המצביעים?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. אם 49% מן המבוגרים הצביעו לב׳, אז P(א׳ | מבוגר) = 0.51
   2. נתון גם P(א׳ | צעיר) = 0.18
   3. נסמן ב-y את ההסתברות שמצביע אקראי הוא צעיר
   4. נוסחת ההסתברות השלמה: 0.18y + 0.51(1−y) = 0.4
   5. 0.51 − 0.33y = 0.4 ⟵ 0.33y = 0.11
   6. y = 1/3
   7. בדיקה: 0.18·(1/3) + 0.51·(2/3) = 0.06 + 0.34 = 0.4 ✓

   תשובה: 1/3

3. שאלה 3 · הסתברות

   דני סוקר, ומתקשר באקראי למצביעים צעירים בלבד, בזה אחר זה. הוא מפסיק מייד לאחר שריאיין צעיר אחד שהצביע למפלגה אחת וצעיר נוסף שהצביע למפלגה האחרת. בקרב הצעירים, ההסתברות להצביע למפלגה א׳ היא 0.18. מהי ההסתברות שדני התקשר ל-5 צעירים בדיוק?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. דני עוצר ברגע שיש בידו תשובה מכל מפלגה, ולכן 5 שיחות בדיוק פירושן שארבע הראשונות היו לאותה מפלגה והחמישית למפלגה האחרת
   2. מקרה ראשון: ארבעה הצביעו לא׳ ואז אחד לב׳ — 0.18⁴ · 0.82 ≈ 0.000861
   3. מקרה שני: ארבעה הצביעו לב׳ ואז אחד לא׳ — 0.82⁴ · 0.18 ≈ 0.081382
   4. שני המקרים זרים, ולכן מחברים: ≈ 0.08224
   5. המקרה השני מכריע כמעט לגמרי, כי 0.82 הרבה יותר סביר מ-0.18

   תשובה: ≈ 0.08224

4. שאלה 4 · חשבון דיפרנציאלי

   נתונה הפונקצייה f(x) = a/(x−1)² + 6 בתחום x ≠ 1, כאשר a פרמטר חיובי. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים, והביעו באמצעות a את משוואת המשיק לגרף בנקודה C ששיעור ה-x שלה הוא 2.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. המכנה מתאפס כאשר x = 1, והמונה a חיובי, ולכן x = 1 היא אסימפטוטה אנכית
   2. כאשר x שואף לאינסוף השבר שואף לאפס, ולכן y = 6 היא אסימפטוטה אופקית
   3. f(2) = a/1 + 6 = a + 6, כלומר C = (2, a+6)
   4. f′(x) = −2a/(x−1)³, ולכן f′(2) = −2a
   5. משוואת המשיק: y − (a+6) = −2a(x − 2)
   6. y = −2ax + 4a + a + 6 = −2ax + 5a + 6

   תשובה: אסימפטוטות: x = 1 ו-y = 6. משיק: y = −2ax + 5a + 6

5. שאלה 5 · חשבון דיפרנציאלי

   המשיק לגרף f(x) = a/(x−1)² + 6 בנקודה שבה x = 2 הוא y = −2ax + 5a + 6. המשיק חותך את ציר ה-x בנקודה A ואת הישר x = 1 בנקודה B, והנקודה D היא (1, 0). הביעו באמצעות a את שטח המשולש ADB, ומצאו את הערך של a שבעבורו השטח מינימלי.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. A: מציבים y = 0 ומקבלים x = (5a+6)/(2a)
   2. B: מציבים x = 1 ומקבלים y = −2a + 5a + 6 = 3a + 6
   3. D = (1,0), ולכן DB אנכי באורך 3a+6, ו-AD אופקי לאורך ציר ה-x
   4. AD = (5a+6)/(2a) − 1 = (3a+6)/(2a)
   5. שטח = ½ · (3a+6)/(2a) · (3a+6) = (3a+6)²/(4a) = 9(a+2)²/(4a)
   6. לגזירה: d/da[(a+2)²/a] = (a+2)(a−2)/a²
   7. הנגזרת מתאפסת ב-a = 2 (הפתרון a = −2 נפסל כי a חיובי)
   8. בדיקה מספרית: a=1.9 נותן 18.012, a=2 נותן 18 בדיוק, a=2.1 נותן 18.011 — מינימום ✓

   תשובה: שטח = (3a+6)²/(4a), ומינימום ב-a = 2 (שטח 18)

6. שאלה 6 · הסתברות

   במדינה גדולה התקיימו בחירות, והמצביעים יכולים להצביע למפלגה א׳ או למפלגה ב׳ בלבד. נסמן ב-P את ההסתברות שמצביע שנבחר באקראי הצביע למפלגה א׳ (0 < P < 1). בוחרים באקראי 3 מצביעים, וידוע שההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע למפלגה א׳ גדולה פי 2 מן ההסתברות ששלושתם הצביעו למפלגה ב׳. מצאו את הערך של P.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(בדיוק אחד מתוך שלושה הצביע לא׳) = 3·P·(1−P)²
   2. P(שלושתם הצביעו לב׳) = (1−P)³
   3. מהנתון: 3P(1−P)² = 2(1−P)³
   4. מכיוון ש-P < 1, מותר לחלק את שני האגפים ב-(1−P)²
   5. 3P = 2(1−P) ⟵ 3P = 2 − 2P ⟵ 5P = 2
   6. P = 0.4
   7. בדיקה: 3(0.4)(0.36) = 0.432, ו-2(0.6)³ = 0.432 ✓

   תשובה: P = 0.4

7. שאלה 7 · הסתברות

   בבחירות שבהן ההסתברות להצביע למפלגה א׳ היא 0.4, בוחרים באקראי 4 מצביעים. ידוע כי ארבעתם הצביעו לאותה המפלגה. מהי ההסתברות שהם הצביעו למפלגה א׳?

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(כל הארבעה הצביעו לא׳) = 0.4⁴ = 0.0256
   2. P(כל הארבעה הצביעו לב׳) = 0.6⁴ = 0.1296
   3. P(כולם הצביעו לאותה מפלגה) = 0.0256 + 0.1296 = 0.1552
   4. זו הסתברות מותנית: P(א׳ | כולם אותו דבר) = 0.0256 / 0.1552
   5. ≈ 0.1649, כלומר כ-16.5%

   תשובה: 0.0256 / 0.1552 ≈ 0.165

8. שאלה 8 · טריגונומטריה

   במשולש ABC (AB = AC) עם ∢ABC = 60° חסום מעגל שמרכזו O ורדיוסו r. המעגל חותך את הקטע BO בנקודה K, ו-CK = √63. מצאו את r. הנקודה E על הצלע CB, ושטח המשולש CKE הוא 6 — מצאו את BE.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. ∢ABC = 60° במשולש שווה שוקיים — המשולש שווה צלעות, ו-BO = r/sin 30° = 2r
   2. OK = r, ולכן BK = r: K היא אמצע BO, בגובה r/2 מעל BC ובמרחק (r√3)/2 מ-B לאורך BC
   3. BC = 2r√3, ולכן ההפרש האופקי בין K ל-C הוא 2r√3 − (r√3)/2 = 1.5r√3
   4. CK² = (1.5r√3)² + (r/2)² = 6.75r² + 0.25r² = 7r² = 63 → r = 3
   5. הגובה של K מעל BC הוא 1.5, ולכן ½·CE·1.5 = 6 → CE = 8
   6. BC = 6√3 ≈ 10.39 → BE = 6√3 − 8 ≈ 2.39

   תשובה: r = 3; BE = 6√3 − 8 ≈ 2.39

9. שאלה 9 · גיאומטריה

   בטרפז ABCD (AB ∥ CD) הנקודה O היא מפגש האלכסונים, והטרפז שווה שוקיים. אלכסוני הטרפז מאונכים זה לזה, DO = 12 ו-BO = 9. הנקודה F נמצאת על הצלע BC כך ש-OF מקביל לבסיסי הטרפז. מצאו את אורך הקטע OF.

   לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
   פתרון שלב אחר שלב

   1. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים ונחתכים באותו יחס, ולכן CO = DO = 12
   2. המשולש OCD ישר זווית (האלכסונים מאונכים) ושווה שוקיים: CD = 12√2
   3. במשולש BCD: OF ∥ CD, ולכן OF/CD = BO/BD
   4. BD = BO + OD = 9 + 12 = 21
   5. OF = 12√2 · 9/21 = 36√2/7 ≈ 7.273

   תשובה: OF = 36√2/7 ≈ 7.273

10. שאלה 10 · טריגונומטריה

    במשולש שווה שוקיים ABC (AB = AC) חסום מעגל שמרכזו O ורדיוסו r. נסמן ∢ABC = 2α. הביעו באמצעות r ו-α את CO ואת AC. נתון כי AC גדול פי √3 מ-CO — מצאו את α.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב

    1. O מרכז המעגל החסום, ולכן CO חוצה את ∢ACB = 2α: ∢OCB = α
    2. האנך מ-O ל-BC באורך r: sin α = r/CO, כלומר CO = r/sin α
    3. נקודת ההשקה על BC היא אמצע BC (המשולש שווה שוקיים): BC/2 = r/tan α
    4. AC = (BC/2)/cos 2α = r·cos α/(sin α·cos 2α)
    5. AC/CO = cos α/cos 2α = √3
    6. בדיקה: α = 30° נותן cos 30°/cos 60° = (√3/2)/(1/2) = √3 ✓

    תשובה: CO = r/sin α, AC = r·cos α/(sin α·cos 2α); α = 30°