שאלון 35571 — קיץ מועד ב׳ 2023

21 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל n טבעי מתקיים A/2 + A/4 + A/8 + ... + A/2ⁿ = A(1 − 1/2ⁿ).

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שלב הבדיקה: עבור n = 1 אגף שמאל הוא A/2
   2. אגף ימין: A(1 − 1/2) = A/2 ✓
   3. הנחת האינדוקציה: הסכום עד n = k שווה A(1 − 1/2^k)
   4. שלב הצעד: נוסיף את האיבר A/2^(k+1)
   5. A(1 − 1/2^k) + A/2^(k+1)
   6. = A − A/2^k + A/2^(k+1)
   7. נוציא A/2^(k+1): −A/2^k = −2A/2^(k+1)
   8. = A − 2A/2^(k+1) + A/2^(k+1) = A − A/2^(k+1)
   9. = A(1 − 1/2^(k+1)), וזהו אגף ימין עבור n = k+1

   תשובה: הטענה נכונה לכל n טבעי

2. שאלה 2 · סדרות

   נתונה סדרה הנדסית אין-סופית שאיברה הראשון A/2 ומנתה ½. הוכיחו בעזרת נוסחת סכום סדרה הנדסית כי סכום n האיברים הראשונים הוא A(1 − 1/2ⁿ).

   פתרון שלב אחר שלב

   1. Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
   2. a₁ = A/2 , q = ½
   3. Sₙ = (A/2)·((½)ⁿ − 1)/(½ − 1)
   4. המכנה: ½ − 1 = −½
   5. Sₙ = (A/2)·((½)ⁿ − 1)/(−½) = −A((½)ⁿ − 1)
   6. = A(1 − 1/2ⁿ)

   תשובה: הנוסחה מתקבלת ישירות

3. שאלה 3 · סדרות

   נתונה סדרה חשבונית A ובה 3n איברים שהפרשה d. מסמנים ב-Sₙ* את סכום n האיברים האמצעיים בסדרה. הוכיחו כי Sₙ* = ⅓·S₃ₙ.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. האיברים האמצעיים מתחילים מהאיבר ה-(n+1), שערכו a₁ + dn
   2. Sₙ* = n(2(a₁ + dn) + (n − 1)d)/2
   3. S₃ₙ = 3n(2a₁ + (3n − 1)d)/2
   4. ⅓·S₃ₙ = n(2a₁ + (3n − 1)d)/2
   5. נשווה את המונים: 2a₁ + 2dn + nd − d = 2a₁ + 3nd − d
   6. 2dn + nd = 3nd ✓
   7. שני האגפים שווים

   תשובה: השוויון מתקיים

4. שאלה 4 · סדרות

   בסדרה חשבונית ובה 3n איברים, סכום n האיברים האמצעיים הוא אפס, והאיבר הראשון a₁ חיובי. הוכיחו כי הפרש הסדרה שלילי.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מהסעיף הקודם, הסכום האמצעי מתאפס כאשר 2a₁ + (3n − 1)d = 0
   2. (3n − 1)d = −2a₁
   3. n טבעי, ולכן 3n − 1 > 0
   4. a₁ > 0, ולכן −2a₁ < 0
   5. מנה של מספר שלילי במספר חיובי היא שלילית
   6. d < 0

   תשובה: d < 0

5. שאלה 5 · סדרות

   בסדרה חשבונית ובה 3n איברים, סכום n האיברים האמצעיים הוא אפס ומתקיים a₁ = −19d. מצאו את מספר האיברים בסדרה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. מהתנאי: 2a₁ + (3n − 1)d = 0
   2. נציב a₁ = −19d: −38d + (3n − 1)d = 0
   3. נחלק ב-d (שאינו אפס): −38 + 3n − 1 = 0
   4. 3n = 39
   5. מספר האיברים הוא 3n = 39

   תשובה: 39 איברים

6. שאלה 6 · סדרות

   בסדרה חשבונית A בת 39 איברים, מוחקים איברים ונוצרת סדרה חדשה B הכוללת את האיברים במקומות 2, 5, 8, ..., 35. נתון a₁ = −19d וסכום הסדרה B הוא 36. מצאו את d.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. האיברים במקומות 2, 5, 8, ..., 35 — הפרש של 3 מקומות
   2. מספר האיברים: (35 − 2)/3 + 1 = 12
   3. b₁ = a₂ = a₁ + d = −19d + d = −18d
   4. הפרש הסדרה B: 3d
   5. S₁₂ = 12(2·(−18d) + 11·3d)/2 = 6(−36d + 33d) = 6·(−3d) = −18d
   6. −18d = 36 → d = −2

   תשובה: d = −2

7. שאלה 7 · הסתברות

   בעיתון יש מנויים בתל אביב ובחיפה. נסמן ב-p את ההסתברות שמנוי גר בחיפה. נתון: ¾ מן החיפאים מקבלים את העיתון בזמן, ומבין המקבלים בזמן 5/9 גרים בחיפה. הביעו באמצעות p את ההסתברות שמנוי גר בתל אביב ומקבל את העיתון בזמן.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(מקבל בזמן ∩ חיפה) = ¾ · p = 0.75p
   2. P(חיפה | מקבל בזמן) = 5/9
   3. 5/9 = 0.75p / P(מקבל בזמן)
   4. P(מקבל בזמן) = 0.75p · 9/5 = 1.35p
   5. P(תל אביב ∩ מקבל בזמן) = 1.35p − 0.75p = 0.6p

   תשובה: 0.6p

8. שאלה 8 · הסתברות

   בטבלת המנויים: P(חיפה ∩ בזמן) = 0.75p, P(תל אביב ∩ בזמן) = 0.6p, P(חיפה) = p. נתון כי ההסתברות שמנוי בתל אביב לא קיבל בזמן גדולה פי 1.5 מזו שבתל אביב כן קיבל בזמן. איזה אחוז מן המנויים קיבלו את העיתון בזמן?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(תל אביב) = 1 − p
   2. P(תל אביב ∩ לא בזמן) = (1 − p) − 0.6p = 1 − 1.6p
   3. 1 − 1.6p = 1.5 · 0.6p = 0.9p
   4. 1 = 2.5p → p = 0.4
   5. P(בזמן) = 1.35p = 1.35 · 0.4 = 0.54
   6. כלומר 54%

   תשובה: 54%

9. שאלה 9 · הסתברות

   בטבלת המנויים: 46% לא קיבלו את העיתון בזמן, ומתוכם 0.36 בתל אביב ו-0.1 בחיפה. בוחרים באקראי שני מנויים מבין אלה שלא קיבלו בזמן. מהי ההסתברות שהראשון מתל אביב והשני מחיפה?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. P(תל אביב | לא בזמן) = 0.36/0.46 = 36/46 = 18/23
   2. P(חיפה | לא בזמן) = 0.1/0.46 = 10/46 = 5/23
   3. P = (18/23) · (5/23) = 90/529 ≈ 0.170

   תשובה: 90/529 ≈ 0.170

10. שאלה 10 · הסתברות

    מבין המנויים שלא קיבלו את העיתון בזמן, ההסתברות שמנוי גר בחיפה היא 5/23. בוחרים 6 מנויים מבין אלה שלא קיבלו בזמן. מהי ההסתברות שלכל היותר 4 מהם גרים בחיפה?

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המאורע המשלים: 5 או 6 מהם מחיפה
    2. P₆(5) = C(6,5)·(5/23)⁵·(18/23)¹ = 6·(5/23)⁵·(18/23)
    3. P₆(6) = (5/23)⁶
    4. (5/23) ≈ 0.2174
    5. P₆(5) ≈ 6 · 0.000486 · 0.7826 ≈ 0.00228
    6. P₆(6) ≈ 0.000106
    7. P = 1 − (0.00228 + 0.000106) ≈ 0.9976

    תשובה: כ-0.9976

11. שאלה 11 · גיאומטריה

    נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הישר BC משיק למעגל בנקודה C, והקטע EA משיק לו בנקודה A. הוכיחו כי המרובע AODE בר-חסימה במעגל.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה
    2. ∠ODE = 90° (רדיוס OD מאונך למשיק בנקודה D)
    3. ∠OAE = 90° (רדיוס OA מאונך למשיק בנקודה A)
    4. סכום שתי הזוויות הנגדיות: 90° + 90° = 180°
    5. מרובע שסכום זוויותיו הנגדיות 180° הוא בר-חסימה במעגל

    תשובה: סכום זוויות נגדיות 180°, ולכן בר-חסימה

12. שאלה 12 · גיאומטריה

    במרובע בר-חסימה AODE, הזוויות ODE ו-OAE ישרות. הסבירו מדוע EO הוא קוטר במעגל החוסם, ומצאו את רדיוס המעגל החוסם אם EO = √3·R.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. ∠OAE = 90° היא זווית היקפית במעגל החוסם
    2. זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
    3. לכן EO הוא קוטר במעגל החוסם
    4. הרדיוס הוא חצי הקוטר: R_new = EO/2
    5. R_new = (√3·R)/2 ≈ 0.866R

    תשובה: EO הוא קוטר ; הרדיוס הוא (√3/2)·R ≈ 0.866R

13. שאלה 13 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות שלוש פונקציות: f(x) = √(x³ + 2x²) , h(x) = √(x² + 2x) , k(x) = x·√(x+2). מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מהן ואת נקודות האפס שלהן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(x) = √(x³ + 2x²) = √(x²(x+2)) = |x|·√(x+2)
    2. x² אי-שלילי תמיד, ולכן די ש-x + 2 ≥ 0, כלומר x ≥ −2
    3. k(x) = x·√(x+2): השורש מחייב x ≥ −2, וזה כל התנאי
    4. h(x) = √(x² + 2x) = √(x(x+2)): המכפלה אי-שלילית כאשר x ≥ 0 או x ≤ −2
    5. אפסי כל השלוש: x = 0 ו-x = −2
    6. הבדל מהותי: f ו-k מוגדרות גם ב-−2 < x < 0, ואילו h לא

    תשובה: f ו-k: x ≥ −2 ; h: x ≥ 0 או x ≤ −2. אפסים: 0 ו-−2 בכל השלוש

14. שאלה 14 · טריגונומטריה

    טרפז ABCD חסום במעגל, כאשר AB מקביל ל-DC ולכן הוא שווה שוקיים. האלכסונים נחתכים בנקודה E, ומתקיים AB = k√3/(2·sin α) ו-DC = k·sin(2α − 120°)/sin α. נתון כי שטח המשולש ABE גדול פי 3 משטח המשולש DCE. מצאו את α.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. AB מקביל ל-DC, ולכן המשולשים EDC ו-EAB דומים
    2. יחס השטחים במשולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון
    3. S(ABE)/S(DCE) = 3, ולכן (AB/DC)² = 3 → AB/DC = √3
    4. DC/AB = 1/√3
    5. נציב: [k·sin(2α−120°)/sin α] / [k√3/(2·sin α)] = 1/√3
    6. הגורם k ו-sin α מצטמצמים: 2·sin(2α−120°)/√3 = 1/√3
    7. 2·sin(2α−120°) = 1 → sin(2α−120°) = 0.5
    8. 2α − 120° = 30° → α = 75°

    תשובה: α = 75°

15. שאלה 15 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x² − a²)/(x − 4)², כאשר 0 < a < 4. מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות המאונכות לצירים, ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. המכנה שונה מאפס: x ≠ 4
    2. 0 < a < 4, ולכן x = 4 אינו מאפס את המונה
    3. x = 4 אסימפטוטה אנכית
    4. חזקת המונה שווה לחזקת המכנה (שתיהן 2), ולכן y = 1 אסימפטוטה אופקית
    5. חיתוך עם ציר ה-x: x² = a² → x = ±a
    6. חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = −a²/16

    תשובה: תחום x ≠ 4 ; אסימפטוטות x = 4 ו-y = 1 ; חיתוך ב-(a,0), (−a,0) ו-(0 , −a²/16)

16. שאלה 16 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (x² − a²)/(x − 4)² עם 0 < a < 4. מצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה
    2. f'(x) = [2x(x−4)² − (x²−a²)·2(x−4)] / (x−4)⁴
    3. נוציא 2(x−4) כגורם משותף ונצמצם
    4. f'(x) = 2[x(x−4) − (x² − a²)] / (x−4)³
    5. המונה: 2[x² − 4x − x² + a²] = 2(−4x + a²)
    6. נשווה לאפס: −4x + a² = 0 → x = a²/4
    7. 0 < a < 4 גורר 0 < a²/4 < 4, כלומר הנקודה בתחום
    8. בדיקת סימנים סביבה מראה מעבר מירידה לעלייה ← מינימום

    תשובה: x = a²/4 , מינימום

17. שאלה 17 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות f(x) = (x² − a²)/(x − 4)² ו-g(x) = x²/(x − 4)², שתיהן בתחום x ≠ 4. הוכיחו כי גרף g נמצא כולו מעל גרף f.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(x) = (x² − a²)/(x−4)² = x²/(x−4)² − a²/(x−4)²
    2. כלומר f(x) = g(x) − a²/(x−4)²
    3. g(x) − f(x) = a²/(x−4)²
    4. a ≠ 0, ולכן a² > 0
    5. (x−4)² חיובי בכל תחום ההגדרה
    6. המנה חיובית תמיד, ולכן g(x) > f(x) לכל x בתחום

    תשובה: g(x) − f(x) = a²/(x−4)², שחיובי תמיד

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות f(x) = (x² − a²)/(x − 4)² ו-g(x) = x²/(x − 4)². חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים, ציר ה-y והישר x = 1.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. g(x) − f(x) = a²/(x−4)² = a²(x−4)^(−2)
    2. S = ∫ מ-0 עד 1 של a²(x−4)^(−2) dx
    3. הפונקציה הקדומה: a²·(x−4)^(−1)/(−1) = −a²/(x−4)
    4. הצבת x = 1: −a²/(1−4) = a²/3
    5. הצבת x = 0: −a²/(0−4) = a²/4
    6. S = a²/3 − a²/4 = (4a² − 3a²)/12 = a²/12

    תשובה: a²/12

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = 2x/√(x² + x). מצאו את תחום ההגדרה, והסבירו מדוע הגרף אינו חותך את הצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. הביטוי בשורש חייב להיות חיובי (הוא במכנה): x² + x > 0
    2. x(x + 1) > 0 → x > 0 או x < −1
    3. חיתוך עם ציר ה-x: 2x = 0 → x = 0
    4. x = 0 אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך
    5. חיתוך עם ציר ה-y דורש x = 0, שגם הוא מחוץ לתחום
    6. לכן הגרף אינו חותך אף ציר

    תשובה: תחום x > 0 או x < −1 ; אין חיתוך עם הצירים

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = 2x/√(x² + x) בתחום x > 0 או x < −1. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. כאשר x ← +∞: √(x²+x) מתנהג כמו x, ולכן f(x) ← 2x/x = 2
    2. כאשר x ← −∞: √(x²+x) מתנהג כמו |x| = −x, ולכן f(x) ← 2x/(−x) = −2
    3. x = −1 מאפס את המכנה ולא את המונה (2·(−1) = −2 ≠ 0)
    4. לכן x = −1 אסימפטוטה אנכית
    5. x = 0 מאפס גם מונה וגם מכנה, ולכן הוא נקודה ריקה ולא אסימפטוטה

    תשובה: y = 2 מימין, y = −2 משמאל, ו-x = −1 אסימפטוטה אנכית

21. שאלה 21 · טריגונומטריה

    במלבן ABCD, הנקודה E היא אמצע AB ו-h = AB. הזווית ABF היא 2x, והמשולש AFB ישר זווית ב-F. נתון AF = h·cos2x ו-CE = h/(2·sin x). מצאו עבור איזה x ההפרש CE − AF מינימלי, בתחום 0 < x < 45°.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(x) = h/(2·sin x) − h·cos 2x
    2. f'(x) = −h·cos x/(2·sin²x) + 2h·sin 2x
    3. sin 2x = 2·sin x·cos x, ולכן 2h·sin2x = 4h·sin x·cos x
    4. נשווה לאפס ונחלק ב-h·cos x (חיובי בתחום)
    5. −1/(2·sin²x) + 4·sin x = 0
    6. 8·sin³x = 1 → sin³x = 1/8 → sin x = ½
    7. x = 30° (בתחום הנתון)
    8. בדיקת סימנים מראה מעבר מירידה לעלייה ← מינימום

    תשובה: x = 30°