מורה מתמטיקה AI
דילוג לתוכן הראשי

שאלון 35571 — קיץ מועד א׳ 2026

9 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

לתרגל מבחן מלא בזמן אמתלשאול את נועה על שאלה

  1. שאלה 1 · סדרות

    הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים: (1²)/(1·3) + (2²)/(3·5) + ... + (n²)/((2n-1)(2n+1)) = (n(n+1))/(2(2n+1))

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. בסיס האינדוקציה: נוכיח עבור n=1: (1²)/(1·3) = 1/3, ו-(1·2)/(2·3) = 2/6 = 1/3. הטענה נכונה עבור n=1.
    2. הנחת האינדוקציה: נניח נכונות הטענה עבור n=k: (1²)/(1·3) + ... + (k²)/((2k-1)(2k+1)) = (k(k+1))/(2(2k+1))
    3. צעד האינדוקציה: נוכיח עבור n=k+1, כלומר נראה כי הסכום שווה ל-((k+1)(k+2))/(2(2k+3)).
    4. לפי הנחת האינדוקציה מוסיפים את האיבר הבא: (k(k+1))/(2(2k+1)) + ((k+1)²)/((2k+1)(2k+3))
    5. מוציאים גורם משותף (k+1) באגף השמאלי: (k+1)[k(2k+3) + 2(k+1)] / (2(2k+1)(2k+3))
    6. מפשטים את המכנה: (k+1)[2k²+3k+2k+2] / (2(2k+1)(2k+3)) = (k+1)(2k+1)(k+2) / (2(2k+1)(2k+3))
    7. מצמצמים (2k+1): (k+1)(k+2) / (2(2k+3)), וזו בדיוק הטענה עבור n=k+1.
    8. הוכחנו נכונות הטענה עבור n=1 ואת נכונות הטענה עבור n=k+1 על סמך הנחת האינדוקציה. לכן הטענה נכונה לכל n טבעי.

    תשובה: הטענה הוכחה לכל n טבעי באינדוקציה מתמטית

  2. שאלה 2 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = −30x²/(x³ − 8)², המוגדרת בתחום x ≠ 2. g(x) היא פונקצייה שהנגזרת שלה מקיימת g'(x) = f(x). הפונקצייה g(x) מוגדרת בתחום x ≠ 2. נתון כי גרף הפונקצייה g(x) עובר דרך הנקודה (0, 0.75). (1) מצאו פונקצייה g(x) המקיימת תנאים אלה. (בשאלון המקורי יש גם סעיף שבו בוחרים, מבין ארבעה סרטוטים, את הגרף המתאר את g(x). הסרטוטים אינם מוצגים כאן.)

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. נציב u = x³ − 8, ואז du = 3x²dx, כלומר x²dx = du/3.
    2. ∫ −30x²/(x³ − 8)² dx = ∫ −10/u² du = 10/u + c.
    3. לכן g(x) = 10/(x³ − 8) + c.
    4. הצבת הנקודה (0, 0.75): 10/(0 − 8) + c = 0.75 ⇒ −1.25 + c = 0.75 ⇒ c = 2.
    5. g(x) = 10/(x³ − 8) + 2.
    6. בדיקה: g'(x) = −10·3x²/(x³ − 8)² = −30x²/(x³ − 8)² = f(x) ✓.

    תשובה: g(x) = 10/(x³ − 8) + 2

  3. שאלה 3 · טריגונומטריה

    בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD (AB ∥ DC). נתון כי אורך הבסיס AB שווה לאורך הצלע BC. נסמן: AB = BC = k, ∢ACB = α, 0° < α < 90°. א. הראו כי AC = 2k·cos α. נתון: AD = 1.2k, DC = 2k. ב. מצאו את הערך של α. ג. מצאו את גודל הזווית ADC. המשכי הצלעות DA ו-CB נחתכים בנקודה E. נתון כי האורך של רדיוס המעגל החסום במשולש EDC הוא 14. ד. מצאו את הערך של k.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. א. AB = BC, ולכן המשולש ABC שווה שוקיים: ∢BAC = ∢BCA = α.
    2. הגובה מ-B חוצה את הבסיס AC, ובמשולש ישר הזווית שנוצר: AC/2 = k·cos α ⇒ AC = 2k·cos α.
    3. ב. AB ∥ DC, ולכן ∢ACD = ∢BAC = α (זוויות מתחלפות).
    4. משפט הקוסינוסים במשולש ACD: AD² = AC² + DC² − 2·AC·DC·cos α.
    5. 1.44k² = 4k²cos²α + 4k² − 8k²cos²α = 4k²(1 − cos²α) = 4k²sin²α.
    6. sin α = 0.6 ⇒ α ≈ 36.87° (α חדה).
    7. ג. משפט הסינוסים במשולש ACD: AD/sin α = AC/sin∢ADC ⇒ 1.2k/0.6 = 2k·0.8/sin∢ADC ⇒ sin∢ADC = 0.8.
    8. ∢ADC ≈ 53.13°. הזווית הקהה 126.87° נפסלת: אז ∢CAD = 16.26°, ולפי משפט הסינוסים DC = 2k·sin 16.26° ≈ 0.56k — בסתירה לנתון DC = 2k.
    9. ד. במשולש EDC: ∢EDC ≈ 53.13°, ∢ECD = ∢BCA + ∢ACD = 2α ≈ 73.74°, ולכן ∢DEC ≈ 53.13°.
    10. ∢E = ∢D, ולכן המשולש שווה שוקיים: CE = CD = 2k. לפי משפט הסינוסים ED = 2k·sin 73.74°/sin 53.13° = 2.4k.
    11. שטח המשולש: ½·CD·CE·sin∢C = ½·4k²·0.96 = 1.92k². חצי ההיקף: (2k + 2k + 2.4k)/2 = 3.2k.
    12. r = שטח/חצי היקף = 1.92k²/3.2k = 0.6k = 14 ⇒ k = 70/3 ≈ 23.33.

    תשובה: א. הוכחה; ב. α ≈ 36.87°; ג. ∢ADC ≈ 53.13°; ד. k = 70/3 ≈ 23.33

  4. שאלה 4 · פונקציות

    בסרטוט מתואר גרף הפונקצייה f(x) = 2√(x² − 1). נתון הישר y = 3x − 3. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). ב. מצאו את שיעורי שתי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הישר הנתון. הנקודה A נמצאת על גרף הפונקצייה f(x) בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה A העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה-y וחותך את הישר הנתון בנקודה B, וישר המקביל לציר ה-x וחותך את הישר הנתון בנקודה C. נסמן ב-t את שיעור ה-x של הנקודה A. ג. (1) הביעו באמצעות t את אורך הקטע AB. (2) הביעו באמצעות t את אורך הקטע AC. ד. מצאו את הערך של t שבעבורו סכום אורכי הקטעים AB ו-AC הוא מקסימלי.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. א. x² − 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ −1 או x ≥ 1.
    2. ב. 2√(x² − 1) = 3x − 3. אגף שמאל אי-שלילי, ולכן נדרש 3x − 3 ≥ 0, כלומר x ≥ 1.
    3. העלאה בריבוע: 4(x − 1)(x + 1) = 9(x − 1)² ⇒ x = 1, או 4(x + 1) = 9(x − 1) ⇒ x = 2.6.
    4. שני הפתרונות מקיימים x ≥ 1: נקודות החיתוך הן (1, 0) ו-(2.6, 4.8).
    5. ג(1). A = (t, 2√(t² − 1)), כאשר 1 < t < 2.6. ל-B אותו x על הישר: B = (t, 3t − 3).
    6. בתחום הזה גרף הפונקצייה נמצא מעל הישר (למשל ב-t = 2: 2√3 ≈ 3.46 > 3), ולכן AB = 2√(t² − 1) − 3t + 3.
    7. ג(2). ל-C אותו y כמו ל-A: 3x − 3 = 2√(t² − 1) ⇒ x_C = 1 + (2/3)√(t² − 1).
    8. AC = x_C − t = (2/3)√(t² − 1) + 1 − t.
    9. ד. S(t) = AB + AC = (8/3)√(t² − 1) − 4t + 4.
    10. S'(t) = (8/3)·t/√(t² − 1) − 4 = 0 ⇒ 2t = 3√(t² − 1) ⇒ 4t² = 9t² − 9 ⇒ t² = 9/5.
    11. t = 3/√5 ≈ 1.342, והוא נמצא בתחום 1 < t < 2.6.
    12. לפני הנקודה S' > 0 ואחריה S' < 0, ולכן זו נקודת מקסימום.

    תשובה: א. x ≤ −1 או x ≥ 1; ב. (1, 0), (2.6, 4.8); ג. AB = 2√(t² − 1) − 3t + 3, AC = (2/3)√(t² − 1) + 1 − t; ד. t = 3/√5 ≈ 1.342

  5. שאלה 5 · הסתברות

    בשק א' ובשק ב' יש כדורים משני סוגים: כדורים רכים וכדורים קשים. בשק א' יש 10 כדורים, מתוכם 4 כדורים רכים והשאר קשים. בשק ב' יש 12 כדורים, מתוכם x כדורים רכים והשאר קשים. גלית בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). נתון כי ההסתברות שגלית הוציאה שני כדורים רכים היא 41/200. א. מצאו את הערך של x. ב. ידוע שגלית הוציאה שני כדורים מאותו הסוג. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים משק א'? גלית מבצעת את התהליך המתואר 4 פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד, מחזירה אותו לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק. ג. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בדיוק בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים? ד. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים ובשתיים מן הפעמים רק כדורים רכים?

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. שק א': 4 רכים ו-6 קשים מתוך 10. שק ב': x רכים ו-(12 − x) קשים. כל שק נבחר בהסתברות ½.
    2. ההוצאה עם החזרה, ולכן שתי ההוצאות מאותו שק בלתי תלויות: P(2 רכים | א') = 0.4² = 0.16, P(2 רכים | ב') = (x/12)².
    3. א. ½·0.16 + ½·(x/12)² = 41/200 ⇒ 0.08 + x²/288 = 0.205 ⇒ x² = 36 ⇒ x = 6.
    4. ב. P(אותו סוג | א') = 0.4² + 0.6² = 0.52; P(אותו סוג | ב') = 0.5² + 0.5² = 0.5.
    5. P(אותו סוג) = ½·0.52 + ½·0.5 = 0.51.
    6. P(א' | אותו סוג) = (½·0.52) / 0.51 = 26/51 ≈ 0.51.
    7. ג. ההסתברות שבפעם אחת יוצאים שני קשים: ½·0.6² + ½·0.5² = 0.18 + 0.125 = 0.305.
    8. ארבע חזרות בלתי תלויות — התפלגות בינומית: P = C(4,2)·0.305²·0.695² ≈ 0.2696.
    9. ד. בכל פעם יש שלוש תוצאות אפשריות: שני קשים (0.305), שני רכים (41/200 = 0.205), או כדור אחד מכל סוג.
    10. מספר הסידורים של 2 פעמים 'קשים' ו-2 פעמים 'רכים' בארבע פעמים: 4!/(2!·2!) = 6.
    11. P = 6·0.305²·0.205² ≈ 0.0235.

    תשובה: א. x = 6; ב. 26/51 ≈ 0.51; ג. ≈ 0.2696; ד. ≈ 0.0235

  6. שאלה 6 · גיאומטריה

    בסרטוט מעגל שמרכזו O. AB הוא קוטר במעגל. הנקודה C נמצאת על המעגל. הנקודה M נמצאת מחוץ למעגל כך שהקטע AM חותך את הקטע CO בנקודה K. הנקודה E נמצאת על הקטע BO כך שהמרובע EMKO הוא דלתון (OE = OK, ME = MK). א. הוכיחו כי EK ∥ BC. ב. הוכיחו כי AC ∥ OM. נתון: EK/BC = 3/5. ג. מצאו את הערך של AC/OM. נסמן ב-S את שטח הדלתון EMKO. ד. הביעו באמצעות S את שטח המשולש AOC.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. א. OE = OK (נתון) ו-OB = OC (רדיוסים), ולכן OE/OB = OK/OC.
    2. למשולשים OEK ו-OBC זווית משותפת ∢EOK = ∢BOC, ולכן הם דומים (צ.ז.צ).
    3. מן הדמיון ∢OEK = ∢OBC — זוויות מתאימות שוות, ולכן EK ∥ BC.
    4. ב. בדלתון EMKO האלכסון OM חוצה את הזווית EOK, ולכן ∢MOB = ½∢BOC.
    5. ∢BAC היא זווית היקפית הנשענת על הקשת BC, ולכן ∢BAC = ½∢BOC.
    6. ∢BAC = ∢MOB, והן זוויות מתאימות ביחס לישר AB — לכן AC ∥ OM.
    7. ג. מן הדמיון בסעיף א': EK/BC = OK/OC = 3/5. נסמן את הרדיוס r: OK = 3r/5, KC = 2r/5.
    8. AC ∥ OM, ולכן המשולשים KAC ו-KMO דומים (זוויות מתחלפות וזוויות קודקודיות).
    9. AC/OM = KC/KO = (2r/5)/(3r/5) = 2/3.
    10. ד. האלכסון OM מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים, ולכן שטח המשולש OKM הוא S/2.
    11. למשולשים AKO ו-OKM גובה משותף מ-O לישר AM, ולכן יחס שטחיהם הוא AK/KM = KC/KO = 2/3, כלומר שטח AKO = S/3.
    12. באותו אופן שטח AKC / שטח AKO = KC/KO = 2/3, ולכן שטח AKC = 2S/9.
    13. שטח AOC = S/3 + 2S/9 = 5S/9.

    תשובה: א, ב — הוכחות; ג. AC/OM = 2/3; ד. שטח AOC = 5S/9

  7. שאלה 7 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = ax/(x − 3)², המוגדרת בתחום x ≠ 3. a הוא פרמטר חיובי. א. ענו על התת-סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות a, אם יש צורך. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x). נתונה הפונקצייה g(x) = f(x) + 0.5, המוגדרת בתחום x ≠ 3. נתון כי לגרף הפונקצייה g(x) יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה-x. ג. מצאו את הערך של a. הציבו בפונקצייה g(x) את הערך של a שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקצייה h(x) = g(x)·g'(x), המוגדרת בתחום x ≠ 3. ד. (1) רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקצייה h(x). (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה h(x) ועל ידי ציר ה-x בתחום −9 ≤ x ≤ 0.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. א(1). המכנה מתאפס ב-x = 3 והמונה לא, ולכן x = 3 אסימפטוטה אנכית.
    2. מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן y = 0 אסימפטוטה אופקית.
    3. א(2). f'(x) = a[(x − 3)² − 2x(x − 3)] / (x − 3)⁴ = −a(x + 3) / (x − 3)³.
    4. f'(x) = 0 ⇔ x = −3, ו-f(−3) = −3a/36 = −a/12.
    5. משמאל ל-−3 הנגזרת שלילית ובין −3 ל-3 חיובית — לכן (−3, −a/12) נקודת מינימום.
    6. ב. משמאל: הגרף שואף ל-0 מלמטה, יורד למינימום, עולה דרך הראשית ושואף ל-+∞ ליד x = 3. מימין ל-3: יורד מ-+∞ ושואף ל-0 מלמעלה.
    7. ג. g = f + 0.5. מימין ל-3, f > 0 ולכן g > 0.5 — אין שם חיתוך עם ציר ה-x.
    8. משמאל ל-3 ערך המינימום של g הוא 0.5 − a/12. נקודה משותפת אחת בדיוק ⇔ המינימום נוגע בציר: 0.5 − a/12 = 0 ⇒ a = 6.
    9. ד(1). g(x) ≥ 0 לכל x בתחום (שווה 0 רק ב-x = −3), ולכן הסימן של h = g·g' נקבע לפי g' = f'.
    10. h > 0 בתחום −3 < x < 3; h < 0 בתחומים x < −3 ו-x > 3.
    11. ד(2). h = g·g', ולכן פונקצייה קדומה של h היא g²/2.
    12. g(−9) = 6·(−9)/144 + 0.5 = 0.125, g(−3) = 0, g(0) = 0.5.
    13. בתחום [−9, −3] הגרף מתחת לציר: השטח הוא |0 − 0.125²/2| = 1/128.
    14. בתחום [−3, 0] הגרף מעל לציר: השטח הוא 0.5²/2 − 0 = 16/128.
    15. השטח הכולל: 1/128 + 16/128 = 17/128 ≈ 0.133.

    תשובה: א(1) x = 3, y = 0; (2) מינימום (−3, −a/12); ג. a = 6; ד(1) חיובית ב-−3 < x < 3, שלילית ב-x < −3 וב-x > 3; (2) 17/128

  8. שאלה 8 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקצייה f(x) = (cos x + 1)·(b·cos x − 1), המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π. b הוא פרמטר, ונתון 0 < b < 1. א. האם הפונקצייה f(x) היא זוגית או אי-זוגית? נמקו את תשובתכם. ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה-x. נתון כי לפונקצייה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = π/3. ג. מצאו את הערך של b. הציבו b = ½ בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ד–ה. ד. (1) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן. (2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x). נתונה הפונקצייה h(x) = f(x) + |f(x)|, המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π. הנקודה A היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקצייה h(x). ה. האם שיעור ה-y של הנקודה A הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. א. cos(−x) = cos x, ולכן f(−x) = f(x) — הפונקצייה זוגית.
    2. ב. f(x) = 0 ⇔ cos x = −1 או cos x = 1/b.
    3. 0 < b < 1 ⇒ 1/b > 1, ולמשוואה cos x = 1/b אין פתרון. cos x = −1 בתחום ⇔ x = ±π. נקודות החיתוך: (−π, 0) ו-(π, 0).
    4. ג. f'(x) = −sin x·(b·cos x − 1) + (cos x + 1)·(−b·sin x) = −sin x·(2b·cos x + b − 1).
    5. ב-x = π/3: sin(π/3) ≠ 0, ולכן 2b·½ + b − 1 = 0 ⇒ 2b = 1 ⇒ b = ½.
    6. ד(1). עם b = ½: f'(x) = −sin x·(cos x − ½). נקודות חשודות: sin x = 0 ⇒ x = 0, ±π; cos x = ½ ⇒ x = ±π/3.
    7. f(0) = 2·(−½) = −1; f(±π/3) = 1.5·(−0.75) = −1.125; f(±π) = 0.
    8. בין 0 ל-π/3: sin x > 0 ו-cos x > ½ ⇒ f' < 0 (יורדת). בין π/3 ל-π: cos x < ½ ⇒ f' > 0 (עולה). מן הזוגיות — תמונת ראי בצד השלילי.
    9. לכן (±π/3, −1.125) נקודות מינימום, (0, −1) מקסימום, ו-(±π, 0) מקסימום (נקודות קצה).
    10. ד(2). הגרף סימטרי לציר ה-y: מ-(−π, 0) יורד למינימום (−π/3, −1.125), עולה למקסימום (0, −1), יורד ל-(π/3, −1.125) ועולה ל-(π, 0).
    11. ה. cos x + 1 ≥ 0 ו-½cos x − 1 < 0 לכל x, ולכן f(x) ≤ 0 בכל התחום.
    12. כאשר f ≤ 0: |f| = −f, ולכן h(x) = f(x) − f(x) = 0 לכל x.
    13. שיעור ה-y של הנקודה A שווה אפס.

    תשובה: א. זוגית; ב. (−π, 0), (π, 0); ג. b = ½; ד. מינימום (±π/3, −1.125), מקסימום (0, −1) ו-(±π, 0); ה. שווה אפס — h(x) = 0 לכל x

  9. שאלה 9 · הסתברות

    ליונתן יש בספרייה שבחדרו ספרים משני סוגים: ספרי קומיקס וספרי עיון. 60% מן הספרים הם ספרי קומיקס והשאר ספרי עיון. 70% מן הספרים הם בעברית והשאר באנגלית. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם. I. ליונתן אין ספרי קומיקס בעברית. II. ההסתברות לבחור באקראי ספר בעברית מבין ספרי הקומיקס גדולה מן ההסתברות לבחור באקראי ספר קומיקס מבין הספרים שבעברית.

    לתרגל את השאלה הזו עם נועה ←
    פתרון שלב אחר שלב
    1. נסמן: P(ק) = 0.6 — ספר קומיקס, P(ע) = 0.7 — ספר בעברית.
    2. לפי נוסחת החיבור: P(ק∩ע) = P(ק) + P(ע) − P(ק∪ע).
    3. הסתברות של איחוד אינה עולה על 1, ולכן P(ק∩ע) ≥ 0.6 + 0.7 − 1 = 0.3.
    4. לפחות 30% מן הספרים הם ספרי קומיקס בעברית — טענה I לא נכונה.
    5. P(עברית | קומיקס) = P(ק∩ע) / 0.6, ו-P(קומיקס | עברית) = P(ק∩ע) / 0.7.
    6. לשני השברים אותו מונה, והוא חיובי (לפחות 0.3). המכנה 0.6 קטן מ-0.7, ולכן השבר הראשון גדול יותר.
    7. טענה II נכונה.

    תשובה: I — לא נכונה (לפחות 30% מן הספרים הם ספרי קומיקס בעברית). II — נכונה.

מועדים נוספים בשאלון 35571

וואטסאפ