שאלון 35571 — קיץ מועד ב׳ 2024

22 שאלות מהבחינה, כל אחת עם פתרון שלב אחר שלב. נסו לפתור לבד קודם — ואז פתחו את הפתרון. נתקעתם? שאלו את נועה על השאלה הספציפית.

1. שאלה 1 · סדרות

   הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל n טבעי מתקיים 1/(1·2) + 1/(2·3) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1).

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שלב הבדיקה: עבור n = 1 אגף שמאל הוא 1/(1·2) = 1/2
   2. אגף ימין: 1/(1+1) = 1/2 ✓
   3. הנחת האינדוקציה: הסכום עד n = k שווה k/(k+1)
   4. שלב הצעד: נוסיף את האיבר הבא, 1/((k+1)(k+2))
   5. k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))
   6. מכנה משותף: [k(k+2) + 1] / ((k+1)(k+2))
   7. = (k² + 2k + 1)/((k+1)(k+2)) = (k+1)²/((k+1)(k+2))
   8. = (k+1)/(k+2), וזהו בדיוק אגף ימין עבור n = k+1
   9. לפי אקסיומת האינדוקציה הטענה נכונה לכל n טבעי

   תשובה: הטענה נכונה לכל n טבעי

2. שאלה 2 · סדרות

   בדקו אם הביטוי 1·2 + 2·3 + ... + n(n+1) שווה ל-(n+1)/n עבור כל n טבעי. נמקו.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. עבור n = 1: אגף שמאל 1·2 = 2 ; אגף ימין (1+1)/1 = 2 ✓
   2. עבור n = 2: אגף שמאל 1·2 + 2·3 = 2 + 6 = 8
   3. אגף ימין: (2+1)/2 = 1.5
   4. 8 ≠ 1.5, ולכן הטענה אינה נכונה
   5. די בדוגמה נגדית אחת כדי להפריך טענה

   תשובה: לא — הטענה נכשלת כבר עבור n = 2

3. שאלה 3 · טריגונומטריה

   המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O, והזווית ACB היא α כאשר 0° < α < 90°. הביעו באמצעות α את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש ABC ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש AOB.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. ∠AOB היא זווית מרכזית הנשענת על אותה קשת כמו ∠ACB
   2. לכן ∠AOB = 2α
   3. משפט הסינוסים במשולש ABC: AB/sin α = 2R₁ → R₁ = AB/(2·sin α)
   4. משפט הסינוסים במשולש AOB: AB/sin 2α = 2R₂ → R₂ = AB/(2·sin 2α)
   5. R₁/R₂ = sin 2α / sin α
   6. sin 2α = 2·sin α·cos α
   7. R₁/R₂ = 2·cos α

   תשובה: היחס הוא 2·cos α

4. שאלה 4 · טריגונומטריה

   המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O, והזווית ACB היא α כאשר 0° < α < 90°. היחס בין רדיוס המעגל החוסם את ABC לרדיוס המעגל החוסם את AOB הוא √2. מצאו את α.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. היחס הוא 2·cos α
   2. 2·cos α = √2
   3. cos α = √2/2
   4. α = 45° (הפתרון היחיד בתחום 0° < α < 90°)

   תשובה: α = 45°

5. שאלה 5 · סדרות

   נתונה סדרה הנדסית שבה 2n+1 איברים וכל איבריה חיוביים. סכום איברי הסדרה ללא שני האיברים הראשונים גדול פי 4 מסכום איברי הסדרה ללא שני האיברים האחרונים. מצאו את מנת הסדרה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. שני הסכומים כוללים אותו מספר איברים: 2n−1
   2. הסכום ללא השניים הראשונים מתחיל ב-a₃ = a₁q²
   3. הסכום ללא השניים האחרונים מתחיל ב-a₁
   4. a₁q²(q^(2n−1) − 1)/(q−1) = 4 · a₁(q^(2n−1) − 1)/(q−1)
   5. נצמצם את הגורם המשותף
   6. q² = 4 → q = 2 (כל האיברים חיוביים, לכן המנה חיובית)

   תשובה: q = 2

6. שאלה 6 · סדרות

   בסדרה הנדסית בעלת 2n+1 איברים חיוביים והמנה 2, סכום האיברים שאחרי האיבר האמצעי גדול פי 256 מסכום האיברים שלפני האיבר האמצעי. מצאו את n.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. האיבר האמצעי הוא a₍ₙ₊₁₎; לפניו n איברים ואחריו n איברים
   2. הסכום שלפניו מתחיל ב-a₁; הסכום שאחריו מתחיל ב-a₍ₙ₊₂₎ = a₁q^(n+1)
   3. a₁q^(n+1)(qⁿ − 1)/(q−1) = 256 · a₁(qⁿ − 1)/(q−1)
   4. q^(n+1) = 256
   5. 2^(n+1) = 2⁸
   6. n + 1 = 8 → n = 7

   תשובה: n = 7

7. שאלה 7 · סדרות

   נתונה סדרה הנדסית A שמנתה 2 וכל איבריה חיוביים. נתונה סדרה אין-סופית B שאיברה הכללי הוא bₖ = 1/(aₖ + a₍ₖ₊₁₎)². הוכיחו כי B הנדסית ומצאו את מנתה.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. a₍ₖ₊₁₎ = 2aₖ, ולכן aₖ + a₍ₖ₊₁₎ = 3aₖ
   2. bₖ = 1/(3aₖ)² = 1/(9aₖ²)
   3. b₍ₖ₊₁₎/bₖ = (9aₖ²)/(9a₍ₖ₊₁₎²) = aₖ²/a₍ₖ₊₁₎²
   4. = 1/q² = 1/4
   5. היחס קבוע, ולכן B הנדסית ומנתה 1/4
   6. 0 < 1/4 < 1 וכל האיברים חיוביים, לכן הסדרה מתכנסת

   תשובה: B הנדסית ומנתה 1/4

8. שאלה 8 · הסתברות

   80% מן החברים בתנועת נוער מתנדבים בקהילה. בוחרים באקראי 5 תלמידים שחברים בתנועות נוער (עם החזרה). מצאו את ההסתברות שבחרו לפחות תלמיד אחד שמתנדב ולפחות אחד שאינו מתנדב.

   פתרון שלב אחר שלב

   1. המאורע המשלים: כולם מתנדבים, או כולם אינם מתנדבים
   2. P(כולם מתנדבים) = 0.8⁵ = 0.32768
   3. P(אף אחד לא מתנדב) = 0.2⁵ = 0.00032
   4. שני המאורעות זרים: 0.32768 + 0.00032 = 0.328
   5. P = 1 − 0.328 = 0.672

   תשובה: 0.672

9. שאלה 9 · הסתברות

   בבית ספר, ההסתברות שתלמיד אינו חבר בתנועת נוער וגם אינו מתנדב היא 0.55. מבין החברים בתנועת נוער, 80% מתנדבים. מבין מי שאינם מתנדבים, 11/12 אינם חברים בתנועת נוער. איזה אחוז מן התלמידים חברים בתנועת נוער?

   פתרון שלב אחר שלב

   1. נסמן A = אינו חבר בתנועת נוער, B = אינו מתנדב
   2. נתון P(A ∩ B) = 0.55 ו-P(A|B) = 11/12
   3. P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
   4. 11/12 = 0.55/P(B) → P(B) = 0.6
   5. כלומר 60% אינם מתנדבים
   6. מבין החברים בתנועת נוער 80% מתנדבים, ולכן 20% מהם אינם
   7. P(חבר ואינו מתנדב) = 0.6 − 0.55 = 0.05
   8. 0.2 · P(חבר) = 0.05 → P(חבר) = 0.25 ... כלומר 40% מכלל התלמידים חברים
   9. בדיקה בטבלה: חבר ומתנדב 0.32, חבר ואינו מתנדב 0.08, סה"כ 0.4 ✓

   תשובה: 40%

10. שאלה 10 · הסתברות

    בתחרות השתתפו 100 תלמידים. 63 מהם אינם מתנדבים בקהילה, ומתוכם 8 חברים בתנועת נוער ו-55 אינם. בוחרים באקראי 3 תלמידים מבין אלה שאינם מתנדבים, ללא החזרה. מצאו את ההסתברות שהראשון חבר בתנועת נוער ושני האחרים אינם.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. השליפה הראשונה: 8 חברים מתוך 63
    2. השנייה: 55 שאינם חברים מתוך 62 שנותרו
    3. השלישית: 54 שאינם חברים מתוך 61 שנותרו
    4. P = (8/63) · (55/62) · (54/61)
    5. = 23,760 / 238,266
    6. = 1,320 / 13,237 ≈ 0.0997

    תשובה: 1,320/13,237 ≈ 0.0997

11. שאלה 11 · הסתברות

    מבין 63 תלמידים שאינם מתנדבים, 8 חברים בתנועת נוער ו-55 אינם. בוחרים 3 ללא החזרה. ידוע שהתלמיד הראשון שנבחר אינו חבר בתנועת נוער. מצאו את ההסתברות שאחד משני האחרים חבר בתנועת נוער והשני לא.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. אחרי השליפה הראשונה נותרו 62 תלמידים: 8 חברים ו-54 שאינם
    2. מקרה א׳: השני חבר והשלישי לא — (8/62)·(54/61)
    3. מקרה ב׳: השני לא חבר והשלישי כן — (54/62)·(8/61)
    4. שני המקרים שווים: 432/3,782 כל אחד
    5. P = 432/3,782 + 432/3,782 = 864/3,782
    6. = 432/1,891 ≈ 0.228

    תשובה: 432/1,891 ≈ 0.228

12. שאלה 12 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה f(x) = (x − 1)/(x − a)³, כאשר a ≠ 0 פרמטר, המוגדרת בתחום x ≠ a. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים ואת נקודת החיתוך עם ציר ה-y.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. x = a מאפס את המכנה; המונה שם הוא a − 1
    2. לכל a ≠ 1 זו אסימפטוטה אנכית, וגם עבור a = 1 נשאר (x−1)² במכנה לאחר צמצום
    3. לכן x = a אסימפטוטה אנכית
    4. חזקת המונה (1) קטנה מחזקת המכנה (3), ולכן y = 0 אסימפטוטה אופקית
    5. חיתוך עם ציר ה-y: f(0) = (0 − 1)/(0 − a)³ = −1/(−a³)
    6. f(0) = 1/a³

    תשובה: אסימפטוטות x = a ו-y = 0 ; חיתוך ב-(0 , 1/a³)

13. שאלה 13 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (x − 1)/(x − a)³ עם a ≠ 0. מצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה
    2. f'(x) = [(x−a)³ − (x−1)·3(x−a)²] / (x−a)⁶
    3. נוציא (x−a)² כגורם משותף ונצמצם
    4. f'(x) = [(x−a) − 3(x−1)] / (x−a)⁴
    5. המונה: x − a − 3x + 3 = −2x + 3 − a
    6. המכנה בחזקה רביעית ולכן חיובי תמיד
    7. נשווה את המונה לאפס: −2x + 3 − a = 0 → x = (3 − a)/2
    8. המונה הוא ישר יורד שעובר מחיוביות לשליליות ← מקסימום

    תשובה: x = (3 − a)/2 , מקסימום

14. שאלה 14 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה f(x) = (x − 1)/(x − a)³, שנקודת הקיצון שלה היא ב-x = (3 − a)/2 והאסימפטוטה האנכית ב-x = a. מצאו עבור אילו ערכי a נקודת הקיצון נמצאת משמאל לאסימפטוטה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נדרוש שנקודת הקיצון תהיה קטנה מ-a
    2. (3 − a)/2 < a
    3. 3 − a < 2a
    4. 3 < 3a
    5. a > 1

    תשובה: a > 1

15. שאלה 15 · טריגונומטריה

    נתונה הפונקציה f(x) = (b + cos x)·sin x בתחום ‎−π ≤ x ≤ π, כאשר b פרמטר. הוכיחו כי הפונקציה אי-זוגית.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f(−x) = (b + cos(−x))·sin(−x)
    2. cos זוגית: cos(−x) = cos x
    3. sin אי-זוגית: sin(−x) = −sin x
    4. f(−x) = (b + cos x)·(−sin x) = −(b + cos x)·sin x
    5. f(−x) = −f(x), ולכן הפונקציה אי-זוגית
    6. לחלופין: מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא אי-זוגית

    תשובה: f(−x) = −f(x), ולכן אי-זוגית

16. שאלה 16 · טריגונומטריה

    נתונה f(x) = (b + cos x)·sin x בתחום ‎−π ≤ x ≤ π. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה cos x = 1/4 ו-sin x > 0 הוא ‎−5/8. מצאו את b.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המכפלה
    2. f'(x) = −sin x·sin x + (b + cos x)·cos x
    3. f'(x) = −sin²x + b·cos x + cos²x
    4. נציב cos x = 1/4, ואז sin²x = 1 − 1/16 = 15/16
    5. −15/16 + b·(1/4) + 1/16 = −5/8
    6. −14/16 + b/4 = −10/16
    7. b/4 = 4/16 = 1/4
    8. b = 1

    תשובה: b = 1

17. שאלה 17 · טריגונומטריה

    נתונה f(x) = (1 + cos x)·sin x בתחום ‎−π ≤ x ≤ π. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. f'(x) = −sin²x + (1 + cos x)·cos x
    2. נציב sin²x = 1 − cos²x
    3. f'(x) = −1 + cos²x + cos x + cos²x = 2cos²x + cos x − 1
    4. נסמן t = cos x: 2t² + t − 1 = 0
    5. t = 1/2 או t = −1
    6. cos x = 1/2 → x = ±π/3
    7. cos x = −1 → x = ±π (נקודות הקצה)
    8. f(π/3) = (1 + 0.5)·(√3/2) = 3√3/4 ≈ 1.3 ← מקסימום
    9. f(−π/3) = −3√3/4 ← מינימום (מאי-זוגיות)

    תשובה: (π/3 , 3√3/4) מקסימום, (−π/3 , −3√3/4) מינימום, (π , 0) מינימום קצה, (−π , 0) מקסימום קצה

18. שאלה 18 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה הפונקציה g(x) = 16/(x² + 3), המוגדרת לכל x. מצאו את נקודת הקיצון שלה, את האסימפטוטה האופקית, והסבירו מדוע אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה-x.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. g היא ההופכית של הפונקציה (x² + 3)/16
    2. הפרבולה x² + 3 מקבלת מינימום 3 ב-x = 0
    3. מנה עם מונה קבוע מקבלת מקסימום כשהמכנה מינימלי
    4. g(0) = 16/3 ≈ 5.33 → מקסימום ב-(0 , 16/3)
    5. כאשר x ← ±∞ המכנה שואף לאינסוף ו-g שואפת ל-0 ← אסימפטוטה y = 0
    6. 16 ≠ 0 לעולם, ולכן g אינה מתאפסת ואין חיתוך עם ציר ה-x
    7. המכנה x² + 3 חיובי תמיד, ולכן g חיובית לכל x

    תשובה: מקסימום ב-(0 , 16/3) ; אסימפטוטה y = 0 ; אין חיתוך עם ציר ה-x

19. שאלה 19 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה g(x) = 16/(x² + 3). מצאו את שיעורי נקודות הפיתול שלה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. g'(x) = −32x/(x² + 3)²
    2. נגזור שוב לפי כלל המנה
    3. g''(x) = −32[(x²+3)² − x·2(x²+3)·2x] / (x²+3)⁴
    4. נוציא (x²+3) כגורם משותף: g''(x) = −32[(x²+3) − 4x²] / (x²+3)³
    5. g''(x) = 32(3x² − 3)/(x²+3)³
    6. נשווה לאפס: 3x² − 3 = 0 → x = ±1
    7. המכנה חיובי תמיד; המונה הוא פרבולה שמחליפה סימן בשתי הנקודות
    8. g(1) = 16/4 = 4 → (1 , 4) ו-(−1 , 4)

    תשובה: (1 , 4) ו-(−1 , 4)

20. שאלה 20 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונות f(x) = √x בתחום x ≥ 0 ו-g(x) = 16/(x² + 3). בנקודה C(t , 0) מעלים אנך לציר ה-x החותך את גרף f בנקודה A ואת גרף g בנקודה B. הביעו באמצעות t את מכפלת האורכים AC·BC.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. A נמצאת על גרף f, ולכן A(t , √t)
    2. B נמצאת על גרף g, ולכן B(t , 16/(t²+3))
    3. שתי הנקודות ברביע הראשון, ולכן אורך כל קטע הוא שיעור ה-y שלה
    4. AC = √t ; BC = 16/(t² + 3)
    5. AC · BC = √t · 16/(t² + 3) = 16√t/(t² + 3)

    תשובה: 16√t/(t² + 3)

21. שאלה 21 · חשבון דיפרנציאלי

    מכפלת אורכי הקטעים היא r(t) = 16√t/(t² + 3) בתחום t > 0. מצאו עבור איזה t המכפלה מקסימלית, ומהו הערך המקסימלי.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נגזור לפי כלל המנה
    2. r'(t) = 16[(1/(2√t))·(t²+3) − √t·2t] / (t²+3)²
    3. נכפול מונה ומכנה ב-2√t
    4. r'(t) = 16(t² + 3 − 4t²) / (2√t·(t²+3)²)
    5. r'(t) = 16(3 − 3t²) / (2√t·(t²+3)²)
    6. נשווה את המונה לאפס: 3 − 3t² = 0 → t = 1 (t > 0)
    7. המונה הוא פרבולה הפוכה שעוברת מחיוביות לשליליות ← מקסימום
    8. r(1) = 16·1/4 = 4

    תשובה: t = 1, והמכפלה המקסימלית 4

22. שאלה 22 · חשבון דיפרנציאלי

    נתונה r(t) = 16√t/(t² + 3), שהמקסימום שלה הוא 4 ומתקבל ב-t = 1. נתונה הפונקציה k(x) = 8√(x−4)/((x−4)² + 3). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של k וקבעו את סוגה.

    פתרון שלב אחר שלב

    1. נזהה: k(x) = ½ · r(x − 4)
    2. זו הזזה אופקית של 4 יחידות ימינה, וכיווץ אנכי פי 2
    3. ההזזה האופקית מזיזה את שיעור ה-x של הקיצון: 1 + 4 = 5
    4. הכיווץ האנכי מחלק את שיעור ה-y בשניים: 4/2 = 2
    5. אף אחת מהטרנספורמציות אינה משנה את סוג הקיצון
    6. לכן (5 , 2) הוא מקסימום

    תשובה: (5 , 2) מקסימום