שאלון 35571 — חורף 2024

22 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   בסדרה חשבונית A נתון a₁ = 8 ו-a₁₇ = −232. מצאו את ההפרש d של הסדרה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. a₁₇ = a₁ + 16d
   2. −232 = 8 + 16d
   3. 16d = −240
   4. d = −15

   תשובה: d = −15

2. שאלה 2 · סדרות

   הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל n טבעי זוגי מתקיים 48 + 144 + 288 + ... + 6n(n+2) = n(n+2)(n+4).

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שלב הבדיקה: עבור n = 2, אגף שמאל הוא איבר יחיד 6·2·4 = 48
   2. אגף ימין: 2 · 4 · 6 = 48 ✓
   3. הנחת האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה עבור n = k זוגי, כלומר הסכום שווה k(k+2)(k+4)
   4. שלב הצעד: נוכיח עבור n = k + 2, כלומר נוסיף את האיבר 6(k+2)(k+4)
   5. k(k+2)(k+4) + 6(k+2)(k+4)
   6. נוציא גורם משותף (k+2)(k+4): (k+2)(k+4)(k + 6)
   7. וזהו בדיוק אגף ימין עבור n = k+2
   8. לפי אקסיומת האינדוקציה הטענה נכונה לכל n טבעי זוגי

   תשובה: הטענה נכונה לכל n טבעי זוגי

3. שאלה 3 · חשבון דיפרנציאלי

   לפונקציה f(x) יש שתי אסימפטוטות המאונכות לציר ה-x ושתיים המאונכות לציר ה-y. נתונות ארבע אפשרויות: (I) x/√(x²+16) , (II) x/√(x²−16) , (III) x²/√(x²+16) , (IV) x²/√(x²−16). קבעו איזו מהן מייצגת את f ונמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. תחום ההגדרה של I ו-III הוא כל x, כי x² + 16 חיובי תמיד — אין להן אסימפטוטה אנכית
   2. תחום ההגדרה של II ו-IV הוא x > 4 או x < −4, ולהן שתי אסימפטוטות אנכיות x = ±4 ✓
   3. ב-III ו-IV חזקת המונה גדולה מחזקת המכנה, ולכן אין להן אסימפטוטה אופקית
   4. ב-I וב-II המונה והמכנה מאותה דרגה, והמנה שואפת ל-1 מימין ול-‎−1 משמאל
   5. רק II מקיימת את שני התנאים יחד
   6. f(x) = x/√(x² − 16)

   תשובה: תבנית II

4. שאלה 4 · חשבון דיפרנציאלי

   לפונקציה f(x) שלוש נקודות קיצון בשיעורי x שהם A, B ו-C בסדר עולה, כאשר A ו-C מקסימום ו-B מינימום. נתון f(A) = 6 ו-f(B) = 2. השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f'(x) לבין ציר ה-x בתחום שבין A ל-C שווה ל-7. מצאו את f(C).

   פתרון שלב אחר שלב

   1. בין A ל-B הפונקציה יורדת, ולכן f' שלילית שם והשטח הוא מינוס האינטגרל
   2. בין B ל-C הפונקציה עולה, ולכן f' חיובית שם והשטח הוא האינטגרל עצמו
   3. S = −∫ מ-A עד B של f'(x)dx + ∫ מ-B עד C של f'(x)dx = 7
   4. −[f(B) − f(A)] + [f(C) − f(B)] = 7
   5. −(2 − 6) + f(C) − 2 = 7
   6. 4 + f(C) − 2 = 7
   7. f(C) = 5

   תשובה: f(C) = 5

5. שאלה 5 · סדרות

   נתונה סדרה חשבונית A שבה a₁ = −4k − 4 והאיבר ה-17 הוא a₁₇ = −232, כאשר ההפרש הוא d = 3k − 6 ו-k פרמטר. מצאו את k.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. a₁₇ = a₁ + 16d
   2. −232 = (−4k − 4) + 16(3k − 6)
   3. −232 = −4k − 4 + 48k − 96
   4. −232 = 44k − 100
   5. 44k = −132
   6. k = −3

   תשובה: k = −3

6. שאלה 6 · סדרות

   נתונה סדרה חשבונית A שבה a₁ = 8 ו-d = −15. נתונה סדרה B שאיבריה מקיימים bₙ = aₙ + 24n + 17. הוכיחו כי B היא סדרה חשבונית, ומצאו את האיבר הראשון ואת ההפרש שלה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. b_(n+1) − bₙ = [a_(n+1) + 24(n+1) + 17] − [aₙ + 24n + 17]
   2. = (a_(n+1) − aₙ) + 24
   3. = d_A + 24 = −15 + 24 = 9
   4. ההפרש קבוע ואינו תלוי ב-n, ולכן B סדרה חשבונית
   5. b₁ = a₁ + 24·1 + 17 = 8 + 41 = 49
   6. d_B = 9, כלומר B עולה

   תשובה: B חשבונית, b₁ = 49 ו-d = 9

7. שאלה 7 · סדרות

   בסדרה חשבונית B נתון b₁ = 49 וההפרש d = 9. חשבו את הסכום b₁² − b₂² + b₃² − b₄² + ... + b₂₉² − b₃₀².

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נזוג את האיברים ונשתמש בהפרש ריבועים
   2. b₁² − b₂² = (b₁ + b₂)(b₁ − b₂), וכן הלאה לכל זוג
   3. בסדרה חשבונית b_n − b_(n+1) = −d = −9 לכל זוג
   4. הסכום = −9 · (b₁ + b₂ + b₃ + ... + b₃₀)
   5. סכום 30 האיברים: S₃₀ = 30(2·49 + 29·9)/2 = 15(98 + 261)
   6. S₃₀ = 15 · 359 = 5,385
   7. הסכום המבוקש: −9 · 5,385 = −48,465

   תשובה: ‎−48,465

8. שאלה 8 · הסתברות

   בסקר על הקמת פארק נמצא שכל התושבים המבוגרים שהשתתפו תמכו בהקמתו. נסמן ב-p את ההסתברות שתושב שנבחר באקראי הוא צעיר וב-k את ההסתברות שהוא תומך. הביעו באמצעות p ו-k את ההסתברות שתושב שנבחר היה צעיר ותומך.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן A = צעיר, B = תומך
   2. כל המבוגרים תומכים, כלומר P(מבוגר ולא תומך) = 0
   3. P(מבוגר) = 1 − p, וכולם תומכים, לכן P(מבוגר ותומך) = 1 − p
   4. P(תומך) = P(צעיר ותומך) + P(מבוגר ותומך)
   5. k = P(A ∩ B) + (1 − p)
   6. P(A ∩ B) = k − 1 + p = k + p − 1

   תשובה: k + p − 1

9. שאלה 9 · הסתברות

   ההסתברות שצעיר תומך בהקמת הפארק היא 0.5. יוסי בחר באקראי שישה צעירים. מצאו את ההסתברות שלפחות אחד מהם תומך ולפחות אחד מתנגד.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המאורע המשלים: כולם תומכים, או כולם מתנגדים
   2. P(כולם תומכים) = 0.5⁶ = 1/64
   3. P(כולם מתנגדים) = 0.5⁶ = 1/64
   4. שני המאורעות זרים: 1/64 + 1/64 = 2/64 = 1/32
   5. P = 1 − 1/32 = 31/32

   תשובה: 31/32

10. שאלה 10 · הסתברות

    ההסתברות שתושב שנבחר באקראי הוא צעיר היא 0.6. יוסי ראיין באקראי 5 תושבים. מצאו את ההסתברות שהמרואיין האחרון היה צעיר, ושבדיוק 2 מארבעת האחרים היו צעירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שני המאורעות בלתי תלויים, לכן נכפול את ההסתברויות
    2. P(האחרון צעיר) = 0.6
    3. בעבור ארבעת האחרים נשתמש בנוסחת ברנולי עם n = 4, k = 2, p = 0.6
    4. P₄(2) = C(4,2) · 0.6² · 0.4² = 6 · 0.36 · 0.16 = 0.3456
    5. P = 0.6 · 0.3456 = 0.20736
    6. בשבר: 648/3,125

    תשובה: 648/3,125 ≈ 0.207

11. שאלה 11 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)². מצאו את תחום ההגדרה ואת משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בשורש אי-שלילי: x ≥ 0
    2. המכנה שונה מאפס: √x − 2 ≠ 0 → √x ≠ 2 → x ≠ 4
    3. x = 4 מאפס את המכנה ולא את המונה (√4 − 4 = −2)
    4. לכן x = 4 אסימפטוטה אנכית
    5. כאשר x ← ∞ המכנה גדל כמו x והמונה כמו √x
    6. המכנה גדל מהר יותר, ולכן y = 0 אסימפטוטה אופקית מימין

    תשובה: תחום x ≥ 0 ו-x ≠ 4 ; אסימפטוטות x = 4 ו-y = 0

12. שאלה 12 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)², המוגדרת עבור x ≥ 0 ו-x ≠ 4. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. חיתוך עם ציר ה-y: נציב x = 0
    2. f(0) = (0 − 4)/(0 − 2)² = −4/4 = −1 → (0 , −1)
    3. חיתוך עם ציר ה-x: המונה מתאפס
    4. √x − 4 = 0 → √x = 4 → x = 16
    5. 16 בתחום ההגדרה ושונה מ-4 → (16 , 0)

    תשובה: (0 , −1) ו-(16 , 0)

13. שאלה 13 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה g(x) = 2x/(√x − 2), המוגדרת באותו תחום כמו f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)². הראו כי g'(x) = f(x) בתחום ההגדרה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה: g'(x) = [2(√x − 2) − 2x · (1/(2√x))] / (√x − 2)²
    2. נפשט את המונה: 2√x − 4 − x/√x
    3. x/√x = √x
    4. המונה: 2√x − 4 − √x = √x − 4
    5. g'(x) = (√x − 4)/(√x − 2)²
    6. וזהו בדיוק f(x)

    תשובה: השוויון מתקיים

14. שאלה 14 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה g(x) = 2x/(√x − 2) המקיימת g'(x) = f(x), כאשר לפונקציה f יש מקסימום מוחלט בערך 0.125. בדקו אם הטענה נכונה: יש משיק לגרף g ששיפועו 2.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. שיפוע המשיק לגרף g בנקודה כלשהי הוא g'(x)
    2. g'(x) = f(x), ולכן שיפועי המשיקים הם בדיוק ערכי f
    3. הערך המקסימלי של f הוא 0.125
    4. כלומר g'(x) ≤ 0.125 לכל x בתחום
    5. 0.125 < 2, ולכן אין נקודה שבה השיפוע הוא 2
    6. הטענה אינה נכונה

    תשובה: הטענה אינה נכונה

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה g(x) = 2x/(√x − 2) המקיימת g'(x) = f(x), כאשר ל-f יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד ב-x = 36. בדקו אם הטענה נכונה: לפונקציה g יש נקודת פיתול אחת בלבד.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נקודת פיתול של g היא נקודה שבה g''(x) מחליפה סימן
    2. g'(x) = f(x), ולכן g''(x) = f'(x)
    3. f' מחליפה סימן בדיוק בנקודות הקיצון של f
    4. ל-f יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד, ב-x = 36
    5. לכן ל-g יש נקודת פיתול אחת בלבד, ב-x = 36
    6. הטענה נכונה

    תשובה: הטענה נכונה

16. שאלה 16 · טריגונומטריה

    נתונה הפונקציה f(x) = (sin x − a)/(sin x + a), כאשר a > 0 פרמטר. נתון כי גרף הפונקציה משיק לציר ה-x בכל נקודות הקיצון שלה. מצאו את a.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. השקה לציר ה-x בנקודת קיצון פירושה שבאותה נקודה גם f(x) = 0 וגם f'(x) = 0
    2. נגזור: f'(x) = [cos x(sin x + a) − cos x(sin x − a)]/(sin x + a)²
    3. המונה: cos x · 2a
    4. f'(x) = 2a·cos x/(sin x + a)²
    5. a > 0, ולכן f'(x) = 0 רק כאשר cos x = 0, כלומר x = 90° + 180°k
    6. נדרוש שגם f תתאפס שם: sin x − a = 0
    7. עבור x = 90° מתקיים sin x = 1, ולכן a = 1
    8. בדיקה: a = 1 שומר על תחום ההגדרה, כי sin x ≠ −1 מותר

    תשובה: a = 1

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות g(x) = 2x/(√x − 2) ו-f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)², המקיימות g'(x) = f(x). חשבו את הערך של האינטגרל המסוים של g(x)·f(x) בתחום מ-0.25 עד 1.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. g(x)·f(x) = g(x)·g'(x), שהיא הנגזרת של g²(x)/2
    2. לכן הפונקציה הקדומה היא g²(x)/2
    3. g(1) = 2·1/(√1 − 2) = 2/(−1) = −2 → g²(1) = 4
    4. g(0.25) = 2·0.25/(0.5 − 2) = 0.5/(−1.5) = −1/3 → g²(0.25) = 1/9
    5. הערך: 4/2 − (1/9)/2 = 2 − 1/18
    6. = 36/18 − 1/18 = 35/18

    תשובה: 35/18 ≈ 1.944

18. שאלה 18 · טריגונומטריה

    נתונה הפונקציה f(x) = (sin x − 1)/(sin x + 1). מצאו את תחום ההגדרה שלה ואת נקודות החיתוך עם הצירים בתחום ‎−2π ≤ x ≤ 2π.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המכנה שונה מאפס: sin x + 1 ≠ 0 → sin x ≠ −1
    2. sin x = −1 כאשר x = −π/2 + 2πk, ולכן אלה הערכים שיש להוציא
    3. בתחום הנתון: x ≠ −π/2 ו-x ≠ 3π/2
    4. חיתוך עם ציר ה-x: sin x − 1 = 0 → sin x = 1 → x = π/2 + 2πk
    5. בתחום הנתון: (π/2 , 0) ו-(−3π/2 , 0)
    6. חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = (0 − 1)/(0 + 1) = −1 → (0 , −1)

    תשובה: תחום: x ≠ −π/2 + 2πk ; חיתוך: (π/2 , 0) , (−3π/2 , 0) , (0 , −1)

19. שאלה 19 · סדרות

    בסדרה חשבונית A מתקיים a₁ = −4k − 4 ו-d = 3k − 6, כאשר k פרמטר. קבעו עבור אילו ערכי k הסדרה עולה, יורדת או קבועה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. אופי סדרה חשבונית נקבע כולו על ידי סימן ההפרש d
    2. d = 3k − 6 הוא ביטוי ליניארי ב-k
    3. d > 0: 3k − 6 > 0 → k > 2 ← הסדרה עולה
    4. d < 0: k < 2 ← הסדרה יורדת
    5. d = 0: k = 2 ← הסדרה קבועה

    תשובה: עולה כאשר k > 2, יורדת כאשר k < 2, קבועה כאשר k = 2

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = x/√(x² − 16), המוגדרת עבור x > 4 או x < −4. הפונקציה g(x) מוגדרת באותו תחום ומקיימת g'(x) = f(x) + 5/3. מצאו את תחומי העלייה והירידה של g.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נמצא את אפסי הנגזרת: x/√(x² − 16) + 5/3 = 0
    2. x/√(x² − 16) = −5/3, ולכן x שלילי
    3. 3x = −5√(x² − 16)
    4. נעלה בריבוע: 9x² = 25(x² − 16)
    5. 9x² = 25x² − 400 → 16x² = 400 → x² = 25
    6. x = −5 (הפתרון x = 5 נפסל כי דרוש x שלילי)
    7. בתחום x > 4 מתקיים f(x) > 0, ולכן g' > 0 ← עלייה
    8. בתחום x < −5: בדיקה מראה g' > 0 ← עלייה
    9. בתחום −5 < x < −4: g' < 0 ← ירידה

    תשובה: עולה ב-x < −5 וב-x > 4 ; יורדת ב-−5 < x < −4

21. שאלה 21 · הסתברות

    בסקר, p היא ההסתברות שתושב הוא צעיר ו-k שהוא תומך, וההסתברות שהוא צעיר ותומך היא k + p − 1. נתון כי ההסתברות שתושב תומך בהינתן שהוא צעיר היא 0.5, וכי ההסתברות שתושב הוא צעיר בהינתן שהוא תומך היא 3/7. מצאו את p ואת k.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. P(B|A) = P(A∩B)/P(A): 0.5 = (k + p − 1)/p
    2. 0.5p = k + p − 1 → k = 1 − 0.5p
    3. P(A|B) = P(A∩B)/P(B): 3/7 = (k + p − 1)/k
    4. 3k = 7k + 7p − 7 → 4k = 7 − 7p
    5. נציב את k: 4(1 − 0.5p) = 7 − 7p
    6. 4 − 2p = 7 − 7p → 5p = 3 → p = 0.6
    7. k = 1 − 0.5·0.6 = 0.7

    תשובה: p = 0.6 , k = 0.7

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (√x − 4)/(√x − 2)² בתחום x ≥ 0 , x ≠ 4. נתון כי מונה הנגזרת מתאפס כאשר √x = 6. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. √x = 6 → x = 36
    2. f(36) = (6 − 4)/(6 − 2)² = 2/16 = 0.125
    3. בדיקת סימנים סביב x = 36: f'(35) > 0 ו-f'(37) < 0 ← מקסימום
    4. x = 0 הוא קצה תחום ההגדרה
    5. בבדיקה: f'(1) < 0, כלומר הפונקציה יורדת מיד אחרי x = 0
    6. לכן (0 , −1) היא נקודת מקסימום קצה
    7. שתי הנקודות: (0 , −1) ו-(36 , 0.125)

    תשובה: (0 , −1) מקסימום קצה ו-(36 , 0.125) מקסימום